거울 대칭 가설

거울 대칭 가설(Mirror symmetry conjecture)은 특정 칼라비-야우 다양체와 그 다양체의 "거울 다양체"사이의 관계에 대한 추측이다. 이 추측으로 칼라비-야우 다양체 상의 유리 곡선의 수를 대수다형체(algebraic variety) 족에서 적분과 관련시킬 수 있다. 거울 대칭 가설을 다루는 몇 가지 관점이 있으며, 대표적으로 호몰로지 거울 대칭 가설과 SYZ 가설이 있다. 호몰로지 거울 대칭 가설은 호몰로지 대수학을 기반으로 삼는 반면, SYZ 추측은 더욱 기하학적인 서술이다.

5차 삼중체를 구성하기

처음에 거울 대칭 다양체를 구성하는 과정은 다소 엉성하였다. 본질적으로 일반 5차 삼중체 ${\displaystyle X\subset \mathbb {CP} ^{4}}$에 대하여 다중 특이점을 가진 1-매개변수 칼라비-야우 다양체 족 ${\displaystyle X_{\psi }}$이 존재해야 한다. 여기서 이 특이점들을 부풀리기 한 후 특이점을이 없어지며 뒤집힌 호지 다이아몬드를 가진 새로운 칼라비-야우 다양체 ${\displaystyle X^{\vee }}$가 구성된다. 특히, 다음과 같은 동형사상들이 존재한다: ${\displaystyle H^{q}(X,\Omega _{X}^{p})\cong H^{q}(X^{\vee },\Omega _{X^{\vee }}^{3-p}).}$

복소 모듈라이

일반 5차 삼중체^[1][2]${\displaystyle X\subset \mathbb {P} ^{4}}$이 5차 동차 다항식으로 정의됨을 기억하라. 이 다항식은 선형 다발 ${\displaystyle f\in \Gamma (\mathbb {P} ^{4},{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{4}}(5))}$^[3][4]의 global section으로도 묘사된다. 대역 단면의 선형 공간 차원은${\displaystyle \dim {\displaystyle \Gamma (\mathbb {P} ^{4},{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{4}}(5))}=126}$이다. 이 다항식들은 두 가지 동등성을 가진다: 첫째, 대수적 토러스 ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$로 스케일링하는 다항식^[5]. 둘째, 사영적 동등성은 ${\displaystyle 24}$ 차원인 ${\displaystyle \mathbb {P} ^{4}}$의 자기동형군 ${\displaystyle {\text{PGL}}(5)}$에 의해 주어진다. ${\displaystyle 126-24-1=101}$이므로 이것은 기하 불변 이론을 사용하여 구성 할 수 있는 ${\displaystyle 101}$ 차원 매개 변수 공간${\displaystyle U_{\text{smooth}}\subset \mathbb {P} (\Gamma (\mathbb {P} ^{4},{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{4}}(5)))/PGL(5)}$을 준다. 집합 ${\displaystyle U_{\text{smooth}}}$은 ${\displaystyle \mathbb {P} ^{4}}$안의 매끄러운 칼라비-야우 5차 삼중체를 정의하는 다항식들의 동치류들에 해당한다.^[6] 이제 세르 쌍대성과 각 칼라비-야우 다양체에 자명한 표준 선다발 ${\displaystyle \omega _{X}}$이 있다는 사실을 이용하여, deformation 공간에는 다음과 같은 동형사상:${\displaystyle H^{1}(X,T_{X})\cong H^{2}(X,\Omega _{X})}$과 ${\displaystyle H^{3}(X)}$위의 호지 구조의 ${\displaystyle (2,1)}$ 부분을 가진다. 렙셰츠 초평면 정리를 이용하면, 유일한 자명하지 않은 코호몰로지 군은 ${\displaystyle H^{3}(X)}$이다. 왜냐하면 다른 것들은 ${\displaystyle H^{i}(\mathbb {P} ^{4})}$와 동형이기 때문이다.오일러 지표와 top 천 특성류인 오일러 특성류를 사용하면 이 군의 차원은 ${\displaystyle 204}$이다. 이는

${\displaystyle {\begin{aligned}\chi (X)&=-200\\&=h^{0}+h^{2}-h^{3}+h^{4}+h^{6}\\&=1+1-\dim H^{3}(X)+1+1\end{aligned}}}$

이기 때문이다. 호지 구조를 이용하여 각 구성 요소의 차원을 구할 수 있다. 첫째, ${\displaystyle X}$가 칼라비-야우이므로, .${\displaystyle \omega _{X}\cong {\mathcal {O}}_{X}}$이다. 그래서${\displaystyle H^{0}(X,\Omega _{X}^{3})\cong H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X})}$가 호지 번호 ${\displaystyle h^{0,3}=h^{3,0}=1}$를 알 수 있다. 즉,${\displaystyle \dim H^{2}(X,\Omega _{X})=h^{1,2}=101}$은 칼라비-야우 다양체의 모듈라이 공간의 차원이다. Bogomolev-Tian-Todorov 정리로 인해 이러한 모든 deformation들이 방해받지 않으므로 매끄러운 공간 ${\displaystyle U_{\text{smooth}}}$은 사실 5차 삼중체의 모듈라이 공간다. 이 구성의 요점은, 이 모듈라이 공간의 복소 매개 변수가 어떻게 거울 다양체의 켈러 매개 변수로 변환되는지 보여주는 것이다.

