위상 끈 이론

이론물리학에서 위상 끈 이론(位相끈理論, 영어: topological string theory)는 끈 이론의 단순한 종류의 하나이다.^[1] 이 경우, 끈의 세계면 위에 존재하는 이론은 통상적인 끈 이론과 달리, 국소적인 자유도를 갖지 않는다. 정확히 말하자면, 위상 끈 이론의 세계면 이론은 2차원 위튼형 위상 양자장론을 이룬다. A형과 B형 두 종류가 있으며, 이들은 서로 거울 대칭에 의하여 연관된다.

전개

위상 끈 이론의 세계면 이론은 2차원 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=(2,2)}$ 초등각 장론이다. (이는 일반적인 끈 이론의 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=(1,1)}$ 초대칭과 다르다.) 이 경우 R대칭은 U(1)_V×U(1)_A이다. 이 두 성분 가운데 하나를 로런츠 대칭 SO(2)=U(1)_E과 대응시켜, 위상적 뒤틂(topological twist)을 가하여 위튼형 위상 양자장론을 만들 수 있다. U(1)_V로 뒤틀면 A-모형(영어: A-model), U(1)_A로 뒤틀면 B-모형(영어: B-model)을 얻는다.

만약 세계면 이론이 등각 대칭을 갖지 않는다면 U(1)_A 대칭은 깨지게 된다. 이 경우는 오직 A-모형만을 정의할 수 있다. 예를 들어, 과녁 공간이 (칼라비-야우 다양체이 아닌) 켈러 다양체인 시그마 모형의 경우, 오직 A-모형만이 존재한다.

반대로, 과녁 공간이 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$이고 초퍼텐셜을 가진 란다우-긴즈부르크 모형(영어: Landau–Ginzburg model)의 경우, 초퍼텐셜이 특수한 형태가 아니라면 U(1)_V 대칭이 고전적으로 깨지게 된다. 이 경우는 오직 B-모형만을 정의할 수 있다.

A-모형과 B-모형은 거울 대칭에 의하여 서로 연관된다.

성질	A-모형	B-모형
뒤트는 대칭	U(1)V	U(1)A
과녁 공간의 조건	(일반화) 켈러 다양체	복소다양체
매장 사상 ${\displaystyle \Sigma \to M}$의 국소화 조건	정칙 함수	상수 함수
초대칭 D-막	특수 라그랑주 부분다양체(영어: special Lagrangian submanifold)	정칙 부분다양체
손지기 환(chiral ring)	(a,c) 환	(c,c) 환
란다우-긴즈부르크 모형의 손지기 환	자명함	${\displaystyle \mathbb {C} [\phi ^{1},\dots ,\phi ^{n}]/(\partial _{i}W)}$ (초퍼텐셜 ${\displaystyle W}$를 가진 ${\displaystyle n}$차원 란다우-긴즈부르크 모형)[1]:§16.4.2
시그마 모형의 손지기 환	양자 코호몰로지(quantum cohomology) (벡터 공간으로서 드람 코호몰로지 ${\displaystyle H^{q}(M;\bigvee T^{*}M)}$와 같지만 환 연산이 다름. 큰 부피 극한에서는 드람 코호몰로지로 수렴)[1]:§16.4.1	접다발의 외대수 다발의 돌보 코호몰로지 ${\displaystyle H^{q}(M;\bigvee ^{p}TM)}$[1]:§16.4.3
정칙 변칙의 존재 여부	없음	있음 (BRST 불변 관측가능량이 모듈러스 공간 위에서 정칙함수가 아닐 수 있음)
관련된 범주	후카야 범주(Fukaya category)	연접층의 범주

위상 시그마 모형

${\displaystyle M}$이 콤팩트 칼라비-야우 다양체라고 하고, ${\displaystyle \Sigma }$가 콤팩트 리만 곡면(=세계면)이라고 하자. 그렇다면 ${\displaystyle M}$ 위에 2차원 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=(2,2)}$ 시그마 모형을 다음과 같이 정의하자.

• ${\displaystyle (\phi ,\psi )\colon \Sigma \to TM}$는 매끄러운 함수이다. 여기서 ${\displaystyle TM}$은 ${\displaystyle M}$의 (비정칙) 접다발의 전체 공간이며, 이 경우 ${\displaystyle \psi (z,{\bar {z}})\in T_{\phi (z,{\bar {z}})}M}$이다.

