분수체

추상대수학에서 분수체(分數體, 영어: field of fractions)는 정역에 대하여 정의할 수 있는 체이다. 예를 들어, 정수환의 분수체는 유리수체다. 일반적인 가환환의 국소화의 특수한 경우다.

정의

(곱셈 항등원을 갖는) 환 ${\displaystyle R}$에 대하여,

${\displaystyle S=R\setminus \left(\{r\in R\colon 0\in rR\}\cup \{r\in R\colon 0\in Rr\}\right)}$

가 정칙원(오른쪽 영인자 또는 왼쪽 영인자가 아닌 원소)들의 집합이라고 하자. 또한, ${\displaystyle (R,S)}$가 왼쪽 오레 조건 또는 오른쪽 오레 조건을 만족시킨다고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle R}$의 전분수환(全分數體, 영어: total ring of fractions) ${\displaystyle \operatorname {Frac} (R)}$는 국소화 ${\displaystyle S^{-1}R}$이다. 이 경우, 오레 조건에 의하여 단사 함수인 환 준동형

${\displaystyle R\to \operatorname {Frac} R}$

이 존재하며, ${\displaystyle R}$는 그 전분수환의 부분환을 이룬다.

만약 ${\displaystyle R}$가 가환환일 경우, 오레 조건은 자동적으로 성립한다. 가환환의 국소화는 가환환이므로, 가환환의 전분수환은 항상 가환환이다. 특히, 만약 ${\displaystyle R}$가 (가환) 정역일 경우 이는 체를 이루며, ${\displaystyle \operatorname {Frac} R}$를 ${\displaystyle R}$의 분수체라고 한다.

구성

${\displaystyle R}$가 정역일 경우, 분수체는 일반적인 국소화보다 간단하게 구성할 수 있다.

순서쌍 ${\displaystyle (a,b)}$ (${\displaystyle a,b\in R}$, ${\displaystyle b\neq 0}$)들에 대하여 다음과 같은 동치 관계를 정의하자.

${\displaystyle (a,b)\sim (ar,br)\forall r\in R\setminus \{0\}}$

이러한 순서쌍의 동치류를 ${\displaystyle a/b}$라고 쓰자.

이러한 순서쌍들의 동치류들의 집합에, 다음과 같이 체의 구조를 줄 수 있다.

${\displaystyle {\frac {a}{b}}{\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}}$

${\displaystyle {\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}}}$

이는 분수체 ${\displaystyle \operatorname {Frac} R}$이며, 표준적인 단사 환 준동형

${\displaystyle R\to \operatorname {Frac} R}$

${\displaystyle r\mapsto {\frac {r}{1}}}$

이 존재한다.

성질

환 ${\displaystyle R}$의 전분수환이 특별한 성질을 가질 충분조건은 다음과 같다.

충분조건	전분수환의 성질	비고
오른쪽 뇌터 반소환	반단순환 (즉, 아르틴-웨더번 정리에 따라 유한 개의 나눗셈환들에 대한 행렬환들의 직접곱과 동형)	골디 정리[1]
왼쪽 뇌터 반소환
오른쪽 뇌터 소환	나눗셈환 위의 행렬환과 동형	골디 정리[1]:Theorem 7.1
왼쪽 뇌터 소환
가환 뇌터 축소환	가환 반단순환 (즉, 유한 개의 체들의 직접곱과 동형)	[2]:42, Exercise 6.5
오른쪽 오레 조건을 만족시키는 영역	나눗셈환
왼쪽 오레 조건을 만족시키는 영역
정역	체

골디 정리(영어: Goldie’s theorem)에 따르면, 다음이 성립한다.

• 오른쪽 뇌터 반소환 ${\displaystyle R}$는 오른쪽 오레 조건을 만족시키며, ${\displaystyle \operatorname {Frac} (R)}$는 반단순환이다.^[1]
  • 특히, 만약 ${\displaystyle R}$가 오른쪽 뇌터 소환이라면 ${\displaystyle \operatorname {Frac} (R)}$는 나눗셈환 위의 행렬환과 동형이다.
• 오른쪽 뇌터 반소환은 왼쪽 오레 조건을 만족시키며, ${\displaystyle \operatorname {Frac} (R)}$는 반단순환이다.
  • 특히, 만약 ${\displaystyle R}$가 왼쪽 뇌터 소환이라면 ${\displaystyle \operatorname {Frac} (R)}$는 나눗셈환 위의 행렬환과 동형이다.

골디 정리에서, 만약 ${\displaystyle R}$가 가환환이라고 한다면, 반소환 조건은 축소환 조건과 같아진다. 가환환의 국소화는 가환환이므로, 만약 ${\displaystyle R}$가 가환 뇌터 축소환인 경우, ${\displaystyle \operatorname {Frac} R}$는 유한 개의 체들의 직접곱이다. 구체적으로, ${\displaystyle R}$의 소 아이디얼 가운데, 포함 관계에 따라 극소 원소인 것을 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{1},\dots ,{\mathfrak {p}}_{n}}$이라고 하자. (그 수는 항상 유한함을 보일 수 있다.) 그렇다면

${\displaystyle \operatorname {Frac} (R)\cong \prod _{i=1}^{n}\operatorname {Frac} (R/{\mathfrak {p}}_{i})}$

이다. 우변에서 ${\displaystyle R/{\mathfrak {p}}_{i}}$는 모두 정역이므로, 우변은 유한 개의 체들의 직접곱이다.