거울 다양체

Dwork 족이라 불리는 칼라비-야우 다양체 ${\displaystyle X_{\psi }}$들의 다양체 족은 다음과 같은 ${\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {C} [\psi ])}$위의 사영족 ${\displaystyle X_{\psi }}$

${\displaystyle X_{\psi }={\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [\psi ][x_{0},\ldots ,x_{4}]}{(x_{0}^{5}+\cdots +x_{4}^{5}-5\psi x_{0}x_{1}x_{2}x_{3}x_{4})}}\right)}$

이다. 이 다양체 족의 complex deformation의 차원은 하나뿐이며 거울 다양체 ${\displaystyle {\check {X}}}$의 호지 다이아몬드가 다음과 같이 때문이다:

${\displaystyle \dim H^{2,1}({\check {X}})=1}$.

다양체 족${\displaystyle \{X_{\psi }\}}$는

${\displaystyle (a_{0},\ldots ,a_{4})\cdot [x_{0}:\cdots :x_{4}]=[e^{a_{0}\cdot 2\pi i/5}x_{0}:\cdots :e^{a_{4}\cdot 2\pi i/5}x_{4}]}$

과 같이 작용하는 대칭군

${\displaystyle G=\{(a_{0},\ldots ,a_{4})\in (\mathbb {Z} /5)^{5}:\sum a_{i}=0\}}$

을 가지고 있다. 조건

${\displaystyle \sum a_{i}=0}$

는 ${\displaystyle X_{\psi }}$의 사영성 때문에 들어가있다. 연관된 몫 variety ${\displaystyle X_{\psi }/G}$는 ${\displaystyle 100}$개의 특이점을 부풀리기 해서 주어지는 crepant resolution^[1][4]

${\displaystyle {\check {X}}\to X_{\psi }/G}$

를 가지고 있고 이를 통해 새로운 칼라비-야우 다양체 ${\displaystyle {\check {X}}}$를 얻는다.

같이 보기

• Cotangent complex
• Homotopy associative algebra
• Kuranishi structure
• 거울 대칭 (끈 이론)

참고 문헌

1. Auroux, Dennis. “The Quintic 3-fold and Its Mirror” (PDF).
2. for example, as a set, a Calabi-Yau manifold is the subset of complex projective space${\displaystyle \{[x_{0}:x_{1}:x_{2}:x_{3}:x_{4}]\in \mathbb {CP} ^{4}:x_{0}^{5}+x_{1}^{5}+x_{2}^{5}+x_{3}^{5}+x_{4}^{5}=0\}}$
3. Candelas, Philip; De La Ossa, Xenia C.; Green, Paul S.; Parkes, Linda (1991년 7월 29일). “A pair of Calabi-Yau manifolds as an exactly soluble superconformal theory”. 《Nuclear Physics B》 (영어) 359 (1): 21–74. Bibcode:1991NuPhB.359...21C. doi:10.1016/0550-3213(91)90292-6. ISSN 0550-3213.
4. Morrison, David R. (1993). “Mirror symmetry and rational curves on quintic threefolds: a guide for mathematicians”. 《J. Amer. Math. Soc.》 6: 223–247. arXiv:alg-geom/9202004. doi:10.1090/S0894-0347-1993-1179538-2.
5. Which can be thought of as the ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$-action on ${\displaystyle \mathbb {C} ^{5}-\{0\}}$ constructing the complex projective space ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{4}}$
6. More generally, such moduli spaces are constructed using projective equivalence of schemes in a fixed projective space on a fixed Hilbert scheme

책 / 노트

• Mirror Symmetry 클레이 수학연구소 eBook
• Mirror Symmetry and Algebraic Geometry -Cox, Katz
• On the work of Givental relative to mirror symmetry

초창기 증명들

• Equivariant Gromov-Witten Invariants- projective complete intersections에 대한 Givental의 원래 증명
• The mirror formula for quintic threefolds
• Rational curves on hypersurfaces (after A. Givental) -Givental의 증명에 대한 설명
• Mirror Principle I -Lian, Liu, Yau의 증명은 Givental의 증명에서 미완인 부분을 완성한다. 이 증명에는 당시 알려지지 않은 플뢰어 호몰로지에 대한 이론이 필요했다.
• Dual Polyhedra and Mirror Symmetry for Calabi-Yau Hypersurfaces in Toric Varieties - 칼라비-야우 다양체에 대한 최초의 일반적인 mirror variety 구성

연구

• Mirror symmetry: from categories to curve counts -호몰로지 거울 대칭과 고전적 거울 대칭 간의 관계
• Intrinsic mirror symmetry and punctured Gromov-Witten invariants

호몰로지 거울 대칭

• Categorical Mirror Symmetry: The Elliptic Curve
• An Introduction to Homological Mirror Symmetry and the Case of Elliptic Curves
• Homological mirror symmetry for the genus two curve
• Homological mirror symmetry for the quintic 3-fold
• Homological Mirror Symmetry for Calabi-Yau hypersurfaces in projective space
• Speculations on homological mirror symmetry for hypersurfaces in ${\displaystyle (\mathbb {C} ^{*})^{n}}$

외부 링크

• https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-969-topics-in-geometry-mirror-symmetry-spring-2009/lecture-notes/