칼라비-야우 다양체

칼라비-야우 다양체(Calabi-丘 多樣體, 영어: Calabi–Yau manifold)는 홀로노미가 SU(n)의 부분군인 콤팩트 켈러 다양체다.^[1][2][3] 미분 기하학과 대수 기하학에서 다룬다. 끈 이론에서 시공의 축소화에 쓰인다.

정의

켈러 다양체는 리만 구조, 복소 구조, 심플렉틱 구조를 모두 갖춘 다양체로, 일반적으로 복소 n차원의 켈러 다양체는 U(n)의 부분군인 홀로노미를 지닌다. 그 가운데 칼라비-야우 다양체는 콤팩트하고 SU(n)의 부분군인 (대역적) 홀로노미를 지닌 것이다. SU(n) 홀로노미를 지녀야 한다는 조건은 다음 가운데 아무 하나와 동등하다.

• 어디서도 0이 아닌 ${\displaystyle n}$차 정칙 복소 미분 형식 ${\displaystyle \Omega }$가 다양체 위에 존재한다. (이를 정칙 부피 형식(영어: holomorphic volume form)이라고 한다.)
• 복소 구조의 구조군(structure group)이 SU(n)의 부분군이다. (일반적 켈러 다양체의 구조군은 U(n)이다.)
• 자명한 표준 선다발을 지닌다.

일부 저자는 칼라비-야우 다양체를 좀 더 일반적으로, 대역적 홀로노미 대신 SU(n)의 부분군인 국소적 홀로노미를 지닌 콤팩트 켈러 다양체로 정의한다. 이 조건은 다음 가운데 아무 하나와 동등하다.

• 다양체의 리치 곡률이 0이다.
• 다양체의 복소 구조의 첫 번째 실수 천 류 ${\displaystyle c_{1}(M;\mathbb {R} )\in H^{1,1}(M;\mathbb {R} )}$이 0이다.
• 표준 선다발을 충분히 거듭제곱하면 자명해진다.
• 자명한 표준 선다발을 지닌 유한 피복 공간이 존재한다.

이 정의 가운데, 리치 곡률이 0인 성질과 다른 성질들이 동등하다는 사실은 증명하기가 쉽지 않다. 이는 에우제니오 칼라비가 가설을 제시한 뒤 야우싱퉁이 증명하였고, 칼라비 가설 또는 야우 정리라 불린다.

두 번째 정의는 첫 번째 정의보다 일반적이다. 예를 들어 초타원 곡면(영어: hyperelliptic surface)는 첫 번째 정의는 만족하지 않지만 두 번째 정의는 만족한다. (첫 번째 정의를 만족시키려면 그 이중 피복 공간인 K3 곡면을 취하면 된다.) 다만 단일 연결된 다양체의 경우 두 정의는 동등하다.

이 밖에도 실수 천 류 대신 정수 천 류 ${\displaystyle c_{1}(M,\mathbb {Z} )}$을 쓰거나, 콤팩트함을 요구하지 않거나, 홀로노미가 SU(n)의 부분군이 아니라 SU(n) 자체임을 요구하는 등 약간 다른 정의를 쓰는 저자도 있다.

두 정의 모두, 고다이라 차원(영어: Kodaira dimension)이 0이고, 첫 번째 실수 및 정수 천 류가 0이다.

특수 라그랑주 부분 다양체

 이 부분의 본문은 특수 라그랑주 부분 다양체입니다.

칼라비-야우 다양체의 정칙 부피 형식 ${\displaystyle \Omega }$는 측정 형식을 이룬다. 이에 대한 측정 부분 다양체를 특수 라그랑주 부분 다양체라고 한다.^[4] 즉, 칼라비-야우 다양체 ${\displaystyle M}$ 속의 특수 라그랑주 다양체 ${\displaystyle N\subset M}$는

${\displaystyle \operatorname {Re} \Omega |_{N}=\omega |_{N}}$

${\displaystyle \operatorname {Im} \Omega |_{N}=0}$

인 부분다양체이다. 여기서 ${\displaystyle \omega }$는 리만 계량에 따른 부피 형식이다.

정칙 부피 형식 ${\displaystyle \Omega }$는 복소 위상으로

${\displaystyle \Omega \to \exp(i\theta )\Omega }$

와 같이 재정의할 수 있고, 따라서 이에 따라 특수 라그랑주 부분 다양체의 개념이 달라진다. 일부 문헌에서는 적어도 한 복소 위상의 정칙 부피 형식에 대하여 측정 부분 다양체를 이루는 부분 다양체를 특수 라그랑주 부분 다양체라고 한다.

특수 라그랑주 다양체는 거울 대칭 가설의 여러 서술들 가운데 하나인 Strominger-Yau-Zaslow가설을 서술하는데 등장한다.

모듈러스

${\displaystyle n}$차원 칼라비-야우 다양체 ${\displaystyle (M,J,\omega )}$는 켈러 구조 ${\displaystyle \omega }$와 복소 구조 ${\displaystyle J}$를 지녔으므로, 켈러 모듈러스와 복소 모듈러스를 가진다.

