Differensialform
From Wikipedia, the free encyclopedia
Differensialform er navnet på generaliserte funksjoner som benyttes i differensialgeometri og topologi på mangfoldigheter og er uavhengig av deres koordinatisering. På den måten gir de også et naturlig grunnlag for integrasjon av funksjoner på slike mangfoldigheter. Deres egenskaper er tett forbundet med fullstendig antisymmetriske tensorer. Dermed kan de behandles som geometriske objekt som danner en Grassmann-algebra. Bruken av differensialformer skyldes i stor grad Élie Cartan som utviklet deres teori på begynnelsen av 1900-tallet.
![Thumb image](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e4/N-form.svg/125px-N-form.svg.png)
Avhengig av dimensjonen n til mangfoldigheten opptrer differensialformer med forskjellig orden eller grad. En skalar funksjon F sies å være en differensiell 0-form, mens differensialet dF av funksjonen er et eksempel på en 1-form. Graden til en form kan økes ved ytre derivasjon som tilsvarer å beregne differensialet av en funksjon. Den ytre deriverte av en 1-form gir en 2-form. Mens 1-former kan naturlig integreres langs en kurve, kan integralet av en 2-form over en flate gis en formulering uavhengig av hvilke koordinater som benyttes. Ved fortsatt ytre derivasjon finner man til slutt en n-form som er den differensielle formen av høyeste grad som eksisterer i dette tilfellet. Den er proporsjonal med volumformen som benyttes ved integrasjon over hele mangfoldigheten.
For å gjøre det tydeligere at ytre derivasjon er en operator som øker graden til en differensialform, betegnes differensialet som dF. Hvis (x1,x2, .. ,xn ) er koordinatene som benyttes på mangfoldigheten, skrives det derfor som 1-formen
Differensialene eller 1-formene dxμ kan derfor betraktes som duale basisvektorer som opptrer i beregning av gradienten til funksjonen. Ved å kombinere disse ved et ytre produkt, finner man av basisformene
for alle differensielle 2-former. Dette kileproduktet gir derfor null mellom to like differensial. At produktet skifter fortegn under ombytte, kan forstås ut fra at det kan betraktes som et lite, orientert flateelement med sider dxμ og dxν. Det skifter fortegn ved ombytte av sidene og kan inngå i et generelt integral over en flate. Basisformer av høyere grad kan finnes ved ytreprodukt av flere 1-former.
Det mentale bildet man har av en vektor, er vanligvis en pil som man tenker seg i et flatt tangentrom. På samme måte kan man tenke seg en 1-form som et sett med plan i et dualt vektorrom. De ligger parallelt inntil hverandre og med normaler i den retning hvor differensialformen varierer raskest på mangfoldigheten.