Lapangan (matematika)

Lapangan atau medan (juga disebut bidang) dalam matematika adalah suatu struktur aljabar dengan operasi seperti penambahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian yang memenuhi aksioma tertentu. Lapangan yang kerap kali dijumpai adalah lapangan bilangan riil, lapangan bilangan kompleks dan bilangan rasional.

Informasi lebih lanjut Struktur aljabar ...

Tutup

Informasi lebih lanjut

...

Tutup

Medan yang paling dikenal adalah medan bilangan rasional, bidang bilangan riil dan medan bilangan kompleks. Terdapat medan lainnya, seperti medan fungsi rasional, medan fungsi aljabar, medan bilangan aljabar, dan Medan p-adik umumnya digunakan dan dipelajari dalam matematika, terutama dalam teori bilangan dan geometri aljabar. Sebagian besar protokol kriptografi mengandalkan Medan hingga, yaitu bidang dengan banyak elemen.

Relasi dua medan diekspresikan dengan gagasan tentang ekstensi medan. Teori Galois yang diprakarsai oleh Évariste Galois pada tahun 1830-an, dikhususkan untuk memahami kesimetrian perluasan medan. Di antara hasil lainnya, teori ini menunjukkan bahwa segitiga tiga sudut dan mengkuadratkan lingkaran tidak dapat dilakukan dengan kompas dan garis lurus. Selain itu, ini menunjukkan bahwa persamaan kuintik, secara umum, tidak berpenyelesaian secara aljabar.

Medan berfungsi sebagai gagasan dasar dalam beberapa ranah matematika. Ini mencakup berbagai cabang analisis matematika yang didasarkan pada medan dengan struktur tambahan. Teorema dasar dalam analisis bergantung pada sifat struktural medan bilangan riil. Yang terpenting untuk tujuan aljabar, medan yang digunakan sebagai skalar untuk ruang vektor, yang merupakan konteks umum standar untuk aljabar linear. Medan bilangan bagian dari medan bilangan rasional, dipelajari secara mendalam di teori bilangan. Medan fungsi dapat membantu mendeskripsikan sifat objek geometris.

Contoh sebuah lapangan adalah himpunan bilangan rasional Q. Dalam Q terdapat empat operasi dasar: penjumlahan bersama dengan pengurangan, dan perkalian dengan pembagian. Secara intuitif, suatu lapangan adalah himpunan bilangan yang memiliki empat operasi seperti itu. Agar memenuhi syarat sebagai lapangan, operasi-operasi tersebut harus memenuhi aksioma tertentu.

Sebuah lapangan adalah sebuah himpunan, misalkan dinamakan F, bersama dengan dua operasi biner, yang biasanya dinamakan sebagai penambahan dan perkalian, masing-masing dilambangkan sebagai + dan ·, sehingga aksioma berikut berlaku:

Tertutup terhadap penambahan dan perkalian: Untuk semua a, b anggota F, baik a + b dan a · b ada dalam F (atau, dengan rumusan lebih formal, + dan . adalah operasi biner terhadap F).
Sifat asosiatif penambahan dan perkalian: Untuk semua a, b, and c dalam F, persamaan berikut berlaku:

a + (b + c) = (a + b) + c dan a · (b · c) = (a · b) · c.

Sifat komutatif penjumlahan dan perkalian: Untuk semua a dan b dalam F, kesamaan berikut berlaku:

a + b = b + a dan a · b = b · a.

Unsur identitas dalam penambahan dan perkalian: Terdapat anggota atau unsur F, yang dinamakan unsur identitas penambahan yang dilambangkan sebagai 0, sehingga untuk semua a dalam F,

a + 0 = a. Begitu pula, terdapat anggota, yang dinamakan sebagai unsur identitas perkalian yang dilambangkan dengan 1, sehingga untuk semua a dalam F, a · 1 = a. Unsur identitas penambahan dan perkalian disyaratkan berbeda, untuk alasan teknis.

Invers penambahan dan perkalian: Untuk setiap a dalam F, terdapat sebuah anggota, -a dalam F, sehingga

a + (−a) = 0. Dengan cara yang sama, untuk setiap a dalam F selain 0, terdapat anggota a⁻¹ in F,sehingga a · a⁻¹ = 1. (Unsur a + (−b) dan a · b⁻¹ masing-masing dinamakan a − b and a/b) Dengan kata lain, terdapat operasi pengurangan dan pembagian.

Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan: Untuk semua a, b dan c dalam F, kesamaan berikut berlaku:

a · (b + c) = (a · b) + (a · c).

Bilangan rasional

Bilangan rasional telah banyak digunakan jauh sebelum elaborasi konsep lapangan. Itu adalah bilangan yang dapat ditulis sebagai pecahan $a / b$ , dimana $a$ dan $b$ adalah bilangan bulat, dan $b \neq 0$ . Kebalikan aditif dari pecahan tersebut adalah $- a / b$ , dan pembalikan perkalian (asalkan $a \neq 0$ ) adalah $b / a$ , yang bisa dilihat sebagai berikut:

{\frac {b}{a}}\cdot {\frac {a}{b}}={\frac {ba}{ab}}=1.

