Grup (matematika)

Dalam matematika, grup adalah suatu himpunan, beserta satu operasi biner, seperti perkalian atau penjumlahan yang memenuhi beberapa aksioma yang disebut aksioma grup. Misalnya, himpunan bilangan bulat adalah suatu grup terhadap operasi penjumlahan. Cabang matematika yang mempelajari grup disebut teori grup.

Manipulasi dari Kubus Rubik membentuk Grup Kubus Rubik.

Banyak sekali objek yang dipelajari dalam matematika berupa grup. Hal ini mencakup sistem bilangan, seperti bilangan bulat, bilangan rasional, bilangan riil, dan bilangan kompleks terhadap penjumlahan, atau bilangan rasional, bilangan riil, dan bilangan kompleks yang tak-nol, masing-masing terhadap perkalian. Contoh penting lainnya misalnya matriks non-singular terhadap perkalian, dan secara umum, fungsi terinverskan terhadap komposisi fungsi. Teori grup memungkinkan sifat ini dan berbagai sistem lain untuk dipelajari dalam lingkup yang umum, dan hasilnya dapat diterapkan secara luas. Teori grup juga merupakan sumber kaya berbagai teorema yang berlaku dalam lingkup grup.

Asal usul teori grup berawal dari kerja Evariste Galois (1830), yang berkaitan dengan masalah persamaan aljabar yang terpecahkan dengan radikal. Sebelum kerja Galois, grup lebih banyak dipelajari secara konkret, dalam bentuk permutasi; beberapa aspek teori grup abelian dikenal dalam teori bentuk kuadrat.

Definisi dan ilustrasi

Contoh pertama: bilangan bulat

Salah satu grup yang paling dikenal adalah himpunan bilangan bulat$${\displaystyle \mathbb {Z} =\{\ldots ,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,\ldots \}}$$ dengan penambahan.^[1] Untuk dua bilangan bulat ${\displaystyle a}$ dan ${\displaystyle b}$, penambahan ${\displaystyle a+b}$ menghasilkan bilangan bulat, dan sifat ketertutupan mengatakan bahwa ${\displaystyle +}$ adalah operasi biner ${\displaystyle \mathbb {Z} }$. Sifat penjumlahan bilangan bulat berikut berfungsi sebagai model untuk aksioma grup dalam definisi di bawah ini.

• Untuk semua bilangan bulat ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ dan ${\displaystyle c}$, ${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}$. Ini dapat dijelaskan melalui kata-kata, yang berarti bahwa menambahkan ${\displaystyle a}$ ke ${\displaystyle b}$ terlebih dahulu, dan kemudian menambahkan hasil tersebut ke ${\displaystyle c}$ akan memberikan hasil akhir yang sama seperti menambahkan ${\displaystyle a}$ ke penjumlahan ${\displaystyle b}$ dan ${\displaystyle c}$. Sifat ini dikenal sebagai sifat asosiatif.
• Jika ${\displaystyle a}$ adalah bilangan bulat, maka ${\displaystyle 0+a=a}$ dan ${\displaystyle a+0=a}$. Nol disebut elemen identitas dari penambahan, sebab menambahkannya ke bilangan bulat akan tetap memberikan hasil bilangan bulat yang sama.
• Untuk setiap bilangan bulat ${\displaystyle a}$, terdapat bilangan bulat ${\displaystyle b}$ sehingga ${\displaystyle a+b=0}$ dan ${\displaystyle b+a=0}$. Bilangan bulat ${\displaystyle b}$ disebut elemen invers dari bilangan bulat ${\displaystyle a}$ dan dilambangkan dengan ${\displaystyle -a}$.

Bilangan bulat dengan operasi ${\displaystyle +}$ membentuk objek matematika yang merupakan milik kelas yang luas yang membagi aspek struktural yang serupa. Untuk memahami dengan tepat struktur tersebut sebagai suatu kolektif, disajikanlah definisi di bawah berikut.

Definisi

Aksioma untuk grup itu sederhana dan sangat jelas... tetapi di balik semua aksioma tersebut terdapat grup monster sederhana, objek matematika sangat luar biasa yang tampaknya suka bergantung pada banyak kebenaran yang aneh. Aksioma untuk grup tidak memberikan petunjuk yang jelas bahwa hal seperti ini ada.

Richard Borcherds dalam Mathematicians: An Outer View of the Inner World^[2]

Grup adalah suatu himpunan ${\displaystyle G}$ dengan operasi biner ${\displaystyle G}$. Operasi biner tersebut dilambangkan sebagai ${\displaystyle \cdot }$, yang menggabungkan dua elemen ${\displaystyle a}$ dan ${\displaystyle b}$ untuk membentuk elemen dari ${\displaystyle G}$, dan bentuk elemen tersebut dilambangkan ${\displaystyle a\cdot b}$. Akibatnya, suatu grup ${\displaystyle G}$ memenuhi tiga syarat di bawah, yang dikenal sebagai aksioma grup (group axiom):^[3][4][5][a]

Asosiatif

Untuk semua ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, dan ${\displaystyle c}$ dalam ${\displaystyle G}$, maka ${\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$.

