Przestrzeń ośrodkowa

Przestrzeń topologiczna ośrodkowa – przestrzeń topologiczna ${\displaystyle (X,\tau )}$ zawierająca taki podzbiór, który jest przeliczalny i gęsty^[1]. Podzbiór ten nazywany jest ośrodkiem^{[potrzebny przypis]}.

Ten sam zbiór ${\displaystyle X}$ może tworzyć przestrzeń ośrodkową lub nie – zależy to od doboru topologii ${\displaystyle \tau .}$ Np. zbiór liczb rzeczywistych

• tworzy przestrzenią ośrodkową z topologią generowaną przez metrykę euklidesową – ośrodkiem jest zbiór liczb wymiernych,
• nie tworzy przestrzeni ośrodkowej z topologią dyskretną (każdy punkt w tej topologii jest zbiorem otwartym).

Podstawowe własności

1. Przestrzeń topologiczna o bazie przeliczalnej, tzn. przestrzeń spełniająca drugi aksjomat przeliczalności, jest ośrodkowa. Z drugiej strony prosta Sorgenfreya jest przykładem przestrzeni topologicznej ośrodkowej, która nie ma przeliczalnej bazy.
2. Przestrzeń metryzowalna jest ośrodkowa wtedy i tylko wtedy, gdy przestrzeń posiada bazę przeliczalną.
3. Podprzestrzeń przestrzeni metrycznej ośrodkowej jest ośrodkowa. (Założenie metryzowalności jest istotne – produkt dwóch prostych Sorgenfreya jest przestrzenią ośrodkową posiadającą podprzestrzeń dyskretną mocy continuum, a więc nieośrodkową.)
4. Przestrzeń zwarta metryczna jest ośrodkowa.
5. Iloczyn kartezjański maksymalnie ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$ wielu przestrzeni ośrodkowych jest ośrodkowy.
6. Obrazem ciągłym przestrzeni ośrodkowej jest przestrzeń ośrodkowa.
7. Ośrodkowa przestrzeń Hausdorffa ma moc nie większą niż ${\displaystyle 2^{\mathfrak {c}},}$ gdzie ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ to continuum. Fakt ten nie jest prawdziwy dla przestrzeni spełniających aksjomat ${\displaystyle T_{1}.}$ Istotnie niech ${\displaystyle X}$ będzie dowolnym zbiorem nieskończonym, na którym rozważamy topologię składającą się ze zbiorów będących dopełnieniami zbiorów skończonych, tzn. ${\displaystyle \tau =\{X\setminus F:F}$ jest skończony ${\displaystyle \}.}$ Wówczas ${\displaystyle (X,\tau )}$ jest przestrzenią ${\displaystyle T_{1},}$ w której ośrodkiem jest dowolny zbiór przeliczalny nieskończony. To pokazuje, że istnieją ośrodkowe przestrzenie ${\displaystyle T_{1}}$ dowolnej mocy.

Zobacz też

• przestrzeń spójna
• przestrzeń topologiczna
• przestrzeń topologicznie zupełna
• przestrzeń zwarta

Przypisy

1. Przestrzeń ośrodkowa, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-09-15].

Encyklopedie internetowe (przestrzeń topologiczna):

• PWN: 3952646