Aksioma bidang yang diperlukan secara abstrak direduksi menjadi sifat standar bilangan rasional. Misalnya hukum distributivitas dapat dibuktikan sebagai berikut:^[1]

{\begin{aligned}&{\frac {a}{b}}\cdot \left({\frac {c}{d}}+{\frac {e}{f}}\right)\\[6pt]={}&{\frac {a}{b}}\cdot \left({\frac {c}{d}}\cdot {\frac {f}{f}}+{\frac {e}{f}}\cdot {\frac {d}{d}}\right)\\[6pt]={}&{\frac {a}{b}}\cdot \left({\frac {cf}{df}}+{\frac {ed}{fd}}\right)={\frac {a}{b}}\cdot {\frac {cf+ed}{df}}\\[6pt]={}&{\frac {a(cf+ed)}{bdf}}={\frac {acf}{bdf}}+{\frac {aed}{bdf}}={\frac {ac}{bd}}+{\frac {ae}{bf}}\\[6pt]={}&{\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}+{\frac {a}{b}}\cdot {\frac {e}{f}}.\end{aligned}}

Bilangan riil dan kompleks

Bilangan riil $R$ , dengan operasi penjumlahan dan perkalian yang biasa, juga membentuk bidang. Bilangan kompleks $C$ terdiri dari ekspresi

a + bi,

dengan

a, b

,

dimana $i$ adalah unit imajiner, yaitu bilangan (non-nyata) memuaskan $i 2 = -1$ . Penjumlahan dan perkalian bilangan real didefinisikan sedemikian rupa sehingga ekspresi jenis ini memenuhi semua aksioma medan dan karenanya berlaku untuk $C$ . Misalnya, penegakan hukum distributif

(a + bi)(c + di) = ac + bci + adi + bdi 2 = ac - bd + (bc + ad) i .

Ini langsung bahwa ini lagi-lagi merupakan ekspresi dari tipe di atas, dan bilangan kompleks membentuk bidang. Bilangan kompleks dapat direpresentasikan secara geometris sebagai titik dalam bidang. dengan koordinat kartesius yang diberikan oleh bilangan real dari ekspresi yang mendeskripsikannya, atau sebagai panah dari asal ke titik-titik ini, ditentukan oleh panjangnya dan sudut tertutup dengan beberapa. Penambahan kemudian sesuai dengan penggabungan panah ke jajaran genjang intuitif (menambahkan koordinat Kartesius), dan perkaliannya, kurang intuitif, menggabungkan putaran dan skala panah (menambahkan sudut dan mengalikan panjangnya). Bidang bilangan real dan kompleks digunakan di seluruh matematika, fisika, teknik, statistik, dan banyak disiplin ilmu lainnya.

Bilangan konstruksibel

Di zaman kuno, beberapa masalah geometris menyangkut kelayakan (dalam) konstruksi bilangan tertentu dengan kompas dan garis lurus. Misalnya, orang Yunani tidak mengetahui bahwa secara umum tidak mungkin untuk membagi dua sudut tertentu dengan cara ini. Masalah ini dapat diselesaikan dengan menggunakan bidang bilangan konstruksibel.^[2] Bilangan konstruktif riil, menurut definisi, adalah panjang segmen garis yang dapat dibangun dari titik 0 dan 1 dalam banyak langkah tak terhingga hanya dengan menggunakan kompas dan garis lurus. Angka-angka ini, diberkahi dengan operasi bidang bilangan real, terbatas pada bilangan yang dapat dibangun, membentuk bidang, yang mencakup bidang $Q$ of angka rasional. Ilustrasi menunjukkan konstruksi akar kuadrat dari bilangan yang dapat dibangun, tidak harus terkandung di dalamnya $Q$ . Menggunakan label dalam ilustrasi, buat segmen $AB$ , $BD$ , dan setengah lingkaran berakhir $AD$ (pusatkan di titik tengah $C$ ), yang memotong garis tegak lurus melalui $B$ pada satu titik $F$ , pada jarak tepat $h={\sqrt {p}}$ dari $B$ jika $BD$ memiliki panjang satu.

Tidak semua bilangan real dapat dibangun. Dapat ditunjukkan bahwa ${\sqrt[{3}]{2}}$ bukanlah bilangan yang dapat dibangun, yang menyiratkan bahwa tidak mungkin untuk membangun dengan kompas dan meluruskan panjang sisi sebuah kubus dengan volume 2, masalah lain yang ditimbulkan oleh orang Yunani kuno.

Bidang dengan empat elemen

Informasi lebih lanjut Penambahan, Perkalian ...

Penambahan

Perkalian

+	$O$	$I$	$A$	$B$
$O$	$O$	$I$	$A$	$B$
$I$	$I$	$O$	$B$	$A$
$A$	$A$	$B$	$O$	$I$
$B$	$B$	$A$	$I$	$O$

·	$O$	$I$	$A$	$B$
$O$	$O$	$O$	$O$	$O$
$I$	$O$	$I$	$A$	$B$
$A$	$O$	$A$	$B$	$I$
$B$	$O$	$B$	$I$	$A$

Tutup

Selain sistem bilangan yang sudah dikenal seperti rasio, ada contoh bidang lain yang kurang langsung. Contoh berikut adalah bidang yang terdiri dari empat elemen yang disebut $O$ , $I$ , $A$ , dan $B$ . Notasi $O$ memainkan peran elemen identitas aditif (dilambangkan 0 dalam aksioma di atas), dan I adalah identitas perkalian (dilambangkan 1 dalam aksioma di atas). Aksioma medan dapat diverifikasi dengan menggunakan beberapa teori medan lagi, atau dengan perhitungan langsung. Sebagai contoh,

A \cdot (B + A) = A \cdot I = A

, yang sama dengan

A \cdot B + A \cdot A = I + B = A

, seperti yang dipersyaratkan oleh distribusi.

Bidang ini disebut bidang hingga dengan empat elemen, dan dilambangkan $F 4$ or $GF(4)$ .^[3] Bagian terdiri dari $O$ and $I$ (disorot dengan warna merah pada tabel di sebelah kanan) juga merupakan bidang, yang dikenal sebagai bidang biner $F 2$ atau $GF(2)$ . Dalam konteks ilmu komputer dan Aljabar Boolean, $O$ dan $I$ masing-masing sering dilambangkan dengan false dan true , penambahan kemudian dilambangkan XOR (eksklusif atau), dan perkalian dilambangkan AND. Dengan kata lain, struktur bidang biner adalah struktur dasar yang memungkinkan dilakukannya komputasi dengan bit.