Elemen identitas

Terdapat elemen ${\displaystyle e}$ dalam ${\displaystyle G}$, sehingga untuk setiap ${\displaystyle a}$ dalam ${\displaystyle G}$, maka ${\displaystyle e\cdot a=a}$ dan ${\displaystyle a\cdot e=a}$. Elemen tersebut dikatakan tunggal (unique) (lihat di bawah), dan elemen itu disebut elemen identitas dari grup.

Elemen invers

Untuk setiap ${\displaystyle a}$ dalam ${\displaystyle G}$, terdapat elemen ${\displaystyle b}$ dalam ${\displaystyle G}$ sehingga ${\displaystyle a\cdot b=e}$ dan ${\displaystyle b\cdot a=e}$, dengan ${\displaystyle e}$ adalah elemen identitas. Untuk setiap ${\displaystyle a}$, elemen ${\displaystyle b}$ adalah tunggal (lihat di bawah), dan elemen itu disebut sebagai invers dari ${\displaystyle a}$ dan biasanya dilambangkan ${\displaystyle a^{-1}}$.

Notasi dan terminologi

Secara formal, grup adalah pasangan terurut yang terdiri atas suatu himpunan dan operasi biner pada himpunan yang memenuhi aksioma grup. Himpunan itu disebut himpunan pendasar (underlying set) grup, dan operasi binernya disebut operasi grup atau hukum grup. Grup beserta himpunan pendasarnya merupakan dua objek matematika yang berbeda. Supaya menghindari notasi yang sulit dipahami, digunakanlah simbol yang sama untuk menyatakan kedua-duanya. Hal ini mencerminkan cara berpikir yang informal, bahwa grup sama saja dengan himpunan tetapi diperkaya oleh struktur tambahan yang disediakan oleh operasi. Sebagai contoh, misalkan terdapat himpunan bilangan real ${\displaystyle \mathbb {R} }$, yang memiliki operasi penjumlahan ${\displaystyle a+b}$ dan perkalian ${\displaystyle ab}$. Secara formal, ${\displaystyle \mathbb {R} }$ adalah suatu himpunan, ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$ adalah suatu grup, dan ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+,\cdot )}$ adalah suatu lapangan. Akan tetapi, biasanya ditulis sebagai ${\displaystyle \mathbb {R} }$ untuk menunjukkan salah satu dari tiga objek tersebut.

Grup aditif dari lapangan ${\displaystyle \mathbb {R} }$ adalah grup yang himpunan pendasarnya adalah ${\displaystyle \mathbb {R} }$, dan operasinya adalah penambahan. Sementara itu, grup perkalian dari lapangan ${\displaystyle \mathbb {R} }$ adalah grup ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\times }}$ yang himpunan pendasarnya adalah himpunan bilangan real bukan nol ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}$ dan operasinya adalah perkalian.

Secara umum, kita berbicara tentang grup aditif setiap kali operasi grup dinotasikan sebagai penjumlahan; dalam hal ini, identitas biasanya dilambangkan dengan ${\displaystyle 0}$, dan invers dari elemen ${\displaystyle x}$ dilambangkan dengan ${\displaystyle -x}$. Demikian pula, kita berbicara tentang grup perkalian setiap kali operasi grup dinotasikan sebagai perkalian; dalam hal ini, identitas biasanya dilambangkan dengan ${\displaystyle 1}$, dan inversi elemen ${\displaystyle x}$ dilambangkan dengan ${\displaystyle x^{-1}}$. Dalam grup perkalian, simbol operasi biasanya dihilangkan seluruhnya, sehingga bahwa operasi dilambangkan dengan penjajaran, yakni ${\displaystyle ab}$ sebagai pengganti ${\displaystyle a\cdot b}$.

Definisi grup tidak mensyaratkan bahwa ${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a}$ untuk semua elemen ${\displaystyle a}$ dan ${\displaystyle b}$ dalam ${\displaystyle G}$. Jika ketentuan tambahan berlaku, maka operasi tersebut dikatakan komutatif, dan grup tersebut disebut grup abelian. Sudah menjadi kesepakatan umum bahwa untuk grup abelian, notasi aditif atau perkalian dapat digunakan, tetapi untuk grup nonabelian hanya digunakan notasi perkalian.

Beberapa notasi lain biasanya digunakan untuk grup yang elemennya bukan bilangan. Untuk grup di mana elemennya fungsi, operasi sering kali digunakan dalam komposisi fungsi ${\displaystyle f\circ g}$; maka identitas tersebut dapat dilambangkan dengan id. Dalam kasus yang lebih spesifik dari grup transformasi geometris, grup simetri, grup permutasi, dan grup automorfisme, simbol ${\displaystyle \circ }$ dihilangkan, seperti grup perkalian. Banyak varian notasi lainnya yang ditemui.

Definisi alternatif

Definisi ekuivalen dari grup terdiri dari penggantian bagian "ada" dari aksioma grup dengan operasi yang hasilnya adalah elemen yang harus ada. Jadi, grup adalah himpunan yang dilengkapi dengan tiga operasi, yaitu operasi biner yang merupakan operasi grup, operasi uner sebagai kebalikan dari operan tunggalnya, dan operasi nullari yang tidak memiliki operan dan menghasilkan elemen identitas. Jika tidak, aksioma grupnya persis sama.