켈러 모듈러스 공간의 접공간은 무한소의 (1,1)차 형식 ${\displaystyle \epsilon \delta \omega _{i{\bar {\jmath }}}dz^{i}\wedge d{\bar {z}}^{\bar {\jmath }}}$의 꼴이다. 리치 텐서가 0이라는 조건에 의하여, 이는 ${\displaystyle O(\epsilon ^{2})}$ 항을 제외하고는 조화형식을 이룬다. 따라서 켈러 모듈러스 공간의 차원은 그 (1,1)차 조화형식 공간의 차원과 같다. 호지 이론에 따라서, 이는 돌보 코호몰로지의 차원인 호지 수 ${\displaystyle h^{1,1}(M)=\dim H^{(1,1)}(M)}$으로 주어진다. 또한, 켈러 형식들의 집합은 볼록 뿔을 이루는데, 이는 켈러 형식들의 집합이 볼록 선형결합에 대하여 닫혀 있기 때문이다. (볼록 선형결합으로 국한하는 이유는 ${\displaystyle \omega ^{n}}$이 부피 형식을 이뤄야 하기 때문이다.) 이를 켈러 뿔(Kähler cone)이라고 한다.

3차원 칼라비-야우 다양체의 경우, 복소 모듈러스 공간의 차원은 호지 수 ${\displaystyle h^{2,1}(M)=\dim H^{(2,1)}(M)}$에 의하여 주어진다.

예

복소 1차원 칼라비-야우 다양체는 (두 정의 다) 원환면밖에 없다. 복소 2차원 칼라비-야우 다양체 가운데 단일 연결된 것은 (역시 두 정의 다) K3 곡면밖에 없다. 복소 3차원 칼라비-야우 다양체는 아직 잘 알려지지 않았으며, 심지어 유한개인지 아니면 무한개인지도 모른다. 일반적으로, n차원 복소 사영 공간 ℂℙ_n의 동차좌표에서 (n+1)차 동차다항식의 해는 (n−1)차원 칼라비-야우 다양체를 이룬다.

끈 이론에서의 응용

끈 이론에서, 칼라비-야우 다양체는 시공의 축소화를 나타낸다. 끈 이론에서는 10차원의 시공이 필요한데, 이를 실제 세계와 관련짓기 위해서는 이를 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}\times X}$ 꼴의 곱으로 축소화시켜야 한다. (여기서 ${\displaystyle X}$는 콤팩트 다양체다.) 손지기 페르미온을 나타내려면 2개 이상의 초대칭이 있을 수 없고, 현상론적으로 하나의 초대칭이 있는 모형이 유력하므로, 초대칭을 4차원에서 하나만 남기고 파괴하는 축소화를 찾아야 하는데, 칼라비-야우 다양체는 이러한 성질을 만족한다. 축소화하는 칼라비-야우 다양체에 따라 4차원 우주에 다른 입자 및 물리 법칙이 나타난다. 이 사실은 필립 칸델라스(Philip Candelas), 게리 호로위츠(Gary Horowitz), 앤드루 스트로민저, 에드워드 위튼이 1985년에 발견하였다.^[5]

같이 보기

• 오차 삼중체
• G2 다양체

각주

1. Yau, Shing-Tung (2009). “Calabi-Yau manifold”. 《Scholarpedia》 (영어) 4 (8): 6524. doi:10.4249/scholarpedia.6524. ISSN 1941-6016. MR 2537089.
2. Gross, Mark; Daniel Huybrechts, Dominic Joyce (2003). 《Calabi-Yau Manifolds and Related Geometries: Lectures at a Summer School in Nordfjordeid, Norway, June 2001》 (영어). Universitext. Berlin: Springer. doi:10.1007/978-3-642-19004-9. ISBN 978-3-540-44059-8. ISSN 0172-5939. MR 1963559. Zbl 1001.00028. 더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
3. Hübsch, Tristan (1992년 3월). 《Calabi-Yau Manifolds: A Bestiary for Physicists》 (영어). Singapore: World Scientific. doi:10.1142/1410. ISBN 978-981-02-0662-8. MR 1177829. Zbl 0771.53002. 2013년 11월 2일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2013년 2월 8일에 확인함.
4. Joyce, Dominic (2001). “Lectures on special Lagrangian geometry” (영어). arXiv:math/0111111. Bibcode:2001math.....11111J.
5. Candelas, Philip; Gary Horowitz, Andrew Strominger, Edward Witten (1985). “Vacuum configurations for superstrings”. 《Nuclear Physics B》 258: 46–74. Bibcode:1985NuPhB.258...46C. doi:10.1016/0550-3213(85)90602-9. ISSN 0550-3213. 더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)

• Joyce, Dominic. “Lectures on Calabi–Yau and special Lagrangian geometry” (영어). arXiv:math/0108088. Bibcode:2001math......8088J.
• Bouchard, Vincent. “Lectures on complex geometry, Calabi-Yau manifolds and toric geometry” (영어). arXiv:hep-th/0702063. Bibcode:2007hep.th....2063B.
• He, Yang-Hui (2013). “Calabi-Yau geometries: algorithms, databases, and physics”. 《International Journal of Modern Physics A》 (영어). arXiv:1308.0186. Bibcode:2013arXiv1308.0186H. ISSN 0217-751X.

외부 링크

• 이남훈 (2008년 4월 1일). “칼라비-야우 다양체 (Calabi–Yau Manifolds)”. 《과학의 지평》 37: 22–25.