Dalam bagian ini, $F$ menunjukkan medan sembarang dan $a$ , serta $b$ elemen sembarang dari $F$ .

Konsekuensi dari definisi

Satu memiliki $a \cdot 0 = 0$ dan $- a = (-1) \cdot a$ . Secara khusus, seseorang dapat menyimpulkan kebalikan aditif dari setiap elemen segera setelah dia mengetahui $-1$ .^[1]

Jika $ab = 0$ kemudian $a$ atau $b$ harus 0, karena, jika $a \neq 0$ , kemudian $b = (a -1 a) b = a -1 (ab) = a -1 \cdot0 = 0$ . Ini berarti bahwa setiap bidang adalah domain integral.

Selain itu, properti berikut ini berlaku untuk semua elemen $a$ dan $b$ :

-0 = 0

1 -1 = 1

(-(- a)) = a

(a -1) -1 = a

(- a) \cdot b = a \cdot (- b) = -(a \cdot b)

Aditif dan grup perkalian dari sebuah medan

Aksioma sebuah medan $F$ adalah grup abelian di bawah tambahan. Grup ini disebut grup aditif pada bidang, dan terkadang dilambangkan dengan $(F, +)$ ketika hanya menandai sebagai $F$ yang hanya membingungkan.

Demikian pula, elemen bukan nol dari $F$ membentuk grup abelian dalam perkalian yang disebut grup perkalian, dan dilambangkan dengan $(F \ {0}, ·)$ untuk $F \ {0}$ atau $F *$ .

Medan didefinisikan sebagai himpunan $F$ dengan dua operasi yang dilambangkan sebagai penjumlahan dan perkalian sehingga $F$ adalah grup abelian dalam penjumlahan, $F \ {0}$ adalah grup abelian dalam perkalian,^{[catatan 1]} dan perkalian adalah distributif di atas penjumlahan.^{[nb 1]} Oleh karena itu, beberapa pernyataan dasar tentang medan diperoleh dengan menerapkan fakta umum grup. Misalnya, penjumlahan dan perkalian inversi $- a$ dan $a -1$ ditentukan secara unik oleh $a$ .

Persyaratan yang mengikuti $1 \neq 0$ , karena 1 adalah elemen identitas grup tidak berisi 0.^[4] Jadi, gelanggang trivial yang terdiri dari satu elemen adalah bukan medan.

Setiap subgrup hingga dari grup perkalian sebuah bidang adalah siklik (lihat Akar kesatuan § Grup siklik).

Karakteristik

Selain perkalian dua elemen F, dimungkinkan untuk mendefinisikan produk $n \cdot a$ dari elemen arbitrer $a$ dari $F$ dengan bilangan bulat positif $n$ sebagai jumlah lipat- $n$

a + a + \cdot\cdot\cdot + a

(yang merupakan elemen dari

F

.)

Jika tidak ada bilangan bulat positif, maka

n \cdot 1 = 0

,

maka $F$ dikatakan memiliki karakteristik 0.^[5] Misalnya medan bilangan rasional $Q$ memiliki karakteristik 0 karena tidak ada bilangan bulat positif $n$ adalah nol. Sebaliknya, jika adalah bilangan bulat positif $n$ yang memenuhi persamaan ini, bilangan bulat positif terkecil dapat ditampilkan sebagai bilangan prima. Biasanya dilambangkan dengan $p$ dan kemudian medan dikatakan memiliki karakteristik $p$ . Misalnya, medan $F 4$ memiliki karakteristik 2 dalam^{[catatan 2]} $I + I = O$ .

Jika $F$ memiliki karakteristik $p$ , maka $p \cdot a =0$ untuk semua $a$ dalam $F$ . Ini menjelaskan

(a + b) p = a p + b p

,

karena semua koefisien binomial lainnya yang muncul dalam rumus binomial habis dibagi $p$ . Maka, $a p := a \cdot a \cdot ... \cdot a$ (faktor $p$ ) adalah kuasa- $p$ , yaitu, hasil kali lipat- $p$ dari elemen $a$ . Oleh karena itu, peta Frobenius

Fr: F \to F, x ⟼ x p

kompatibel dengan penambahan dalam $F$ (dan juga dengan perkalian), dan merupakan homomorfisme medan.^[6] Adanya homomorfisme ini membuat medan dengan karakteristik $p$ sangat berbeda dengan bidang dengan karakteristik 0.

Submedan dan medan utama

Sebuah submedan $E$ dari medan $F$ adalah himpunan bagian dari $F$ yang merupakan medan yang terkait dengan operasi medan dari $F$ . Setara dengan $E$ adalah himpunan bagian dari $F$ yang merupakan $1$ , dan sebagai penutupan dengan penjumlahan, perkalian, aditif invers dan perkalian invers dari elemen bukan nol. Maka $1 ∊ E$ , untuk semua $a, b ∊ E$ kedua $a + b$ dan $a \cdot b$ adalah $E$ , dan untuk semua $a \neq 0$ dal5 $E$ , kedua $- a$ dan $1/ a$ adalah $E$ .

Medan hingga (juga disebut medan Galois) adalah medan dengan elemen hingga dimana jumlahnya yang disebut sebagai urutan medan. Contoh pengantar di atas $F 4$ adalah medan dengan empat elemen. Submedan $F 2$ adalah medan terkecil, karena menurut definisi medan memiliki setidaknya dua elemen berbeda $1 \neq 0$ .