Varian definisi ini menghindari kuantifer eksistensial. Biasanya lebih sering digunakan untuk komputasi dengan grup dan untuk bukti bantuan komputer. Rumus ini menunjukkan grup sebagai variasi aljabar universal. Ini pula digunakan untuk membicarakan sifat operasi invers, sebagaimana diperlukan untuk mendefinisikan grup topologi dan objek grup.

Contoh kedua: grup simetri

Dua bangun pada bidang adalah kongruen jika bangun tersebut dapat diubah menjadi bangun yang lain menggunakan gabungan dari rotasi, refleksi, dan translasi. Setiap bangun kongruen dengan dirinya sendiri. Namun, beberapa bangun kongruen dengan sendiri dapat dilakukan dengan berbagai cara, dan kekongruenan tambahan tersebut dinamakan simetris. Persegi memiliki delapan simetri, yaitu:

• operasi identitas, yang berarti bangun tersebut tidak berubah, dan operasi ini dilambangkan dengan id;
• persegi di sekitar pusatnya diputar sebesar 90°, 180°, dan 270° searah jarum jam, yang dilambangkan dengan ${\displaystyle r_{1}}$, ${\displaystyle r_{2}}$ dan ${\displaystyle r_{3}}$;
• refleksi (cermin) terhadap garis tengah horizontal dan vertikal (${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$ dan ${\displaystyle f_{\mathrm {h} }}$, atau terhadap dua garis diagonal (${\displaystyle f_{\mathrm {d} }}$ dan ${\displaystyle f_{\mathrm {c} }}$).

Elemen dari grup simetri persegi, ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$. Titik sudutnya dinyatakan dengan warna ataupun bilangan.

id, persegi tetap tidak berubah

${\displaystyle r_{1}}$, persegi berputar 90° searah jarum jam

${\displaystyle r_{2}}$, persegi berputar 180° searah jarum jam

${\displaystyle r_{3}}$, persegi berputar 270° searah jarum jam

${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$, persegi cermin terhadap garis vertikal

${\displaystyle f_{\mathrm {h} }}$, persegi cermin terhadap garis horizontal

${\displaystyle f_{\mathrm {d} }}$, persegi cermin terhadap garis diagonal

${\displaystyle f_{\mathrm {c} }}$, persegi cermin terhadap kontra-diagonal

Simetri diatas adalah fungsi. Masing-masing untuk satu titik dalam persegi ke titik yang sesuai di bawah simetri. Sebagai contoh, r₁ untuk titik ke rotasi 90° searah jarum jam di sekitar pusat persegi, dan f_h untuk titik ke pantulan di garis tengah vertikal persegi. Komposisi dua kesimetrian menghasilkan kesimetrian yang lain. Kesimetrian ini menentukan sebuah grup yang disebut grup dihedral dengan derajat 4, dilambangkan D₄. Himpunan yang didasari grup adalah himpunan simetri di atas, dan operasi grup adalah komposisi fungsi.^[6] Dua simetri digabungkan dengan menyusunnya sebagai fungsi, yaitu menerapkan yang pertama ke persegi, dan yang kedua ke hasil aplikasi pertama. Hasil dari pertama kali a dan kemudian b ditulis secara simbolis dari kanan ke kiri sebagai ${\displaystyle b\circ a}$ ("terapkan simetri b setelah melakukan simetri a"). Maka ini adalah notasi biasa untuk komposisi fungsi.

Tabel grup di sebelah kanan mencantumkan hasil dari semua komposisi yang memungkinkan. Misalnya, 270° searah jarum jam (r₃) dan kemudian merefleksikan secara horizontal (f_h) sama seperti melakukan refleksi di sepanjang diagonal (f_d). Menggunakan simbol di atas, disorot dengan warna biru di tabel grup:

${\displaystyle f_{\mathrm {h} }\circ r_{3}=f_{\mathrm {d} }.}$

Tabel grup dari D₄

	id	r1	r2	r3	fv	fh	fd	fc
id	id	r1	r2	r3	fv	fh	fd	fc
r1	r1	r2	r3	id	fc	fd	fv	fh
r2	r2	r3	id	r1	fh	fv	fc	fd
r3	r3	id	r1	r2	fd	fc	fh	fv
fv	fv	fd	fh	fc	id	r2	r1	r3
fh	fh	fc	fv	fd	r2	id	r3	r1
fd	fd	fh	fc	fv	r3	r1	id	r2
fc	fc	fv	fd	fh	r1	r3	r2	id
Elemen id, r1, r2, dan r3 sebagai bentuk subgrup tabel grup ditarik dalam   merah (wilayah kiri atas). Kohimpunan kiri dan kanan subgrup ini ditarik di   hijau (di baris terakhir) dan   kuning (kolom terakhir).

Mengingat himpunan kesimetrian ini dan operasi yang dijelaskan, aksioma grup dapat dipahami sebagai berikut.

