리만 곡률 텐서

리만 다양체 $(M,g)$ 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 레비치비타 접속 $\nabla$ 을 정의할 수 있다. 그렇다면, 임의의 두 벡터장 $u,v\in \Gamma (\mathrm {T} M)$ 에 대하여, 다음과 같은 표현을 정의할 수 있다.

\operatorname {Riem} (u,v)w=\nabla _{u}\nabla _{v}w-\nabla _{v}\nabla _{u}w-\nabla _{[u,v]}w

이 2차 미분 연산자 $\operatorname {Riem}$ 은 사실 (1,3)차 텐서장에 불과한 것을 보일 수 있으며, 이 텐서장을 리만 곡률 텐서라고 한다. 즉, 리만 곡률 텐서는 공변 미분의 비가환성을 나타내는 개체로 이해할 수 있다.

좌표로 쓰면 다음과 같다. 여기서는 지표(index)와 아인슈타인 표기법을 쓰자. 레비치비타 접속은 크리스토펠 기호 $\Gamma _{\nu \rho }^{\mu }$ 로 나타내어진다. 그렇다면 리만 곡률 텐서는 다음과 같다.

{\operatorname {Riem} ^{\rho }}_{\sigma \mu \nu }=\partial _{\mu }\Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }-\partial _{\nu }\Gamma _{\mu \sigma }^{\rho }+\Gamma _{\mu \lambda }^{\rho }\Gamma _{\nu \sigma }^{\lambda }-\Gamma _{\nu \lambda }^{\rho }\Gamma _{\mu \sigma }^{\lambda }

리만 곡률 텐서는 다음과 같은 대칭을 지닌다.

\operatorname {Riem} (u,v)=-\operatorname {Riem} (v,u)

\langle \operatorname {Riem} (u,v)w,z\rangle =-\langle \operatorname {Riem} (u,v)z,w\rangle

\langle \operatorname {Riem} (u,v)w,z\rangle =\langle \operatorname {Riem} (w,z)u,v\rangle

\operatorname {Riem} (u,v)w+\operatorname {Riem} (v,w)u+\operatorname {Riem} (w,u)v=0

(\nabla _{u}\operatorname {Riem} )(v,w)+(\nabla _{v}\operatorname {Riem} )(w,u)+(\nabla _{w}\operatorname {Riem} )(u,v)=0

이에 따라, $n$ 차원 다양체에서 리만 곡률 텐서는 $n^{2}(n^{2}-1)/12$ 개의 독립된 성분을 지닌다. (교환 대칭성은 반대칭성과 제1 비앙키 항등식으로부터 유도할 수 있다.)

지표로 쓰면 이들은 다음과 같다.

\operatorname {Riem} _{(\rho \sigma )\mu \nu }=R_{\rho \sigma (\mu \nu )}=0

\operatorname {Riem} _{\rho \sigma \mu \nu }=\operatorname {Riem} _{\mu \nu \rho \sigma }

\operatorname {Riem} _{\rho [\sigma \mu \nu ]}=0

{\displaystyle \operatorname {Riem} _{\rho \sigma [\mu \nu

여기서 대괄호 $[\mu \nu \rho ]$ 는 지표의 (완전) 반대칭화, 소괄호 $(\mu \nu )$ 는 지표의 대칭호를 뜻한다.

이 대칭에 따라서, $n$ 차원에서 리만 곡률 텐서의 서로 독립인 성분은

{\frac {1}{12}}n^{2}(n^{2}-1)

개이다. 임의의 차원에서, 리만 곡률 텐서는 리치 곡률 텐서와 바일 곡률 텐서로 표현될 수 있다. 리치 곡률 텐서의 성분의 수는 ${\tfrac {1}{2}}n(n+1)$ 이며 바일 곡률 텐서의 성분의 수는

{\frac {1}{2}}(n-3){\binom {n+2}{3}}\qquad (n\geq 3)

이다.

리만 다양체 $(M,g)$ 위의 임의의 벡터장 $X$ 에 대하여, 리만 곡률의 정의에 따라 다음이 성립한다.

(\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }-\nabla _{\nu }\nabla _{\mu })X^{\rho }=\operatorname {Riem} ^{\rho }{}_{\sigma \mu \nu }X^{\sigma }

리만 다양체 $(M,g)$ 위의 임의의 1차 미분 형식 $\alpha$ 에 대하여, 다음이 성립한다.

(\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }-\nabla _{\nu }\nabla _{\mu })\alpha _{\sigma }=-\operatorname {Riem} ^{\rho }{}_{\sigma \mu \nu }\alpha _{\rho }

보다 일반적으로, 임의의 $(r,s)$ 차 텐서장 $T$ 에 대하여, 다음이 성립한다.^[1]

(\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }-\nabla _{\nu }\nabla _{\mu })T_{\beta _{1}\dotsi \beta _{s}}^{\alpha _{1}\dotsi \alpha _{r}}=\operatorname {Riem} ^{\alpha _{1}}{}_{\rho \mu \nu }T_{\beta _{1}\dotsi \beta _{s}}^{\rho \alpha _{2}\cdots \alpha _{r}}+\dotsb +\operatorname {Riem} ^{\alpha _{r}}{}_{\rho \mu \nu }T_{\beta _{1}\dotsi \beta _{s}}^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r-1}\rho }-\operatorname {Riem} ^{\sigma }{}_{\beta _{1}\mu \nu }T_{\sigma \beta _{2}\dotsi \beta _{s}}^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}-\cdots -\operatorname {Riem} ^{\sigma }{}_{\beta _{s}\mu \nu }T_{\beta _{1}\cdots \beta _{s-1}\sigma }^{\alpha _{1}\dotsi \alpha _{r}}

1차원 리만 다양체(즉, 곡선)의 리만 곡률 텐서는 항상 0이다. 1차원 이하의 다양체는 내재적 곡률을 갖지 않는다.

2차원 리만 다양체의 경우, 리만 곡률 텐서는 1개의 독립된 성분을 가지며, 구체적으로 다음과 같은 꼴이다.

\operatorname {Riem} _{abcd}^{}=K(g_{ac}g_{db}-g_{ad}g_{cb})

K={\frac {1}{2}}\operatorname {tr} \operatorname {Ric}

여기서 $K$ 는 가우스 곡률이며, 스칼라 곡률의 ½배이다.

3차원 리만 다양체의 경우, 리만 곡률 텐서는 6개의 독립된 성분을 가지며, 이는 리치 곡률 텐서의 성분의 수와 같다. 이 경우 리만 곡률 텐서는 리치 곡률 텐서 $\operatorname {Ric}$ 로 표현될 수 있으며, 다음과 같다.

\operatorname {Riem} _{abcd}=F_{ac}g_{bd}-F_{ad}g_{bc}+F_{bd}g_{ac}-F_{bc}g_{ad}

F_{ab}=\operatorname {Ric} _{ab}-{\frac {1}{4}}(\operatorname {tr} \operatorname {Ric} )g_{ab}

여기서 텐서장 $F$ 는 리치 곡률 텐서와 아인슈타인 텐서의 평균이며, 스하우턴 텐서(영어: Schouten tensor)라고 한다.

정의