Kolom hingga yang sederhana, dengan tatanan utama langsung diakses menggunakan aritmetika modular. Untuk bilangan bulat positif tetap $n$ , aritmetika "modulo $n$ " artinya melakukan dengan angka

Z / n Z = {0, 1, ..., n - 1}.

Penambahan dan perkalian pada himpunan ini dilakukan dengan melakukan operasi yang dimaksud himpunan bilangan bulat $Z$ , membagi dengan $n$ dan mengambil sisanya sebagai hasil. Konstruksi ini menghasilkan bidang persis jika $n$ adalah bilangan prima. Misalnya mengambil bilangan prima $n = 2$ hasil di bidang yang disebutkan di atas $F 2$ . Untuk $n = 4$ dan secara lebih umum, untuk setiap bilangan komposit (yaitu, bilangan apa pun $n$ yang dapat diekspresikan sebagai produk $n = r \cdot s$ dari dua bilangan asli yang lebih kecil), $Z / n Z$ bukan bidang: produk dari dua elemen bukan nol adalah nol karena $r \cdot s = 0$ pada $Z / n Z$ , yang, seperti yang dijelaskan di atas, dengan $Z / n Z$ dari menjadi lapangan. Lapangan $Z / p Z$ dengan $p$ elemen ( $p$ menjadi prima) dibangun dengan cara ini biasanya dilambangkan dengan $F p$ .

Setiap bidang terbatas yang dimiliki $F$ adalah $q = p n$ elemen, di mana $p$ adalah bilangan prima dan $n \geq 1$ . Pernyataan ini berlaku karena $F$ dapat dilihat sebagai ruang vektor di atas bidang utamanya. dimensi dari ruang vektor ini harus terbatas, katakanlah $n$ , yang menyiratkan pernyataan yang ditegaskan.^[7]

Bidang dengan $q = p n$ elemen dapat dibuat sebagai bidang pemisah dari polinomial

f (x) = x q - x

.

Bidang pemisahan seperti itu merupakan perpanjangan dari $F p$ di mana polinomial $f$ memiliki $q$ nol. Ini berarti $f$ memiliki angka nol sebanyak mungkin karena derajat dari $f$ adalah $q$ . Untuk $q = 22 = 4$ , itu dapat diperiksa kasus per kasus menggunakan tabel perkalian di atas yang keempat elemennya $F 4$ memenuhi persamaan $x 4 = x$ , jadi mereka adalah nol $f$ . Sebaliknya, pada $F 2$ , $f$ hanya memiliki dua angka nol (yaitu 0 dan 1), jadi $f$ tidak dibagi menjadi faktor linier dalam bidang yang lebih kecil ini. Menguraikan lebih lanjut pengertian teori medan dasar, dapat ditunjukkan bahwa dua bidang berhingga dengan urutan yang sama adalah isomorfik.^[8] Oleh karena itu, adalah kebiasaan untuk menyebut bidang berhingga dengan elemen $q$ , dilambangkan dengan $F q$ atau $GF(q)$ .

Secara historis, tiga disiplin ilmu aljabar mengarah pada konsep bidang: soal menyelesaikan persamaan polinomial, teori bilangan aljabar, dan geometri aljabar.^[9] Langkah pertama menuju gagasan bidang dibuat pada tahun 1770 oleh Joseph-Louis Lagrange, yang mengamati bahwa mengubah angka nol $x 1, x 2, x 3$ dari polinomial kubik dalam pernyataan tersebut

(x 1 + ω x 2 + ω 2 x 3) 3

(dengan $ω$ menjadi akar persatuan ketiga) hanya menghasilkan dua nilai. Dengan cara ini, Lagrange secara konseptual menjelaskan metode solusi klasik Scipione del Ferro dan François Viète, yang melanjutkan dengan mengurangi persamaan kubik untuk $x$ yang tidak diketahui menjadi persamaan kuadrat untuk $x 3$ .^[10] Bersama dengan pengamatan serupa untuk persamaan derajat 4, Lagrange menghubungkan apa yang akhirnya menjadi konsep bidang dan konsep grup.^[11] Vandermonde, juga pada tahun 1770, dan secara lebih luas, Carl Friedrich Gauss, dalam karyanya Disquisitiones Arithmeticae (1801), mempelajari persamaan

x p = 1

untuk bilangan prima $p$ dan, lagi-lagi menggunakan bahasa modern, hasil siklik grup Galois. Gauss menyimpulkan bahwa regular $p$ -gon dapat dibangun jika $p = 2 2 k + 1$ . Berdasarkan karya Lagrange, Paolo Ruffini menyatakan (1799) bahwa persamaan kuintik s (persamaan polinomial derajat 5) tidak dapat diselesaikan secara aljabar; Namun, argumennya salah. Celah ini diisi oleh Niels Henrik Abel pada tahun 1824.^[12] Évariste Galois, pada tahun 1832, merancang kriteria yang diperlukan dan cukup agar persamaan polinomial dapat dipecahkan secara aljabar, sehingga menetapkan efek yang sekarang dikenal sebagai teori Galois. Baik Abel dan Galois bekerja dengan apa yang sekarang disebut bidang angka aljabar, tetapi tidak memahami gagasan eksplisit tentang bidang, atau pun grup.