Komposisi adalah operasi biner. Artinya, ${\displaystyle a\circ b}$ adalah simetri untuk dua simetri a dan b. Sebagai contoh,

${\displaystyle r_{3}\circ f_{\mathrm {h} }=f_{\mathrm {c} },}$

yaitu, 270° searah jarum jam setelah memantulkan secara horizontal sama dengan pemantulan di sepanjang kontra-diagonal (f_c). Memang setiap kombinasi lain dari dua simetri masih memberikan kesimetrian, seperti yang diperiksa dengan menggunakan tabel grup.

Aksioma asosiatif berkaitan dengan penyusunan lebih dari dua simetri: Dimulai dengan tiga elemen a, b dan c dari D₄, Ada dua kemungkinan cara menggunakan ketiga kesimetrian ini dalam urutan ini untuk menentukan kesimetrian bujur sangkar. Salah satu cara ini adalah dengan menulis a dan b menjadi satu simetri, lalu untuk menyusun simetri tersebut dengan c. Cara lainnya adalah dengan menulis b dan c, kemudian untuk menyusun simetri yang dihasilkan dengan a. Kedua cara ini harus selalu memberikan hasil yang sama, yaitu,

${\displaystyle (a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c),}$

Sebagai contoh, ${\displaystyle (f_{\mathrm {d} }\circ f_{\mathrm {v} })\circ r_{2}=f_{\mathrm {d} }\circ (f_{\mathrm {v} }\circ r_{2})}$ dapat diperiksa menggunakan tabel grup di sebelah kanan:

${\displaystyle {\begin{aligned}(f_{\mathrm {d} }\circ f_{\mathrm {v} })\circ r_{2}&=r_{3}\circ r_{2}=r_{1}\\f_{\mathrm {d} }\circ (f_{\mathrm {v} }\circ r_{2})&=f_{\mathrm {d} }\circ f_{\mathrm {h} }=r_{1}.\end{aligned}}}$

Elemen identitas adalah id, karena tidak mengubah simetri a saat disusun dengan baik di kiri atau di kanan.

Semua simetri memiliki kebalikan: is, pantulan f_h, f_v, f_d, f_c dan rotasi 180° r₂ adalah invers, karena dua kali akan mengembalikan persegi ke orientasi aslinya. Rotasi r₃ dan r₁ adalah invers satu sama lain, karena 90° dan kemudian rotasi 270° (atau sebaliknya) menghasilkan rotasi lebih dari 360° yang membuat persegi tidak berubah. Ini dengan mudah diverifikasi di atas meja.

Berbeda dengan grup bilangan bulat di atas, di mana urutan operasinya tidak relevan, D₄, misalnya ${\displaystyle f_{\mathrm {h} }\circ r_{1}=f_{\mathrm {c} }}$ but ${\displaystyle r_{1}\circ f_{\mathrm {h} }=f_{\mathrm {d} }}$ Dengan kata lain, D₄ bukan abelian.

Sejarah

Artikel utama: Sejarah teori grup

Konsep grup abstrak yang modern dikembangkan dari beberapa cabang matematika.^[7][8][9] Asal-usul teori grup berawal dari ketika menyelesaikan persamaan polinomial dengan derajat yang lebih dari 4. Matematikawan berkebangsaan Pranci abad ke-19, Évariste Galois, memperluas karya Paolo Ruffini dan Joseph-Louis Lagrange dengan memberikan kriteria untuk solvabilitas dari suatu persamaan polinomial khusus dalam grup simetri dari (penyelesaian) akarnya. Elemen dari grup Galois tersebut bersesuaian dengan permutasi dari akar tertentu. Awalnya, gagasan milik Galois ditolak oleh beberapa matematikawan pada masa itu, dan gagasan miliknya kemudian diterbitkan setelah kematiannya.^[10][11] Grup permutasi yang lebih umum diteliti lebih lanjut oleh Augustin Louis Cauchy. Dalam makalahnya yang berjudul On the theory of groups, as depending on the symbolic equation ${\displaystyle \theta ^{n}=1}$ (1854), ia memberikan definisi abstrak pertama mengenai grup terhingga.^[12]

Geometri adalah cabang kedua yang menggunakan grup secara sistematik, terutama grup simetri yang merupakan bagian dari program Erlangen milik Felix Klein di tahun 1872.^[13] Setelah munculnya cabang-cabang geometri baru seperti geometri hiperbolik dan geometri proyektif, Klein menggunakan teori grup untuk menyusunnya supaya terlihat mudah dimengerti. Berlanjut saat memperluas gagasan tersebut, Sophus Lie menemukan kajian grup Lie di tahun 1884.^[14]

Cabang ketiga yang menyumbangkan teori grup adalah teori bilangan. Struktur-struktur grup abelian tertentu telah digunakan dalam karya Carl Friedrich Gauss yang berjudul Disquisitiones Arithmeticae (1798). Leopold Kronecker juga menggunakan struktur tersebut tetapi dijelaskan dengan lebih detail.^[15] Pada tahun 1847, Ernst Kummer mencoba membuktikan Teorema Terakhir Fermat dengan mengembangkan grup yang menjelaskan faktorisasi menjadi bilangan prima.^[16]

