Bilangan prima

Bilangan prima adalah bilangan asli lebih dari 1 yang bukan darab (hasil kali) dari dua bilangan asli yang lebih kecil. Bilangan asli yang lebih dari 1 dan bukan bilangan prima disebut bilangan komposit. Misalnya, 5 adalah bilangan prima karena 5 dapat ditulis sebagai ${\displaystyle 1\times 5}$ atau ${\displaystyle 5\times 1}$, sedangkan 4 bukanlah bilangan prima karena hasil kalinya (${\displaystyle 2\times 2}$), dimana kedua bilangan lebih kecil dari 4. Bilangan prima merupakan bagian pusat dari teori bilangan karena melibatkan teorema dasar aritmetika: setiap bilangan asli lebih besar dari 1 adalah bilangan prima itu sendiri atau dapat difaktorkan sebagai hasil kali tunggal hingga urutannya.

Bilangan komposit dapat disusun menjadi persegi panjang, sedangkan bilangan prima tidak dapat.

Sifat-sifat yang menjadikan bilangan prima disebut primalitas. Metode sederhana namun lambat yang memeriksa primalitas untuk bilangan ${\displaystyle n}$, disebut pembagian percobaan. Metode ini menguji apakah ${\displaystyle n}$ kelipatan dari suatu bilangan bulat antara ${\displaystyle 2}$ dan ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$. Algoritma lebih cepatnya adalah uji primalitas Miller–Rabin, algoritma cepat namun memiliki kesempatan galat kecil; dan uji primalitas Agrawal–Kayal–Saxena, algoritma yang selalu memberikan solusi yang benar dalam waktu polinomial, namun sangat lambat bila dipraktekkan. Metode cepat khususnya tersedia dalam bilangan bentuk khusus, seperti bilangan Mersenne. Hingga pada Desember 2018, bilangan prima terbesar yang diketahui merupakan bilangan prima Mersenne dengan 24.862.048 digit.^[1]

Sekitar 300 SM, Euklides menjelaskan bahwa ada tak berhingga banyaknya bilangan prima. Tidak ada rumus sederhana yang memisahkan bilangan prima dari bilangan komposit. Akan tetapi, sebaran bilangan prima dalam jumlah bilangan asli yang sangat banyak dapat digambar secara statistik. Hasil pertama sebaran bilangan prima tersebut mengarah pada teorema bilangan prima, yang dibuktikan pada akhir abad ke-19. Teorema ini mengatakan bilangan terbesar yang dipilih secara acak menjadi bilangan prima berbanding terbalik dengan jumlah digitnya, yaitu logaritma.

Beberapa masalah-masalah bersejarah yang melibatkan bilangan prima masih belum terpecahkan. Masalah di antaranya konjektur Goldbach, yang menyatakan bahwa setiap bilangan bulat lebih besar dari 2 dapat dibentuk sebagai jumlah dua bilangan prima, dan konjektur bilangan prima kembar, menyatakan bahwa ada tak berhingga banyaknya pasangan bilangan prima yang memiliki sebuah bilangan genap di antaranya. Masalah-masalah tersebut mendorong pengembangan berbagai cabang dalam teori bilangan, yang fokus pada aspek bilangan analitik atau bilangan aljabar. Dalam kehidupan sehari-hari, bilangan prima dipakai dalam teknologi informasi, seperti kriptografi kunci publik, yang bergantung pada kesulitan memfaktorkan bilangan yang lebih besar menjadi faktor bilangan prima. Dalam aljabar abstrak, objek yang umumnya berperilaku sebagai bilangan prima di antaranya elemen bilangan prima dan ideal bilangan prima.