Pada tahun 1871 Richard Dedekind diperkenalkan, untuk satu set bilangan real atau kompleks yang ditutup di bawah empat operasi aritmatika, kata Jerman Körper , yang berarti "tubuh" atau "korpus" (untuk menyarankan entitas yang tertutup secara organik). Istilah Inggris "field" diperkenalkan oleh (Moore 1893).^[13]

Yang kami maksud dengan bidang adalah setiap sistem tak terbatas dari bilangan real atau kompleks yang begitu tertutup dengan sendirinya dan menyempurnakan penjumlahan, pengurangan itu, perkalian, dan pembagian salah satu dari dua bilangan ini lagi-lagi menghasilkan bilangan sistem.
— Richard Dedekind, 1871^[14]

Pada tahun 1881 Leopold Kronecker mendefinisikan apa yang dia sebut sebagai domain rasionalitas , yang merupakan bidang pecahan rasional dalam istilah modern. Gagasan Kronecker tidak mencakup bidang semua bilangan aljabar (yang merupakan bidang dalam pengertian Dedekind), tetapi di sisi lain lebih abstrak daripada Dedekind karena tidak membuat asumsi khusus tentang sifat elemen suatu bidang. Kronecker menafsirkan bidang seperti $Q (π)$ secara abstrak sebagai bidang fungsi rasional $Q (X)$ . Sebelum ini, contoh bilangan transendental telah diketahui sejak karya Joseph Liouville pada tahun 1844, sampai Charles Hermite (1873) dan Ferdinand von Lindemann (1882) membuktikan transendensi $e$ dan $π$ .^[15]

Sejak medan ada di mana-mana dalam matematika dan seterusnya, beberapa penyempurnaan konsep telah disesuaikan dengan kebutuhan bidang matematika tertentu.

Medan tatanan

Medan F disebut medan tatanan jika terdapat dua elemen yang dapat dibandingkan, sehingga $x + y \geq 0$ dan $xy \geq 0$ dengan $x \geq 0$ dan $y \geq 0$ . Misalnya, bilangan riil membentuk Medan tatanan, dengan tatanan seperti biasa $\geq$ . Teorema Artin–Schreier menyatakan bahwa suatu medan diurutkan jika dan hanya jika itu adalah medan riil secara formal, yang berarti bahwa persamaan kuadrat apa pun

x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\dots +x_{n}^{2}=0

hanya solusi $x 1 = x 2 = \cdot\cdot\cdot = x n = 0$ .^[16] Himpunan semua kemungkinan tatanan pada medan tetap $F$ isomorfik ke himpunan gelanggang homomorfisme dari gelanggang Witt $W(F)$ dari bentuk kuadrat berakhir dengan $F$ , sebagai $Z$ .^[17]

Sebuah medan Archimedean adalah medan yang diurutkan sedemikian rupa sehingga untuk setiap elemen terdapat ekspresi hingga

1 + 1 + \cdot\cdot\cdot + 1

yang nilainya lebih besar dari elemen itu, artinya tidak ada elemen tak hingga. Sama halnya, medan yang tidak digunakan infinitesimal (elemen lebih kecil dari semua bilangan rasional); atau, ekuivalen medan isomorfik ke submedan dari $R$ .

Bidang yang diurutkan adalah Dedekind-complete jika semua batas atas, batas bawah (lihat kelengkapan Dedekind) dan batas. Secara lebih formal, setiap himpunan bagian hingga dari $F$ harus memiliki batas atas terkecil. Setiap medan lengkap tetap menggunakan Archimedean,^[18] karena dalam medan non-Archimedean tidak terdapat rasional yang sangat kecil atau paling tidak positif, darimana tatanannya $1/2, 1/3, 1/4, ...$ , setiap elemen yang lebih besar dari kecil, tidak memiliki batas.

Karena setiap subkolom riil menggunakan celah seperti itu, $R$ adalah kolom tatanan lengkap unik, hingga isomorfisme.^[19] Beberapa hasil dasar dalam kalkulus mengikuti langsung dari karakterisasi riil ini.

Hiperriil $R *$ membentuk Medan tatanan yang bukan Archimedean. Ini adalah ekstensi dari riil yang diperoleh dengan memasukkan bilangan tak hingga dan infinitesimal tak hingga. Ini lebih besar masing-masing lebih kecil dari bilangan riil. Hiperriil membentuk dasar dasar analisis non-standar.

Medan topologi

Perbaikan lain dari pengertian bidang adalah medan topologi, dimana himpunan $F$ adalah ruang topologi, maka semua operasi medan (penambahan, perkalian, peta $a \mapsto - a$ dan $a \mapsto a -1$ ) adalah peta kontinu sehubungan dengan topologi ruang.^[20] Topologi semua medan yang dibahas di bawah ini diinduksi dari metrik, yaitu fungsi

d : F \times F \to R,

yang mengukur jarak antara dua elemen $F$ .

Pelengkapan dari $F$ adalah medan lain dimana "celah" di medan asli $F$ . Misalnya, bilangan irasional $x$ , misal $x = \sqrt 2$ , adalah "celah" dalam rasio $Q$ dalam arti bahwa ini adalah bilangan riil yang didekati secara acak oleh bilangan rasional $p / q$ , dalam arti jarak $x$ dan $p / q$ diberikan nilai mutlak $| x - p / q |$ . Tabel berikut mencantumkan beberapa contoh konstruksi ini. Kolom keempat menunjukkan contoh nol urutan, yaitu, urutan yang batasnya (untuk $n \to \infty$ ) adalah nol.

Informasi lebih lanjut Medan, Metrik ...

Medan	Metrik	Pelengkapan	Tatanan nol
$Q$	$\| x - y \|$ (biasa nilai absolut)	R	$1/ n$
$Q$	diperoleh dengan menggunakan valuasi p-adik, untuk bilangan prima $p$	$Q p$ (bilangan $p$ -adic)	$p n$
$F (t)$ ( $F$ bidang apapun)	diperoleh dengan menggunakan valuasi $t$ -adik	$F ((t))$	$t n$

Tutup

Medan diferensial

Medan diferensial adalah medan yang dilengkapi dengan turunan, yaitu, memungkinkan untuk mengambil turunan elemen di medan.^[21] Misalnya, medan R(X), dengan turunan standar polinomial membentuk medan diferensial. Medan ini adalah pusat teori Galois diferensial, varian dari teori Galois yang berhubungan dengan persamaan diferensial linear.

