Mangfoldighet
matematisk begrep / From Wikipedia, the free encyclopedia
Mangfoldighet innen matematikk er et topologisk rom som «lokalt» ser ut som vanlig euklidsk rom, men som «globalt» kan ha en annen form. Mer presist, en n-dimensjonal mangfoldighet er et topologisk rom hvor hvert punkt har en åpen omegn homeomorf med en åpen delmengde av Rn. Vi kaller en slikt omegn for en «kartomegn».
Denne artikkelen mangler kildehenvisninger, og opplysningene i den kan dermed være vanskelige å verifisere. Kildeløst materiale kan bli fjernet. Helt uten kilder. (10. okt. 2015) |
Eksempler på mangfoldigheter inkluderer den reelle tallinjen R, sirkelen S1, kuleflaten S2 og torusen. Den reelle linjen og sirkelen er eksempler på 1-dimensjonale mangfoldigheter, og kalles gjerne for kurver. Kuleflaten og torusen er eksempler på 2-dimensjonale mangfoldigheter, og kalles gjerne for flater.
Mangfoldigheter er sentrale i matematikken, siden en mangfoldighet kan arve «global» struktur som ellers er definerert «lokalt» på et euklidsk rom. For eksempel kan en definere glatthet av en funksjon mellom åpne mengder av to endeligdimensjonale reelle vektorrom, og så utvide dette begrepet til mangfoldigheter.
Man sier at en funksjon f mellom to mangfoldigheter M og N er glatt hvis den kan sees å være glatt for ethvert kartomegn U i M som under f sendes til et kartomegn V i N. For at dette skal være nyttig må vi restriktere mulige identifikasjoner av U og V med åpne mengder i Rn på en slik måte at glatthet blir uavhengig av disse valgene. En slik restriksjon gjøres via et valg av glatt atlas: