양자 코호몰로지

대수기하학과 심플렉틱 기하학에서 양자 코호몰로지(量子cohomology, 영어: quantum cohomology)는 코호몰로지 환의 q-변형이다. 양자 코호몰로지의 곱은 그로모프-위튼 불변량으로부터 정의된다.

정의

${\displaystyle M}$이 콤팩트 켈러 다양체라고 하자.

노비코프 환

격자 ${\displaystyle \operatorname {H} _{2}(M;\mathbb {Z} )/\operatorname {Tors} (\operatorname {H} _{2}(M;\mathbb {Z} ))}$의 기저 ${\displaystyle \{\alpha _{i}\}_{i=1,\dots ,b_{2}(M)}}$를 ${\displaystyle M}$의 각 2차원 부분 다양체에 대응하게 잡자.

${\displaystyle M}$의 노비코프 환(영어: Novikov ring)

${\displaystyle \Lambda =\mathbb {Z} [q_{i},q_{i}^{-1}]_{i=1,\dots ,b_{2}(M)}}$

은 다음과 같은 생성원들로 생성되는 정수 계수 가환 형식적 멱급수환이다.

• 각 ${\displaystyle i=1,\dots ,b_{2}(M)}$에 대하여, ${\displaystyle q_{i}}$. 이들의 등급은 ${\displaystyle \deg q_{i}=2c_{1}(M)(q_{i})}$이다.

임의의

${\displaystyle \beta =\sum _{i}c_{i}\alpha _{i}\in \operatorname {H} _{2}(M;\mathbb {Z} )/\operatorname {Tors} (\operatorname {H} _{2}(M;\mathbb {Z} ))}$

에 대하여,

${\displaystyle q_{\beta }=\prod _{i}q_{i}^{c_{i}}}$

로 쓰자. ${\displaystyle q_{\alpha }}$ 대신 ${\displaystyle \exp(\alpha )}$로 쓰기도 한다.

만약 ${\displaystyle M}$이 칼라비-야우 다양체인 경우 ${\displaystyle c_{1}(M)=0}$이므로 노비코프 환의 모든 원소들은 등급이 0이다.

작은 양자 코호몰로지

${\displaystyle M}$ 위의 작은 양자 코호몰로지(영어: small quantum cohomology) ${\displaystyle \operatorname {QH} (M;\Lambda )}$는 아벨 군으로서 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {QH} (M;\Lambda )=\operatorname {H} (M;\Lambda )\otimes _{\mathbb {Z} }\Lambda }$

이 위의 곱

${\displaystyle *\colon \operatorname {QH} (M;\Lambda )\times \operatorname {QH} (M;\Lambda )\to \operatorname {QH} (M;\Lambda )}$

은 코호몰로지의 합곱 ${\displaystyle \smile }$과 다르며, 다음과 같이 그로모프-위튼 불변량으로 정의된다.

${\displaystyle \int _{M}(a*b)\smile c=\sum _{\alpha \in \operatorname {H} _{2}(M;\mathbb {Z} )/\operatorname {Tors} (\operatorname {H} _{2}(M;\mathbb {Z} ))}\operatorname {GW} _{0,3}^{M,\alpha }(a,b,c)q_{\alpha }}$

이는 결합 법칙 및 등급 가환 법칙을 만족시키며, 등급을 덧셈법으로 보존한다.

${\displaystyle (a*b)*c=a*(b*c)}$

${\displaystyle a*b=(-1)^{\deg a\deg b}b*a}$

${\displaystyle \deg(a*b)=\deg a+\deg b}$

${\displaystyle M}$ 위의 작은 양자 코호몰로지의 짝수 차수 성분 ${\displaystyle \operatorname {QM} ^{2\bullet }(M)}$에서, 0의 (충분히 작은) 근방

${\displaystyle 0\in U\subset \operatorname {QM} ^{2\bullet }(M)}$

은 프로베니우스 다양체의 구조를 가진다. 이 경우 작은 양자 코호몰로지 곱 ${\displaystyle *}$은 ${\displaystyle U}$의 접다발 ${\displaystyle T}$ 위의 접속을 이룬다. 작은 양자 코호몰로지 곱의 가환 법칙은 비틀림이 0임을, 결합 법칙은 리만 곡률이 0임을 뜻한다.

큰 양자 코호몰로지

임의의 ${\displaystyle a\in U}$에 대하여, 다음과 같은 큰 양자 코호몰로지 곱을 정의하자.

${\displaystyle *_{a}\colon U\times U\to U}$

${\displaystyle \langle x*_{a}y,z\rangle =\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{\alpha \in \operatorname {H} _{2}(M;\mathbb {Z} )/\operatorname {Tors} (\operatorname {H} _{2}(M;\mathbb {Z} ))}{\frac {1}{n!}}\operatorname {GW} _{0,n+3}^{X,\alpha }(x,y,z,\overbrace {a,\ldots ,a} ^{n})}$

그렇다면, ${\displaystyle (U,*_{a})}$를 큰 양자 코호몰로지(영어: big quantum cohomology)라고 한다. 작은 양자 코호몰로지는 종수 0의 그로모프-위튼 불변량 가운데 일부만을 포함하지만, 큰 양자 코호몰로지는 모든 종수 0 그로모프-위튼 불변량을 포함한다.

예

복소수 사영 공간 ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$은 푸비니-슈투디 계량을 부여하면 콤팩트 켈러 다양체를 이룬다. 이 경우, (고전적) 코호몰로지는

${\displaystyle \operatorname {H} ^{\bullet }(\mathbb {CP} ^{n};\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} [p]/(p^{n+1})}$

${\displaystyle \deg p=2}$

이다.

${\displaystyle \operatorname {H} _{2}(\mathbb {CP} ^{n};\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} }$

이므로, 양자 코호몰로지에는 한 개의 추가 생성원 ${\displaystyle q}$가 존재하며,

${\displaystyle c_{k}(\mathbb {CP} ^{n})={\binom {n+1}{k}}c_{1}({\mathcal {O}}_{\mathbb {C} P^{n}}(1))}$

이므로

${\displaystyle \deg q=2{\binom {n+1}{1}}=2(n+1)}$

이다. 구체적으로, 작은 양자 코호몰로지는 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {H} ^{\bullet }(\mathbb {CP} ^{n};\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} [p,q]/(p^{n+1}-q)}$

${\displaystyle \deg p=2}$

${\displaystyle \deg q=2(n+1)}$

이다. ${\displaystyle q\to 0}$이면 양자 코호몰로지가 고전적 코호몰로지로 수렴하는 것을 알 수 있다.

응용

양자 코호몰로지는 위상 끈 이론에서 2차원 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=(2,2)}$ 시그마 모형의 A-모형 위상 뒤틂의 손지기환으로 등장하며, A-모형과 B-모형 사이의 거울 대칭에 핵심적인 역할을 한다.

참고 문헌

• 조용승 (2012). 《지표이론》. 경문사. ISBN 978-89-6105-622-9. 2014년 11월 12일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 7월 13일에 확인함.
• 조용승 (2000). “심플렉틱 다양체의 불변량”. 《Communications of the Korean Mathematical Society》 15 (3): 391–434. ISSN 1225-1763. 2015년 7월 13일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 7월 13일에 확인함.
• McDuff, Dusa; Salamon, Dietmar (2012). 《${\displaystyle J}$-holomorphic curves and symplectic topology》. American Mathematical Society colloquium publications (영어) 52 2판. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-8746-2. |제목=에 지움 문자가 있음(위치 1) (도움말)
• Fulton, W.; Pandharipande, R. (1996). “Notes on stable maps and quantum cohomology” (영어). arXiv:alg-geom/9608011.