Selain struktur tambahan dengan menggunakan medan, medan menerima berbagai gagasan terkait lainnya. Karena dalam medan 0 ≠ 1, medan memiliki setidaknya dua elemen. Meskipun demikian, ada konsep medan dengan satu elemen yang disarankan untuk menjadi batas medan hingga $F p$ , karena $p$ cenderung 1.^[22] Selain gelanggang pembagian, ada berbagai yang lebih lemah lainnya, struktur aljabar yang terkait dengan medan seperti medan kuasi, medan dekat dan medan semimedan.

Ada juga kelas kesesuai dengan struktur medan, yang terkadang disebut Medan (atau Field), dengan huruf besar M. Bilangan surriil membentuk medan riil, dan akan menjadi medan kecuali fakta bahwa mereka adalah kelas yang tepat, bukan satu himpunan. Angka adalah konsep dari teori permainan, untuk medan seperti itu juga.^[23]

Gelanggang pembagian

Menjatuhkan satu atau beberapa aksioma dalam definisi medan mengarah ke struktur aljabar lainnya. Seperti disebutkan di atas, gelanggang komutatif memenuhi semua aksioma medan, kecuali untuk invers perkalian. Menjatuhkan kondisi bahwa perkalian bersifat komutatif mengarah ke konsep gelanggang pembagian atau medan miring.^{[nb 2]} Gelanggang pembagian satu-satunya yang berdimensi-hingga vektor- $R$ ruang $R$ sendiri, $C$ (yang merupakan medan), kuaternion $H$ (dimana perkalian tidak komutatif), dan oktonion $O$ (dimana perkalian tidak bersifat komutatif atau asosiatif). Fakta ini dibuktikan dengan menggunakan metode topologi aljabar pada tahun 1958 oleh Michel Kervaire, Raoul Bott, dan John Milnor.^[24] Tidak adanya aljabar pembagian berdimensi ganjil lebih klasik. Ini dapat disimpulkan dari teorema bola berbulu yang diilustrasikan di sebelah kanan.^{[butuh rujukan]}

[N 1]
Sama halnya, medan adalah struktur aljabar $⟨ F, +, \cdot, -, -1, 0, 1⟩$ dari tipe $⟨2, 2, 1, 1, 0, 0⟩$ , sehingga $0 -1$ tidak ditentukan, $⟨ F, +, -, 0⟩$ dan $⟨ F ∖ {0}, \cdot, -1 ⟩$ adalah gro abelian, dan · bersifat distributif di atas +. (Wallace 1998, Th. 2)
[N 2]
Secara historis, gelanggang pembagian kadang-kadang disebut sebagai medan, sedangkan medan disebut medan komutatif.

[1]
(Beachy & Blair 2006, p. 120, Ch. 3)
[2]
(Artin 1991, Chapter 13.4)
[3]
(Lidl & Niederreiter 2008, Example 1.62)
[4]
(Sharpe 1987, Teorema 1.3.2)
[5]
(Adamson 2007, §I.2, p. 10)
[6]
(Escofier 2012, 14.4.2)
[7]
(Lidl & Niederreiter 2008, Lemma 2.1, Theorem 2.2)
[8]
(Lidl & Niederreiter 2008, Theorem 1.2.5)
[9]
(Kleiner 2007, p. 63)
[10]
(Kiernan 1971, p. 50)
[11]
(Bourbaki 1994, pp. 75–76)
[12]
(Corry 2004, p.24)
[13]
Penggunaan Paling Awal dari Beberapa Kata Matematika (F)
[14]
(Dirichlet 1871, p. 42), translation by (Kleiner 2007, p. 66)
[15]
(Bourbaki 1994, p. 81)
[16]
(Bourbaki 1988, Chapter VI, §2.3, Corollary 1)
[17]
(Lorenz 2008, §22, Theorem 1)
[18]
(Prestel 1984, Proposisi 1.22)
[19]
(Prestel 1984, Teorema 1.23)
[20]
(Warner 1989, Chapter 14)
[21]
(van der Put & Singer 2003, §1)
[22]
(Tits 1957)
[23]
(Conway 1976)
[24]
(Baez 2002)