Konvergensi dari berbagai sumber tersebut menjadi teori grup yang berseragam berawal dari karya milik Camille Jordan yang berjudul Traité des substitutions et des équations algébriques (1870).^[17] Walther von Dyck (1882) memperkenalkan gagasan yang menjelaskan grup menggunakan pembangkit (generator) dan relasi. Karyanya juga merupakan karya yang pertama kali memberikan definisi aksiomatik dari "grup abstrak".^[18] Hingga pada abad ke-20, grup mendapatkan banyak perhatian dari karya perintis milik Ferdinand Georg Frobenius dan William Burnside yang membahas tentang teori representasi dari grup terhingga, karya Richard Brauer yang membahas tentang teori representasi modular dan karya milik Issai Schur.^[19] Teori grup Lie, dan lebih umumnya adalah grup kompak lokal (locally compact group) dikaji oleh Hermann Weyl, Élie Cartan dan banyak matematikawan lainnya.^[20] Pasangan teorinya, teori grup aljabar, dikembangkan oleh Claude Chevalley di akhir tahun 1930-an, dan kemudian dilanjutkan oleh Armand Borel dan Jacques Tits.^[21]

Konsekuensi elementer dari aksioma grup

Fakta dasar tentang semua grup yang diperoleh langsung dari aksioma grup biasanya dimasukkan dalam teori grup elementer.^[22] Sebagai contoh, penerapan aksioma asosiatif yang berulang menunjukkan bahwa notasi yang rtidak ambigu dari$${\displaystyle a\cdot b\cdot c=(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$$memperumum lebih dari tiga faktor. Karena notasi tersebut menyiratkan bahwa tanda kurung dapat disisipkan di mana saja di suku-suku tersebut, tanda kurung biasanya dihilangkan.^[23]

Aksioma yang terpisah dapat dilemahkan untuk menegaskan hanya keberadaan identitas kiri dan invers kiri. Berdasarkan ''aksioma sepihak'' ini, dapat dibuktikan bahwa identitas kiri juga merupakan identitas kanan, dan begitupula untuk invers kiri yang juga merupakan invers kanan untuk elemen yang sama. Karena identitas beserta inversnya mendefinisikan struktur yang sama seperti grup, aksioma tersebut tidak menjadi lemah.^[24]

Ketunggalan dari elemen identitas

Aksioma grup mengimplikasikan bahwa elemen identitas adalah tunggal: jika ${\displaystyle e}$ dan ${\displaystyle f}$adalah elemen identitas dari suatu grup, maka ${\displaystyle e=e\cdot f=f}$. Oleh karena itu, sangat lazim untuk membahas mengenai identitas.^[25]

Ketunggalan dari invers

Aksioma grup mengimplikasikan bahwa invers (atau kebalikan) dari setiap elemen adalah tunggal: jika elemen grup ${\displaystyle a}$ memiliki ${\displaystyle b}$ dan ${\displaystyle c}$ yang merupakan invers, maka

${\displaystyle b}$	${\displaystyle =}$	${\displaystyle b\cdot e}$		karena ${\displaystyle e}$ adalah elemen identitas
	${\displaystyle =}$	${\displaystyle b\cdot (a\cdot c)}$		karena ${\displaystyle c}$ adalah invers dari ${\displaystyle a}$, sehingga ${\displaystyle e=a\cdot c}$
	${\displaystyle =}$	${\displaystyle (b\cdot a)\cdot c}$		berdasarkan sifat asosiatif, yang memungkinkan penyusunan ulang tanda kurung
	${\displaystyle =}$	${\displaystyle e\cdot c}$		karena ${\displaystyle b}$ adalah invers dari ${\displaystyle a}$, sehingga ${\displaystyle b\cdot a=e}$
	${\displaystyle =}$	${\displaystyle c}$		karena ${\displaystyle e}$ adalah elemen identitas.

Oleh karena itu, sangat lazim untuk membahas mengenai invers dari suatu elemen.^[25]

Pembagian

Diberikan elemen ${\displaystyle a}$ dan ${\displaystyle b}$ dari grup ${\displaystyle G}$, maka terdapat solusi tunggal ${\displaystyle x}$ dalam ${\displaystyle G}$ untuk persamaan ${\displaystyle a\cdot x=b}$, yaitu ${\displaystyle a^{-1}\cdot b}$. (Biasanya notasi seperti ${\displaystyle b/a}$ dihindari , kecuali jika ${\displaystyle G}$ adalah abelian, karena notasi tersebut dapat berarti ${\displaystyle a^{-1}\cdot b}$ atau ${\displaystyle b\cdot a^{-1}}$.)^[26] Oleh karena itu, untuk setiap ${\displaystyle a}$ dalam ${\displaystyle G}$, fungsi ${\displaystyle G\to G}$ yang memetakan ${\displaystyle x\to a\cdot x}$ adalah bijektif; itu disebut perkalian kiri dengan ${\displaystyle a}$ atau translasi kiri dengan ${\displaystyle a}$. Dengan cara yang serupa, diberikan ${\displaystyle a}$ dan ${\displaystyle b}$, maka solusi tunggal untuk ${\displaystyle x\cdot a=b}$ adalah ${\displaystyle b\cdot a^{-1}}$. Untuk setiap ${\displaystyle a}$, fungsi elemen ${\displaystyle a}$ dan ${\displaystyle b}$ yang memetakan ${\displaystyle x\to x\cdot a}$ adalah bijektif yang disebut perkalian kanan dengan ${\displaystyle a}$ atau translasi kanan dengan ${\displaystyle a}$.

