복소다양체

미분기하학에서 복소다양체(複素多樣體, 영어: complex manifold)는 국소적으로 복소 공간 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$으로 간주할 수 있는 매끄러운 다양체이다.

정의

복소다양체 ${\displaystyle (M,\{U_{\alpha }\},\{\phi _{\alpha }\}\})}$는 다음과 같은 데이터로 이루어져 있다.

• 위상 공간 ${\displaystyle M}$
• ${\displaystyle M}$의 열린 덮개 ${\displaystyle \{U_{\alpha }\}_{\alpha \in I}}$
• 각 ${\displaystyle U_{\alpha }}$에 대하여, ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$의 열린집합 ${\displaystyle \phi _{\alpha }(U_{\alpha })}$으로의 위상동형사상 ${\displaystyle \phi _{\alpha }\colon U_{\alpha }\to \phi _{\alpha }(U_{\alpha })}$. 여기서 정수 ${\displaystyle n}$은 복소다양체의 차원이다. 함수족 ${\displaystyle \{\phi _{\alpha }\}_{\alpha \in I}}$를 좌표근방계(atlas)라고 한다.

좌표근방계는 다음 조건을 만족하여야 한다.

• ${\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing }$인 ${\displaystyle \alpha ,\beta }$에 대하여, 함수 ${\displaystyle \phi _{\alpha \beta }=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{-1}\colon \phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })}$가 정칙 함수이어야 한다. 이 함수들을 추이 사상(推移寫像,transition map)이라고 한다.

개복소다양체를 통한 정의

복소다양체의 개념은 개복소다양체의 특수한 경우로 정의할 수도 있다. 모든 개복소다양체 ${\displaystyle M}$ 위에는 네이엔하위스 텐서장이라는 (1,2)차 텐서장 (접다발 값의 2차 미분 형식) ${\displaystyle N_{J}}$이 존재한다. 네이엔하위스 텐서장이 0인 개복소다양체를 복소다양체라고 한다.

예

• 복소 유클리드 공간 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$은 ${\displaystyle n}$차원 복소다양체이다.
• 리만 곡면은 1차원 복소다양체이다.
• 에르미트 다양체, 켈러 다양체, 칼라비-야우 다양체 등은 복소다양체의 특수한 경우다.
• ${\displaystyle GL(n,\mathbb {C} )}$나 ${\displaystyle Sp(n,\mathbb {C} )}$와 같은 복소 리 군도 복소다양체이다.
• 복소수 사영 공간 ${\displaystyle \mathbb {C} P^{n}}$도 복소다양체를 이룬다.

외부 링크

• “Complex manifold”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• “Analytic manifold”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• “Complex structure”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Complex manifold”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• “Complex manifold”. 《nLab》 (영어).

같이 보기

• 에르미트 다양체
• 켈러 다양체
• 일반화 복소다양체