Adamson, I. T. (2007), Introduction to Field Theory, Dover Publications, ISBN 978-0-486-46266-0
Allenby, R. B. J. T. (1991), Rings, Fields and Groups, Butterworth-Heinemann, ISBN 978-0-340-54440-2
Artin, Michael (1991), Algebra, Prentice Hall, ISBN 978-0-13-004763-2, especially Chapter 13
Artin, Emil; Schreier, Otto (1927), "Eine Kennzeichnung der reell abgeschlossenen Körper", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg (dalam bahasa Jerman), 5: 225–231, doi:10.1007/BF02952522, ISSN 0025-5858, JFM 53.0144.01
Ax, James (1968), "The elementary theory of finite fields", Ann. of Math., 2, 88 (2): 239–271, doi:10.2307/1970573, JSTOR 1970573
Baez, John C. (2002), "The octonions", Bulletin of the American Mathematical Society, 39 (2): 145–205, arXiv:math/0105155 , doi:10.1090/S0273-0979-01-00934-X
Banaschewski, Bernhard (1992), "Algebraic closure without choice.", Z. Math. Logik Grundlagen Math., 38 (4): 383–385, doi:10.1002/malq.19920380136, Zbl 0739.03027
Beachy, John. A; Blair, William D. (2006), Abstract Algebra (edisi ke-3), Waveland Press, ISBN 1-57766-443-4
Blyth, T. S.; Robertson, E. F. (1985), Groups, rings and fields: Algebra through practice, Cambridge University Press. See especially Book 3 (ISBN 0-521-27288-2) and Book 6 (ISBN 0-521-27291-2).
Borceux, Francis; Janelidze, George (2001), Galois theories, Cambridge University Press, ISBN 0-521-80309-8, Zbl 0978.12004
Bourbaki, Nicolas (1994), Elements of the history of mathematics, Springer, doi:10.1007/978-3-642-61693-8, ISBN 3-540-19376-6, MR 1290116
Bourbaki, Nicolas (1988), Algebra II. Chapters 4–7, Springer, ISBN 0-387-19375-8
Cassels, J. W. S. (1986), Local fields, London Mathematical Society Student Texts, 3, Cambridge University Press, doi:10.1017/CBO9781139171885, ISBN 0-521-30484-9, MR 0861410
Clark, A. (1984), Elements of Abstract Algebra, Dover Books on Mathematics Series, Dover, ISBN 978-0-486-64725-8
Conway, John Horton (1976), On Numbers and Games, Academic Press
Corry, Leo (2004), Modern algebra and the rise of mathematical structures (edisi ke-2nd), Birkhäuser, ISBN 3-7643-7002-5, Zbl 1044.01008
Dirichlet, Peter Gustav Lejeune (1871), Dedekind, Richard, ed., Vorlesungen über Zahlentheorie (Lectures on Number Theory) (dalam bahasa Jerman), 1 (edisi ke-2nd), Braunschweig, Germany: Friedrich Vieweg und Sohn
Eisenbud, David (1995), Commutative algebra with a view toward algebraic geometry, Graduate Texts in Mathematics, 150, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-5350-1, ISBN 0-387-94268-8, MR 1322960
Escofier, J. P. (2012), Galois Theory, Springer, ISBN 978-1-4613-0191-2
Fraleigh, John B. (1976), A First Course In Abstract Algebra (edisi ke-2nd), Reading: Addison-Wesley, ISBN 0-201-01984-1
Fricke, Robert; Weber, Heinrich Martin (1924), Lehrbuch der Algebra (dalam bahasa Jerman), Vieweg, JFM 50.0042.03
Gouvêa, Fernando Q. (1997), p-adic numbers, Universitext (edisi ke-2nd), Springer
Gouvêa, Fernando Q. (2012), A Guide to Groups, Rings, and Fields, Mathematical Association of America, ISBN 978-0-88385-355-9
Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Field", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
Hensel, Kurt (1904), "Über eine neue Begründung der Theorie der algebraischen Zahlen", Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (dalam bahasa Jerman), 128: 1–32, ISSN 0075-4102, JFM 35.0227.01
Jacobson, Nathan (2009), Basic algebra, 1 (edisi ke-2nd), Dover, ISBN 978-0-486-47189-1
Jannsen, Uwe; Wingberg, Kay (1982), "Die Struktur der absoluten Galoisgruppe 𝔭-adischer Zahlkörper. [The structure of the absolute Galois group of 𝔭-adic number fields]", Invent. Math., 70 (1): 71–98, Bibcode:1982InMat..70...71J, doi:10.1007/bf01393199, MR 0679774
Kleiner, Israel (2007), Kleiner, Israel, ed., A history of abstract algebra, Birkhäuser, doi:10.1007/978-0-8176-4685-1, ISBN 978-0-8176-4684-4, MR 2347309
Kiernan, B. Melvin (1971), "The development of Galois theory from Lagrange to Artin", Archive for History of Exact Sciences, 8 (1–2): 40–154, doi:10.1007/BF00327219, MR 1554154
Kuhlmann, Salma (2000), Ordered exponential fields, Fields Institute Monographs, 12, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0943-1, MR 1760173
Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 211 (edisi ke-3rd), Springer, doi:10.1007/978-1-4613-0041-0, ISBN 0-387-95385-X
Lidl, Rudolf; Niederreiter, Harald (2008), Finite fields (edisi ke-2nd), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-06567-2, Zbl 1139.11053
Lorenz, Falko (2008), Algebra, Volume II: Fields with Structures, Algebras and Advanced Topics, Springer, ISBN 978-0-387-72487-4
Marker, David; Messmer, Margit; Pillay, Anand (2006), Model theory of fields, Lecture Notes in Logic, 5 (edisi ke-2nd), Association for Symbolic Logic, CiteSeerX 10.1.1.36.8448 , ISBN 978-1-56881-282-3, MR 2215060
McCoy, Neal H. (1968), Introduction To Modern Algebra, Revised Edition, Boston: Allyn and Bacon, LCCN 68015225
Mines, Ray; Richman, Fred; Ruitenburg, Wim (1988), A course in constructive algebra, Universitext, Springer, doi:10.1007/978-1-4419-8640-5, ISBN 0-387-96640-4, MR 0919949
Moore, E. Hastings (1893), "A doubly-infinite system of simple groups", Bulletin of the American Mathematical Society, 3 (3): 73–78, doi:10.1090/S0002-9904-1893-00178-X , MR 1557275
Prestel, Alexander (1984), Lectures on formally real fields, Lecture Notes in Mathematics, 1093, Springer, doi:10.1007/BFb0101548, ISBN 3-540-13885-4, MR 0769847
Ribenboim, Paulo (1999), The theory of classical valuations, Springer Monographs in Mathematics, Springer, doi:10.1007/978-1-4612-0551-7, ISBN 0-387-98525-5, MR 1677964
Scholze, Peter (2014), "Perfectoid spaces and their Applications", Proceedings of the International Congress of Mathematicians 2014, ISBN 978-89-6105-804-9, diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 2019-08-25, diakses tanggal 2020-12-29
Schoutens, Hans (2002), The Use of Ultraproducts in Commutative Algebra, Lecture Notes in Mathematics, 1999, Springer, ISBN 978-3-642-13367-1
Serre, Jean-Pierre (1996) [1978], A course in arithmetic. Translation of Cours d'arithmetique, Graduate Text in Mathematics, 7 (edisi ke-2nd), Springer, ISBN 9780387900407, Zbl 0432.10001
Serre, Jean-Pierre (1979), Local fields, Graduate Texts in Mathematics, 67, Springer, ISBN 0-387-90424-7, MR 0554237
Serre, Jean-Pierre (1992), Topics in Galois theory, Jones and Bartlett Publishers, ISBN 0-86720-210-6, Zbl 0746.12001
Serre, Jean-Pierre (2002), Galois cohomology, Springer Monographs in Mathematics, Translated from the French by Patrick Ion, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-42192-4, MR 1867431, Zbl 1004.12003
Sharpe, David (1987), Rings and factorization, Cambridge University Press, ISBN 0-521-33718-6, Zbl 0674.13008
Steinitz, Ernst (1910), "Algebraische Theorie der Körper" [Algebraic Theory of Fields], Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1910 (137): 167–309, doi:10.1515/crll.1910.137.167, ISSN 0075-4102, JFM 41.0445.03
Tits, Jacques (1957), "Sur les analogues algébriques des groupes semi-simples complexes", Colloque d'algèbre supérieure, tenu à Bruxelles du 19 au 22 décembre 1956, Centre Belge de Recherches Mathématiques Établissements Ceuterick, Louvain, Paris: Librairie Gauthier-Villars, hlm. 261–289
van der Put, M.; Singer, M. F. (2003), Galois Theory of Linear Differential Equations, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 328, Springer
von Staudt, Karl Georg Christian (1857), Beiträge zur Geometrie der Lage (Contributions to the Geometry of Position), 2, Nürnberg (Germany): Bauer and Raspe
Wallace, D. A. R. (1998), Groups, Rings, and Fields, SUMS, 151, Springer
Warner, Seth (1989), Topological fields, North-Holland, ISBN 0-444-87429-1, Zbl 0683.12014
Washington, Lawrence C. (1997), Introduction to Cyclotomic Fields, Graduate Texts in Mathematics, 83 (edisi ke-2nd), Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-1934-7, ISBN 0-387-94762-0, MR 1421575
Weber, Heinrich (1893), "Die allgemeinen Grundlagen der Galois'schen Gleichungstheorie", Mathematische Annalen (dalam bahasa Jerman), 43 (4): 521–549, doi:10.1007/BF01446451, ISSN 0025-5831, JFM 25.0137.01