Catatan

1. Beberapa penulis menyertakan aksioma tambahan yang disebut ketertutupan terhadap operasi "${\displaystyle \cdot }$", yang berarti bahwa ${\displaystyle a\cdot b}$ adalah suatu elemen dari ${\displaystyle G}$ untuk setiap ${\displaystyle a}$ dan ${\displaystyle b}$ di ${\displaystyle G}$. Syarat ini disertakan dengan memerlukan "${\displaystyle \cdot }$" menjadi suatu operasi biner dalam ${\displaystyle G}$. Lihat Lang 2002.

Kutipan

1. Lang 2005, Lihat Apendiks 2, hlm. 360
2. Cook 2009, hlm. 24.
3. Artin 2018, §2.2.
4. Lang 2002, hlm. 3, I.§1 dan hlm. 7, I.§2.
5. Lang 2005, II.§1.
6. Herstein 1975, §2.6, p. 54
7. Wussing 2007.
8. Kleiner 1986.
9. Smith 1906.
10. Galois 1908.
11. Kleiner 1986, hlm. 202.
12. Cayley 1889.
13. Wussing 2007, §III.2.
14. Lie 1973.
15. Kleiner 1986, hlm. 204.
16. Wussing 2007, §I.3.4.
17. Jordan 1870.
18. von Dyck 1882.
19. Curtis 2003.
20. Mackey 1976.
21. Borel 2001.
22. Ledermann 1953, §1.2, pp. 4–5
23. Ledermann 1973, hlm. 3, §I.1.
24. Lang 2002, §I.2, p. 7
25. Lang 2005, hlm. 17, §II.1.
26. Artin 2018, hlm. 40.

Referensi

Referensi umum

• Artin, Michael (2018), Algebra, Prentice Hall, ISBN 978-0-13-468960-9, Chapter 2 contains an undergraduate-level exposition of the notions covered in this article.
• Cook, Mariana R. (2009), Mathematicians: An Outer View of the Inner World, Princeton, N.J.: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-13951-7, diarsipkan dari versi asli tanggal 2023-08-09, diakses tanggal 2021-04-09
• Hall, G. G. (1967), Applied Group Theory, American Elsevier Publishing Co., Inc., New York, MR 0219593, an elementary introduction.
• Herstein, Israel Nathan (1996), Abstract Algebra (edisi ke-3rd), Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall Inc., ISBN 978-0-13-374562-7, MR 1375019.
• Herstein, Israel Nathan (1975), Topics in Algebra (edisi ke-2nd), Lexington, Mass.: Xerox College Publishing, MR 0356988.
• Templat:Lang Algebra
• Lang, Serge (2005), Undergraduate Algebra (edisi ke-3rd), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-22025-3.
• Ledermann, Walter (1953), Introduction to the Theory of Finite Groups, Oliver and Boyd, Edinburgh and London, MR 0054593.
• Ledermann, Walter (1973), Introduction to Group Theory, New York: Barnes and Noble, OCLC 795613.
• Robinson, Derek John Scott (1996), A Course in the Theory of Groups, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94461-6.