이들은 손지기 초장^[2]:(5.2)

${\displaystyle \Phi (\theta ^{\pm },{\bar {\theta }}^{\pm })=\phi +\psi _{+}\theta ^{+}+\psi _{-}\theta ^{-}+\cdots }$

으로 포함하여 쓸 수 있다. (나머지 성분들은 보조장이거나, ${\displaystyle \phi }$ 및 ${\displaystyle \psi }$의 도함수로 구성된다.) 이들은 R대칭에 대하여 다음과 같은 전하를 갖는다.^[2]:(5.23)

장	U(1)V 전하	U(1)A 전하	스핀 ${\displaystyle h-{\bar {h}}}$
${\displaystyle z}$	0	0	−1
${\displaystyle {\bar {z}}}$	0	0	+1
${\displaystyle \theta ^{+}}$	−1	−1	−½
${\displaystyle {\bar {\theta }}^{+}}$	+1	−1	−½
${\displaystyle \theta ^{-}}$	−1	+1	+½
${\displaystyle {\bar {\theta }}^{-}}$	+1	−1	+½
${\displaystyle \phi }$	0	0	0
${\displaystyle \psi _{+}}$	+1	+1	+½
${\displaystyle {\bar {\psi }}_{+}}$	−1	−1	+½
${\displaystyle \psi _{-}}$	+1	−1	−½
${\displaystyle {\bar {\psi }}_{-}}$	−1	+1	−½

즉, 초장 ${\displaystyle \Phi }$는 로런츠 스칼라이자 모든 R대칭에 대하여 중성이다. 기호에서 윗첨자 ±는 뒤틀기 전 로런츠 스핀을 나타내며, 아랫첨자 ±는 로런츠 스핀의 반대 부호이다.

이 시그마 모형의 두 가지 위상 뒤틂은 각각 다음과 같다.^{[2]:(5.50), (5.67)}

뒤틂	${\displaystyle \psi _{+}}$	${\displaystyle {\bar {\psi }}_{+}}$	${\displaystyle \psi _{-}}$	${\displaystyle {\bar {\psi }}_{-}}$
뒤틀기 이전	스핀 +½, ${\displaystyle {\sqrt {\Omega ^{1,0}\Sigma }}\otimes \phi ^{*}T^{1,0}M}$	스핀 +½, ${\displaystyle {\sqrt {\Omega ^{1,0}\Sigma }}\otimes \phi ^{*}T^{0,1}M}$	스핀 −½, ${\displaystyle {\sqrt {\Omega ^{0,1}\Sigma }}\otimes \phi ^{*}T^{1,0}M}$	스핀 −½, ${\displaystyle {\sqrt {\Omega ^{0,1}\Sigma }}\otimes \phi ^{*}T^{1,0}M}$
A뒤틂 ${\displaystyle h'-{\bar {h}}'=h-{\bar {h}}+q_{V}/2}$	스핀 +1, ${\displaystyle \Omega ^{1,0}\Sigma \otimes \phi ^{*}T^{1,0}M}$	스핀 0, ${\displaystyle \phi ^{*}T^{0,1}M}$	스핀 0, ${\displaystyle \phi ^{*}T^{1,0}M}$	스핀 −1, ${\displaystyle \Omega ^{0,1}\Sigma \otimes \phi ^{*}T^{1,0}M}$
B뒤틂 ${\displaystyle h-{\bar {h}}'=h-{\bar {h}}-q_{A}/2}$	스핀 +1, ${\displaystyle \Omega ^{1,0}\Sigma \otimes \phi ^{*}T^{1,0}M}$	스핀 0, ${\displaystyle \phi ^{*}T^{0,1}M}$	스핀 −1, ${\displaystyle \Omega ^{0,1}\Sigma \otimes \phi ^{*}T^{1,0}M}$	스핀 0, ${\displaystyle \phi ^{*}T^{1,0}M}$

다른 이론과의 관계

A모형의 관측 가능량들은 수학적으로 그로모프-위튼 불변량(영어: Gromov–Witten invariant)이라는 이름으로 엄밀히 정의되며, 이는 양자 코호몰로지(영어: quantum cohomology)를 정의한다.

유효 이론

일반적으로, (초)끈 이론은 낮은 에너지에서 (초)중력 유효 이론을 이룬다. A형 위상 끈 이론의 유효 이론은 켈러 중력(영어: Kähler gravity)이라고 불리며,^[3] 특수한 경우 천-사이먼스 이론으로 해석할 수 있다.^[4] B형 위상 끈 이론의 유효 이론은 고다이라-스펜서 중력(영어: Kodaira–Spencer gravity)이다.^[5]

쌍대성

고파쿠마르-바파 쌍대성(영어: Gopakumar–Vafa duality)에 따르면, 코니폴드 위의 열린 끈 A모형은 U(N) 천-사이먼스 이론의 큰 ${\displaystyle N}$ 극한과 같다.^[6] 이는 라제시 고파쿠마르와 캄란 바파가 발견하였다.

A모형 위상 끈 이론은 또한 통계역학의 결정 융해 모형과 서로 쌍대적이라고 추측된다.^[7][8]

초대칭 게이지 이론

A모형 위상 끈 이론은 4차원 또는 5차원 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$ 초대칭 게이지 이론의 프리퍼텐셜(영어: prepotential)을 계산하는 데 쓰인다. B모형 위상 끈 이론은 4차원 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$ 초대칭 게이지 이론의 초퍼텐셜(영어: superpotential)을 계산하는 데 쓰인다.

A모형 계산은 또한 BPS 블랙홀의 베켄슈타인-호킹 엔트로피를 계산하는 데 쓰인다.^[9]

역사

에드워드 위튼이 1988년에 도입하였다.^[10]

같이 보기

• 위상수학적 결함
• 위상 양자장론
• 위상수학적 양자 수