[C 1]
dimana 0 adalah elemen identitas penjumlahan
[C 2]
dalam notasi tabel penjumlahan di atas

[5] [N 1]
Sama halnya, medan adalah struktur aljabar $⟨ F, +, \cdot, -, -1, 0, 1⟩$ dari tipe $⟨2, 2, 1, 1, 0, 0⟩$ , sehingga $0 -1$ tidak ditentukan, $⟨ F, +, -, 0⟩$ dan $⟨ F ∖ {0}, \cdot, -1 ⟩$ adalah gro abelian, dan · bersifat distributif di atas +. (Wallace 1998, Th. 2)

[27] [N 2]
Secara historis, gelanggang pembagian kadang-kadang disebut sebagai medan, sedangkan medan disebut medan komutatif.

[Beachy_2006_loc=p._120,_Ch._3-1] [1]
(Beachy & Blair 2006, p. 120, Ch. 3)

[2] [2]
(Artin 1991, Chapter 13.4)

[3] [3]
(Lidl & Niederreiter 2008, Example 1.62)

[6] [4]
(Sharpe 1987, Teorema 1.3.2)

[7] [5]
(Adamson 2007, §I.2, p. 10)

[9] [6]
(Escofier 2012, 14.4.2)

[10] [7]
(Lidl & Niederreiter 2008, Lemma 2.1, Theorem 2.2)

[11] [8]
(Lidl & Niederreiter 2008, Theorem 1.2.5)

[12] [9]
(Kleiner 2007, p. 63)

[13] [10]
(Kiernan 1971, p. 50)

[14] [11]
(Bourbaki 1994, pp. 75–76)

[15] [12]
(Corry 2004, p.24)

[16] [13]
Penggunaan Paling Awal dari Beberapa Kata Matematika (F)

[17] [14]
(Dirichlet 1871, p. 42), translation by (Kleiner 2007, p. 66)

[18] [15]
(Bourbaki 1994, p. 81)

[19] [16]
(Bourbaki 1988, Chapter VI, §2.3, Corollary 1)

[20] [17]
(Lorenz 2008, §22, Theorem 1)

[21] [18]
(Prestel 1984, Proposisi 1.22)

[22] [19]
(Prestel 1984, Teorema 1.23)

[23] [20]
(Warner 1989, Chapter 14)

[24] [21]
(van der Put & Singer 2003, §1)

[25] [22]
(Tits 1957)

[26] [23]
(Conway 1976)

[28] [24]
(Baez 2002)

[4] [C 1]
dimana 0 adalah elemen identitas penjumlahan

[8] [C 2]
dalam notasi tabel penjumlahan di atas

[1]

[2]

[3]

[catatan 1]

[nb 1]

[4]

[5]

[catatan 2]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[nb 2]

[24]