Referensi khusus

• Artin, Emil (1998), Galois Theory, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-62342-9.
• Aschbacher, Michael (2004), "The status of the classification of the finite simple groups" (PDF), Notices of the American Mathematical Society, 51 (7): 736–740, diarsipkan (PDF) dari versi asli tanggal 2023-04-04, diakses tanggal 2023-03-10.
• Awodey, Steve (2010), Category Theory, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-958736-0
• Behler, Florian; Wickleder, Mathias S.; Christoffers, Jens (2014), "Biphenyl and bimesityl tetrasulfonic acid – new linker molecules for coordination polymers", Arkivoc, 2015 (2): 64–75, doi:10.3998/ark.5550190.p008.911 
• Bersuker, Isaac (2006), The Jahn–Teller Effect, Cambridge University Press, ISBN 0-521-82212-2.
• Besche, Hans Ulrich; Eick, Bettina; O'Brien, E. A. (2001), "The groups of order at most 2000", Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society, 7: 1–4, doi:10.1090/S1079-6762-01-00087-7 , MR 1826989, diarsipkan dari versi asli tanggal 2009-08-27, diakses tanggal 2023-03-10.
• Bishop, David H. L. (1993), Group Theory and Chemistry, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-67355-4.
• Borel, Armand (1991), Linear Algebraic Groups, Graduate Texts in Mathematics, 126 (edisi ke-2nd), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97370-8, MR 1102012.
• Carter, Roger W. (1989), Simple Groups of Lie Type, New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-50683-6.
• Chancey, C. C.; O'Brien, M. C. M. (2021), The Jahn–Teller Effect in C60 and Other Icosahedral Complexes, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-22534-0
• Conway, John Horton; Delgado Friedrichs, Olaf; Huson, Daniel H.; Thurston, William P. (2001), "On three-dimensional space groups", Beiträge zur Algebra und Geometrie, 42 (2): 475–507, arXiv:math.MG/9911185 , MR 1865535.
• Coornaert, M.; Delzant, T.; Papadopoulos, A. (1990), Géométrie et théorie des groupes [Geometry and Group Theory], Lecture Notes in Mathematics (dalam bahasa Prancis), 1441, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-52977-4, MR 1075994.
• Denecke, Klaus; Wismath, Shelly L. (2002), Universal Algebra and Applications in Theoretical Computer Science, London: CRC Press, ISBN 978-1-58488-254-1.
• Dove, Martin T (2003), Structure and Dynamics: An Atomic View of Materials, Oxford University Press, hlm. 265, ISBN 0-19-850678-3.
• Dudek, Wiesław A. (2001), "On some old and new problems in n-ary groups" (PDF), Quasigroups and Related Systems, 8: 15–36, MR 1876783, diarsipkan (PDF) dari versi asli tanggal 2021-07-26, diakses tanggal 2023-03-10.
• Eliel, Ernest; Wilen, Samuel; Mander, Lewis (1994), Stereochemistry of Organic Compounds, Wiley, ISBN 978-0-471-01670-0
• Ellis, Graham (2019), "6.4 Triangle groups", An Invitation to Computational Homotopy, Oxford University Press, hlm. 441–444, doi:10.1093/oso/9780198832973.001.0001, ISBN 978-0-19-883298-0, MR 3971587.
• Frucht, R. (1939), "Herstellung von Graphen mit vorgegebener abstrakter Gruppe [Construction of graphs with prescribed group]", Compositio Mathematica (dalam bahasa Jerman), 6: 239–50, diarsipkan dari versi asli tanggal 2008-12-01 Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan).
• Fulton, William; Harris, Joe (1991), Representation Theory: A First Course, Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics, 129, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97495-8, MR 1153249
• Goldstein, Herbert (1980), Classical Mechanics (edisi ke-2nd), Reading, MA: Addison-Wesley Publishing, hlm. 588–596, ISBN 0-201-02918-9.
• Gollmann, Dieter (2011), Computer Security (edisi ke-2nd), West Sussex, England: John Wiley & Sons, Ltd., ISBN 978-0-470-74115-3
• Hatcher, Allen (2002), Algebraic Topology, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-79540-1, diarsipkan dari versi asli tanggal 2012-02-06, diakses tanggal 2021-01-30.
• Husain, Taqdir (1966), Introduction to Topological Groups, Philadelphia: W.B. Saunders Company, ISBN 978-0-89874-193-3
• Jahn, H.; Teller, E. (1937), "Stability of polyatomic molecules in degenerate electronic states. I. Orbital degeneracy", Proceedings of the Royal Society A, 161 (905): 220–235, Bibcode:1937RSPSA.161..220J, doi:10.1098/rspa.1937.0142 .
• Kuipers, Jack B. (1999), Quaternions and Rotation Sequences: A Primer with Applications to Orbits, Aerospace, and Virtual Reality, Princeton University Press, Bibcode:1999qrsp.book.....K, ISBN 978-0-691-05872-6, MR 1670862.
• Kuga, Michio (1993), Galois' Dream: Group Theory and Differential Equations, Boston, MA: Birkhäuser Boston, ISBN 978-0-8176-3688-3, MR 1199112.
• Kurzweil, Hans; Stellmacher, Bernd (2004), The Theory of Finite Groups, Universitext, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-40510-0, MR 2014408.
• Lay, David (2003), Linear Algebra and Its Applications, Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-70970-4.
• Mac Lane, Saunders (1998), Categories for the Working Mathematician (edisi ke-2nd), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98403-2.
• Magnus, Wilhelm; Karrass, Abraham; Solitar, Donald (2004) [1966], Combinatorial Group Theory: Presentations of Groups in Terms of Generators and Relations, Courier, ISBN 978-0-486-43830-6
• MathSciNet (2021), List of papers reviewed on MathSciNet on "Group theory and its generalizations" (MSC code 20), published in 2020, diakses tanggal 14 May 2021
• Michler, Gerhard (2006), Theory of Finite Simple Groups, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-86625-5.
• Milne, James S. (1980), Étale Cohomology, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08238-7
• Mumford, David; Fogarty, J.; Kirwan, F. (1994), Geometric Invariant Theory, 34 (edisi ke-3rd), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-56963-3, MR 1304906.
• Naber, Gregory L. (2003), The Geometry of Minkowski Spacetime, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-43235-9, MR 2044239.
• Neukirch, Jürgen (1999), Algebraic Number Theory, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 322, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-65399-8, MR 1697859, Zbl 0956.11021
• Romanowska, A. B.; Smith, J. D. H. (2002), Modes, World Scientific, ISBN 978-981-02-4942-7.
• Ronan, Mark (2007), Symmetry and the Monster: The Story of One of the Greatest Quests of Mathematics, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-280723-6.
• Rosen, Kenneth H. (2000), Elementary Number Theory and its Applications (edisi ke-4th), Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-87073-2, MR 1739433.
• Rudin, Walter (1990), Fourier Analysis on Groups, Wiley Classics, Wiley-Blackwell, ISBN 0-471-52364-X.
• Seress, Ákos (1997), "An Introduction to Computational Group Theory" (PDF), Notices of the American Mathematical Society, 44 (6): 671–679, MR 1452069, diarsipkan (PDF) dari versi asli tanggal 2022-12-31, diakses tanggal 2023-03-10.
• Serre, Jean-Pierre (1977), Linear Representations of Finite Groups, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90190-9, MR 0450380.
• Schwartzman, Steven (1994), The Words of Mathematics: An Etymological Dictionary of Mathematical Terms Used in English, Mathematical Association of America, ISBN 978-0-88385-511-9.
• Shatz, Stephen S. (1972), Profinite Groups, Arithmetic, and Geometry, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08017-8, MR 0347778
• Simons, Jack (2003), An Introduction to Theoretical Chemistry, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-53047-7
• Solomon, Ronald (2018), "The classification of finite simple groups: A progress report", Notices of the AMS, 65 (6): 1, doi:10.1090/noti1689 
• Stewart, Ian (2015), Galois Theory (edisi ke-4th), CRC Press, ISBN 978-1-4822-4582-0
• Suzuki, Michio (1951), "On the lattice of subgroups of finite groups", Transactions of the American Mathematical Society, 70 (2): 345–371, doi:10.2307/1990375 , JSTOR 1990375.
• Warner, Frank (1983), Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90894-6.
• Templat:Weibel IHA
• Weinberg, Steven (1972), Gravitation and Cosmology, New York: John Wiley & Sons, ISBN 0-471-92567-5.
• Welsh, Dominic (1989), Codes and Cryptography, Oxford: Clarendon Press, ISBN 978-0-19-853287-3.
• Weyl, Hermann (1952), Symmetry, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-02374-8.
• Zee, A. (2010), Quantum Field Theory in a Nutshell (edisi ke-second), Princeton, N.J.: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-14034-6, OCLC 768477138

