![cover image](https://wikiwandv2-19431.kxcdn.com/_next/image?url=https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/57/Exterior_calc_triple_product.png/640px-Exterior_calc_triple_product.png&w=640&q=50)
Grassmann-algebra
From Wikipedia, the free encyclopedia
Grassmann-algebra eller ytre algebra er definert i et lineært vektorrom over en gitt tallkropp som inneholder et enhetselement. Algebraen er utstyrt med et antisymmetrisk produkt som betegnes med symbolet ∧ og kalles et ytre produkt, alternativt hakeprodukt eller helst kileprodukt som blir mest brukt. Det kombinerer to vektorer u og v til produktet u ∧ v = - v ∧ u som kalles en 2-vektor eller bivektor. Den er null hvis vektorene er like. Produktet er også distributivt slik at u ∧ (v + w) = u ∧ v + u ∧ w.
![Thumb image](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/57/Exterior_calc_triple_product.png/640px-Exterior_calc_triple_product.png)
Kileproduktet er assosiativt slik at man kan multiplisere en bivektor med en ny vektor w med et entydig resultatet
som er en 3-vektor, eventuelt trivektor. Ved ombytte av to vektorer skifter produktet fortegn. Hvis to av dem er like, er det derfor null.
Det er lett å tolke slike ytre produkt geometrisk. På samme måte som en bivektor u ∧ v kan identifiseres med et parallellogram med sidekanter u og v, kan en trivektor identifiseres med et parallellepiped. Slik kan man fortsette multiplikasjonen opp til en grense satt av dimensjonen til det underliggende vektorrommet.
Kileproduktet av to vektorer har flere likheter med det vanlige kryssproduktet u × v i vektoranalysen. Kileproduktet er veldefinert i vektorrom av vilkårlig dimensjon, mens kryssproduktet eksisterer bare for vektorer i tre dimensjoner.
Grassmann-algebra har fått sitt navn etter Hermann Grassmann som utviklet den på midten av 1800-tallet som en del av et program for å beskrive geometriske objekter i rom av vilkårlig høye dimensjoner. Algebraen fikk sin viktigste anvendelse på begynnelsen av 1900-tallet da Élie Cartan innførte differensielle former for bruk i differensialgeometrien. Dette var en utvidelse av den vanlige tensoranalysen og er i stor grad uavhengig av et underliggende koordinatsystem.
Siden har dette matematiske apparatet fått flere anvendelser innen teoretisk fysikk, spesielt i forbindelse med gaugetransformasjoner som danner grunnlaget for standardmodellen som beskriver elementærpartiklene. En mulig supersymmetri mellom disse gjør bruk av antikommuterende tall som danner en Grassmann-algebra og omtales som «Grassmann-tall».