천 특성류

대수적 위상수학과 미분기하학에서 천 특성류([陳]特性類, 영어: Chern class)는 복소 벡터 다발에 대한 특성류이다. 매끄러운 다양체 위의 한 벡터 다발에 대한 위상적 불변량이다. 두 벡터 다발이 사실 같은 다발인지 판별하는 데 유용하다.

천 특성류와 천 지표는 아티야-싱어 지표 정리 및 그로텐디크-리만-로흐 정리 등에서 쓰인다.

정의

매끄러운 다양체 ${\displaystyle M}$ 위의 복소 벡터 다발 ${\displaystyle E}$를 생각하자. 벡터 다발에 임의의 코쥘 접속 ${\displaystyle A\in C^{\infty }{\big (}T^{*}M\otimes \operatorname {End} (E){\big )}}$와 그 곡률

${\displaystyle R_{A}=dA+[A\wedge A]\in C^{\infty }{\big (}\bigwedge {}^{2}T^{*}M\otimes \operatorname {End} (M){\big )}}$

를 정하자. 그렇다면 다음 다항식을 정의할 수 있다.

${\displaystyle C(t;A)=\det(1+itR_{A}/2\pi )}$.

여기서 ${\displaystyle t}$는 형식적인 변수다. (${\displaystyle R_{A}}$는 2-형식이고, 짝수 차원의 미분형식은 가환하므로 행렬식을 정의할 수 있다.) ${\displaystyle C}$는 닫혀 있음을 보일 수 있다. 따라서 동치류

${\displaystyle c(t,A)=[C(t;A)]\in \bigoplus _{k}H^{2k}(M;\mathbb {C} )[t]}$

를 정의할 수 있다. 이는 코쥘 접속 ${\displaystyle A}$에 관계없음을 보일 수 있다. 즉

${\displaystyle c(t,A)=c(t)}$

이다. 천 특성류의 원소 ${\displaystyle c_{k}\in H^{2k}(M,\mathbb {C} )}$는 ${\displaystyle c(t)}$의 테일러 급수

${\displaystyle c(t)=\sum _{k}c_{k}t^{k}}$

의 계수다.

실수 벡터 다발에 대해서도 유사한 특성류를 정의할 수 있는데, 이를 폰트랴긴 특성류라고 한다. 또한, 슈티펠-휘트니 특성류도 실수 벡터 다발에 대한 천 특성류에 대응하는 객체로 생각할 수 있다.

대수적 천 특성류

천 특성류는 대수기하학에서도 등장한다. 이 경우 천 특성류는 비특이 대수다양체에 대하여 정의되며, 특이 코호몰로지 대신 이보다 더 많은 정보를 담고 있는 저우 환 속의 원소가 된다. 구체적으로, 비특이 준사영 대수다양체 ${\displaystyle X}$ 위에, ${\displaystyle r}$차원 국소 자유 가군층 ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$가 주어졌을 때, ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$의 (대수적) 천 특성류^[1]:429

${\displaystyle c^{\bullet }({\mathcal {E}})\in A^{\bullet }(X)}$

는 (정수 계수) 저우 환 ${\displaystyle A^{\bullet }(X)}$의 원소이다. 마찬가지로, (대수적) 천 지표^[1]:431

${\displaystyle \operatorname {ch} ({\mathcal {E}})\in A^{\bullet }(X)\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {C} }$

를 유리수 계수 저우 환 속에 정의할 수 있다.

성질

복소수 ${\displaystyle n}$차원 복소다양체 ${\displaystyle M}$의 접다발 ${\displaystyle TM}$의 천 특성류 ${\displaystyle c_{k}(TM)}$는 ${\displaystyle TM}$이 ${\displaystyle (n-k+1)}$개의, 모든 곳에서 선형 독립인 단면을 갖는 것에 대한 방해 조건(영어: obstruction)이다. 즉, ${\displaystyle c_{k}(TM)=0}$이어야지만 이만큼의 선형 독립 벡터장들이 존재할 수 있다.^{[2]:8, Remark 1.3.1} 특히, ${\displaystyle c_{n}(TM)}$은 모든 곳에서 0이 아닌 벡터장이 존재할 방해 조건이며, ${\displaystyle c_{1}(TM)}$은 모든 곳에서 0이 아닌 (복소수) 필바인이 존재할 방해 조건이다.

복소수 ${\displaystyle n}$차원 복소다양체 ${\displaystyle M}$의 최고차 천 특성류 ${\displaystyle c_{n}(TM)}$는 그 오일러 특성류 ${\displaystyle e(TM)}$과 같다.

예

자명한 복소수 벡터 다발의 천 특성류는 항상 0이다. 벡터 다발의 쌍대다발의 천 특성류는 원래 벡터 다발의 천 특성류의 −1배이다.