Referensi bersejarah

Lihat pula: Terbitan penting dan bersejarah dalam teori grup

• Borel, Armand (2001), Essays in the History of Lie Groups and Algebraic Groups, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0288-5
• Cayley, Arthur (1889), The Collected Mathematical Papers of Arthur Cayley, II (1851–1860), Cambridge University Press.
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "The development of group theory", Arsip Sejarah Matematika MacTutor, Universitas St Andrews.
• Curtis, Charles W. (2003), Pioneers of Representation Theory: Frobenius, Burnside, Schur, and Brauer, History of Mathematics, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-2677-5.
• von Dyck, Walther (1882), "Gruppentheoretische Studien (Group-theoretical studies)", Mathematische Annalen (dalam bahasa Jerman), 20 (1): 1–44, doi:10.1007/BF01443322, diarsipkan dari versi asli tanggal 2014-02-22 Parameter |s2cid= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan); Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan).
• Galois, Évariste (1908), Tannery, Jules, ed., Manuscrits de Évariste Galois [Évariste Galois' Manuscripts] (dalam bahasa Prancis), Paris: Gauthier-Villars, diarsipkan dari versi asli tanggal 2011-05-21, diakses tanggal 2021-01-30 (Galois work was first published by Joseph Liouville in 1843).
• Jordan, Camille (1870), Traité des substitutions et des équations algébriques [Study of Substitutions and Algebraic Equations] (dalam bahasa Prancis), Paris: Gauthier-Villars.
• Kleiner, Israel (1986), "The evolution of group theory: A brief survey", Mathematics Magazine, 59 (4): 195–215, doi:10.2307/2690312, JSTOR 2690312, MR 0863090.
• Lie, Sophus (1973), Gesammelte Abhandlungen. Band 1 [Collected papers. Volume 1] (dalam bahasa Jerman), New York: Johnson Reprint Corp., MR 0392459.
• Mackey, George Whitelaw (1976), The Theory of Unitary Group Representations, University of Chicago Press, MR 0396826
• Smith, David Eugene (1906), History of Modern Mathematics, Mathematical Monographs, No. 1, diarsipkan dari versi asli tanggal 2023-06-04, diakses tanggal 2021-01-30.
• Weyl, Hermann (1950) [1931], The Theory of Groups and Quantum Mechanics, diterjemahkan oleh Robertson, H. P., Dover, ISBN 978-0-486-60269-1.
• Wussing, Hans (2007), The Genesis of the Abstract Group Concept: A Contribution to the History of the Origin of Abstract Group Theory, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-45868-7.

Pranala luar

• (Inggris) Weisstein, Eric W. "Group". MathWorld.
• Group (mathematics) di Encyclopædia Britannica

Templat:Grup navbox