만약 ${\displaystyle R}$가 왼쪽 또는 오른쪽 오레 조건을 만족시키는 영역이라면, ${\displaystyle \operatorname {Frac} (R)}$는 항상 나눗셈환이며, ${\displaystyle R}$는 그 부분환을 이룬다. (오레 조건 없이는 이는 일반적으로 성립하지 않는다.) 만약 ${\displaystyle R}$가 정역이라면 물론 ${\displaystyle \operatorname {Frac} (R)}$는 체이다.

예

수체 ${\displaystyle K}$의 대수적 정수환 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$의 분수체는 ${\displaystyle K}$이다.

${\displaystyle \operatorname {Frac} {\mathcal {O}}_{K}=K}$

특히, (유리수의) 정수환 ${\displaystyle \mathbb {Z} ={\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} }}$의 분수체는 유리수체이다.

${\displaystyle \operatorname {Frac} \mathbb {Z} =\mathbb {Q} }$

체의 분수체는 스스로이다. 즉, 임의의 체 ${\displaystyle K}$에 대하여, 다음이 성립한다.

${\displaystyle \operatorname {Frac} K=K}$

다항식환의 분수체는 유리 함수체이다. 즉, 임의의 체 ${\displaystyle K}$에 대하여, 다음이 성립한다.

${\displaystyle \operatorname {Frac} K[x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}]=K(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}$

응용

대수기하학에서, 분수체의 개념은 스킴의 유리 함수층의 개념으로 일반화된다. 만약 스킴이 아핀 정역 스킴인 경우 이는 단순히 각 열린집합에서 단면 가환환의 분수체를 취하는 것이다. 스킴이 정역 스킴이 아닌 경우, 일반적으로는 단순히 전분수환을 취하는 것보다 더 복잡한 구성을 취해야 한다.

역사

1927년에 하인리히 그렐(독일어: Heinrich Grell, 1903~1974)이 정역의 분수체를 도입하였다.^{[3][1]:299[4]:57}

에미 뇌터는 오레 조건의 기본 개념을 이해하고 있었지만, 이에 대하여 출판하지 않았다.^[5]:300 오레 조건을 만족시키는 영역의 전분수환은 외위스테인 오레(1899~1968)가 1937년에 도입하였다.^{[6]:466[1]:299} (람짓윈은 이 사실과 관련하여 "NOETHER"(뇌터)가 "THEN ORE"(영어로, "그 뒤 오레")의 어구전철이 된다는 사실을 지적하였다.^[5]:300)

골디 정리는 앨프리드 윌리엄 골디(영어: Alfred William Goldie, 1920~2005)가 도입하였다.^[7][8][1]

각주

1. Coutinho, S. C.; McConnell, J. C. (2003년 4월). “The quest for quotient rings (of noncommutative Noetherian rings)”. 《The American Mathematican Monthly》 (영어) 110 (4): 298–313. doi:10.2307/3647879. JSTOR 3647879.
2. Matsumura, Hideyuki (1989년 6월). 《Commutative ring theory》. Cambridge Studies in Advanced Mathematics (영어) 8. Miles Reid 역 2판. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9781139171762. ISBN 978-0-521-36764-6. MR 1011461.
3. Grell, H. (1927). “Beziehungen zwischen Idealen verschiedener Ringen”. 《Mathematische Annalen》 (독일어) 97: 490–523. doi:10.1007/BF01447879. ISSN 0025-5831.
4. Eisenbud, David (1995). 《Commutative algebra with a view toward algebraic geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 150. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-5350-1. ISBN 978-0-387-94269-8. ISSN 0072-5285. MR 1322960.
5. Lam, Tsit-Yuen (1999). 《Lectures on modules and rings》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 189. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-0525-8. ISBN 978-0-387-98428-5. MR 1653294.
6. Ore, Oystein (1937년 7월). “Linear equations in non-commutative fields”. 《Annals of Mathematics》 (영어) 32 (3): 463–477. doi:10.2307/1968245. JSTOR 1968245.
7. Goldie, A.W. (1958). “The structure of prime rings under ascending chain conditions”. 《Proceedings of the London Mathematical Society》 (영어) 8 (4): 589–608. doi:10.1112/plms/s3-8.4.589.
8. Goldie, A.W. (1960). “Semi-prime rings with maximal conditions”. 《Proceedings of the London Mathematical Society》 (영어) 10: 201–220. doi:10.1112/plms/s3-10.1.201.

• Cohn, P. M. (1971년 6월). “Rings of fractions” (PDF). 《The American Mathematical Monthly》 (영어) 78 (6): 596–615. doi:10.2307/2316568. JSTOR 2316568. 2016년 3월 7일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2016년 3월 7일에 확인함.

외부 링크

• “Field of fractions”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• “Fractions, ring of”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Field of fractions”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Ring of fractions”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Total ring of fractions”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• “Field of fractions”. 《nLab》 (영어).