${\displaystyle c(E^{*})=-c(E)}$

리만 곡면

콤팩트 리만 곡면 ${\displaystyle \Sigma }$ 위의, 인자 ${\displaystyle D}$에 대응하는 선다발 ${\displaystyle {\mathcal {L}}(D)}$의 천 수는 그 차수 ${\displaystyle \deg D}$와 같다.

${\displaystyle c({\mathcal {L}}(D))=1+(\deg D)[\Sigma ]\in H^{\bullet }(\Sigma$ ;\mathbb {Z} )}

특히, 리만 곡면의 접다발 ${\displaystyle \operatorname {T} \Sigma }$ 및 표준 선다발(=공변접다발) ${\displaystyle \operatorname {T} ^{*}\Sigma }$의 차수는 각각 ${\displaystyle \chi (\Sigma )=2-2g}$ 및 ${\displaystyle -\chi (\Sigma )=2g-2}$이므로, 이들의 천 특성류는 다음과 같다.

${\displaystyle c(\operatorname {T} \Sigma )=1+\chi (\Sigma )[\Sigma ]}$

${\displaystyle c(\operatorname {T} ^{*}\Sigma )=1-\chi (\Sigma )[\Sigma ]}$

만약 ${\displaystyle g=1}$일 경우 (원환면 = 복소수 타원 곡면), 접다발 및 표준 선다발이 자명한 선다발임을 알 수 있다. ${\displaystyle g\neq 1}$일 경우, 리만 곡면 위의 모든 벡터장 ${\displaystyle V}$은 적어도 하나의 영점을 갖는다. 이는 푸앵카레-호프 정리

${\displaystyle \sum _{z\colon V(z)=0}\operatorname {index} _{z}V=\chi (\Sigma )}$

의 한 예이다.

복소수 사영 공간

복소수 사영 공간 ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$의 경우, 다음과 같은 오일러 완전열이 존재한다.

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {CP} ^{n}}\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {CP} ^{n}}(1)^{\oplus (n+1)}\to \operatorname {T} \mathbb {CP} ^{n}\to 0}$

여기서 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {CP} ^{n}}}$은 구조층이며, 이는 자명한 선다발이다 (복소수 사영 공간 위에 존재하는 정칙 함수는 상수 함수밖에 없다). ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {CP} ^{n}}(1)}$은 세르 뒤틀림층(=${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$의 정의에 따라 존재하는 선다발의 쌍대 다발)이다.

완전열의 첫 항이 자명하므로, 복소수 사영 공간의 접다발의 천 특성류는 다음과 같다.

${\displaystyle c(\operatorname {T} \mathbb {CP} ^{n})=c({\mathcal {O}}_{\mathbb {CP} ^{n}}(1))^{n+1}=(1+c_{1}({\mathcal {O}}_{\mathbb {C} P^{n}}(1)))^{n+1}}$

역사

천싱선이 1946년에 도입하였다.^[3]

같이 보기

• 폰트랴긴 특성류
• 슈티펠-휘트니 특성류
• 오일러 특성류
• 양자 홀 효과

각주

1. Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 52. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001.
2. Brasselet, Jean-Paul; Seade, José; Suwa, Tatsuo (2009). 《Vector fields on singular varieties》. Lecture Notes in Mathematics (영어) 1987. Springer. doi:10.1007/978-3-642-05205-7. ISBN 978-3-642-05204-0. ISSN 0075-8434.
3. Chern, Shiing-Shen (1946년 1월). “Characteristic classes of Hermitian manifolds”. 《Annals of Mathematics》 47 (1): 85–121. doi:10.2307/1969037. MR 0015793. Zbl 0060.41416. 더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)

• 권영현; 윤달선. 《현대 기하학 입문》. 서울: 경문사. ISBN 89-7282-535-2. 2021년 10월 28일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2013년 7월 18일에 확인함. 더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
• 조용승 (2012). 《지표이론》. 경문사. ISBN 978-89-6105-622-9. 2014년 11월 12일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2014년 11월 12일에 확인함.

외부 링크

• “Chern class”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Chern class”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Chern number”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• “Chern class”. 《nLab》 (영어).
• “First Chern class”. 《nLab》 (영어).
• “Chern class”. 《Topospaces》 (영어). 2015년 7월 4일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 7월 3일에 확인함.
• Teitler, Zach (2004). “An informal introduction to computing with Chern classes” (영어). Bepress SelectedWorks. 2015년 7월 4일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 7월 3일에 확인함.
• Mathew, Akhil (2011년 8월 5일). “Chern classes”. 《Climbing Mount Bourbaki》 (영어). 2015년 7월 13일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 7월 3일에 확인함.