초대칭 게이지 이론

초대칭 게이지 이론(超對稱-理論, 영어: supersymmetric gauge theory)은 일반 게이지 이론에 초대칭을 도입하여 얻은 이론이다.^[1]:40–45 게이지 장을 벡터 초다중항에 넣어 게이지 보손의 짝인 스핀 ½의 게이지노를 얻는다. 대표적인 예로 최소 초대칭 표준 모형이 있다. 아직 실험적으로 검증되지 않았다.

이론적 전개

여기서는 현상론적으로 의미있는 경우인 4차원 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$ 초대칭을 다룬다.

게이지장

게이지 퍼텐셜은 벡터장이므로 벡터 초다중항을 이루게 된다. 즉 ${\displaystyle V={\bar {V}}}$를 만족하는 초장 ${\displaystyle V=2gV^{a}t^{a}}$로 서술한다. (${\displaystyle g}$는 결합 상수, ${\displaystyle t^{a}}$는 게이지 리 대수의 기저) 이를 프리퍼텐셜(영어: prepotential)이라고 부른다. 이는 손지기 초장 ${\displaystyle \Lambda }$로 주어지는 게이지 변환의 경우에는

${\displaystyle \exp V\mapsto \exp(i{\bar {\Lambda }})\exp V\exp(-i\Lambda )}$

와 같이 변환한다.^[1]:36,43

다음과 같이 패러데이 텐서 ${\displaystyle F_{\mu \nu }}$에 해당하는 장세기

${\displaystyle W_{\alpha }=-{\frac {1}{4}}{\bar {D}}^{2}(\exp(-V)D_{\alpha }\exp V)}$

를 정의할 수 있다.^[1]:40,43 장세기 ${\displaystyle W}$는 손지기 초장(chiral superfield)이다. ${\displaystyle W}$와 ${\displaystyle {\bar {W}}}$는 다음과 같이 변환한다.

${\displaystyle W\mapsto \exp(i\Lambda )W\exp(-\Lambda )}$.

따라서 게이지장의 라그랑지언의 운동 에너지 항을 다음과 같은 F-항으로 쓸 수 있다.^[1]:41

${\displaystyle {\frac {1}{4}}(W^{2}+{\bar {W}}^{2})}$.

또한, 게이지 군이 아벨 군일 경우에는 페예-일리오풀로스 D-항

${\displaystyle -\kappa V}$

이 존재한다.^[1]:41 (여기서 ${\displaystyle \kappa }$는 상수다.)

물질

${\displaystyle X}$가 물질을 나타내는 손지기 초장이라고 하자. 게이지 대칭이 없는 경우에는 ${\displaystyle {\bar {X}}X}$꼴의 D-항이 라그랑지언의 운동 에너지 항을 나타내지만, 게이지 대칭이 있고 ${\displaystyle X}$가 그 게이지장에 대하여 대전된 경우 이 항은 게이지 불변이 아니다. ${\displaystyle X}$는 다음과 같이 변환한다.^[1]:41,43

${\displaystyle X\mapsto \exp(i\Lambda )X}$

${\displaystyle {\bar {X}}\mapsto {\bar {X}}\exp(-i{\bar {\Lambda }})}$.

따라서 다음과 같은 운동 에너지 D-항이 게이지 불변임을 알 수 있다.^{[1]:41–42,43}

${\displaystyle {\bar {X}}\exp(V)X}$.

각주

1. Martin, Stephen P. (2010년 4월). 〈A supersymmetry primer〉. 《Perspectives on Supersymmetry II》. Advanced Series on Directions in High Energy Physics 21. Singapore: World Scientific. 1–153쪽. arXiv:hep-ph/9709356. Bibcode:2010ASDHE..21....1M. doi:10.1142/9789814307505_0001. ISBN 978-981-4307-48-2. |장=에 외부 링크가 있음 (도움말) 구판 Martin, Stephen P. (1998년 7월). 〈A supersymmetry primer〉. 《Perspectives On Supersymmetry》. Advanced Series on Directions in High Energy Physics 18. Singapore: World Scientific. 1–98쪽. Bibcode:1998pesu.conf....1M. doi:10.1142/9789812839657_0001. ISBN 978-981-02-3553-6. 쪽 인용은 최신 arXiv판에 대한 것이다.

같이 보기

• 고니시 변칙