Definisi dan contoh

Bilangan asli (1, 2, 3, 4, 5, dst.) dapat dikatakan bilangan prima jika dan hanya jika bilangan asli itu lebih besar dari 1 dan tidak dapat ditulis sebagai hasil kali bilangan asli yang lebih kecil. Bilangan asli yang lebih dari 1, namun bukan merupakan bilangan prima disebut bilangan komposit.^[2] Dengan kata lain, ${\displaystyle n}$ dikatakan bilangan prima jika terdapat ${\displaystyle n}$ benda tidak dapat dibagi menjadi kelompok dengan jumlah yang sama, yang terdiri dari satu benda.^[3] Bilangan prima juga diilustrasikan sebagai susunan ${\displaystyle n}$ titik menjadi persegi panjang yang lebar dan tingginya lebih dari satu titik.^[4] Misalnya, bilangan di antara 1 sampai 6, bilangan primanya adalah 2, 3, dan 5;^[5] karena tidak ada bilangan lain yang membagi ketiga bilangan tersebut tanpa adanya sisa. 1 bukan bilangan prima, karena merupakan pengecualian yang khusus dalam definisi di atas. 4 = 2 × 2 dan 6 = 2 × 3 merupakan bilangan komposit.

Gambaran melalui batang Cuisenaire bahwa 7 adalah bilangan prima. Karena 2, 3, 4, 5, atau 6 yang tidak dapat membagi 7 secara merata.

Pembagi bilangan asli ${\displaystyle n}$ adalah bilangan asli yang membagi ${\displaystyle n}$ sama rata. Pembagi pada setiap bilangan asli tersebut adalah 1 dan dirinya sendiri. Jika ${\displaystyle n}$ memiliki pembagi lain, maka ${\displaystyle n}$ bukanlah bilangan prima. Gagasan ini merujuk ke sebuah definisi bilangan prima yang berbeda namun ekuivalen: terdapat bilangan setidaknya dua pembagi bilangan positif, 1 dan dirinya sendiri.^[6] Ada cara lain untuk menjelaskan hal tersebut, yaitu: ${\displaystyle n}$ adalah bilangan prima jika ${\displaystyle n}$ lebih besar dari 1 dan tidak ada bilangan ${\displaystyle 2,3,\dots ,n-1}$ yang membagi ${\displaystyle n}$ sama rata.^[7]

Berikut adalah 25 bilangan prima pertama (semua bilangan prima yang lebih kecil dari 100):^[8]

1,2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 (barisan A000040 pada OEIS).

Tidak ada bilangan genap ${\displaystyle n}$ yang lebih besar dari 2 adalah bilangan prima karena bilangannya dapat dibentuk sebagai hasil kali ${\textstyle 2\times {\frac {n}{2}}}$. Karena itu, setiap bilangan prima selain dari 2 adalah bilangan ganjil, dan bilangan tersebut disebut bilangan prima ganjil.^[9] Ketika ditulis dalam sistem desimal biasa dengan cara yang serupa, semua bilangan prima yang lebih besar dari 5 berakhir dengan digit satuan 1, 3, 7, atau 9. Bilangan yang berakhir dengan digit satuan yang berbeda adalah bilangan komposit: bilangan desimal yang digit satuannya adalah 0, 2, 4, 6, atau 8 adalah bilangan genap, dan bilangan desimal yang berakhir dengan digit satuan 0 dan 5 habis dibagi 5.^[10]

Himpunan bilangan prima terkadang dilambangkan ${\displaystyle \mathbf {P} }$^[11] atau ${\displaystyle \mathbb {P} }$.^[12]

Sejarah

Papirus Matematika Rhind

Papirus Matematika Rhind dari sekitar tahun 1550 SM, memiliki perluasan pecahan Mesir dalam bentuk yang berbeda untuk bilangan prima dan bilangan komposit.^[13] Namun, catatan sejarah pertama kali yang mempelajari bilangan prima dengan eksplisit berasal dari matematika Yunani kuno.. Elemen dari Euklides (300 SM) membuktikan bilangan prima tak-hingga dan teorema dasar aritmetika, dan menunjukkan cara membuat bilangan sempurna dari prima Mersenne.^[14] Penemuan Yunani lainnya yaitu tapis Eratosthenes masih digunakan untuk menyusun daftar bilangan prima.^[15][16]

Sekitar 1000 M, matematikawan Islam Ibn al-Haytham (Alhazen) menemukan teorema Wilson dengan mencirikan bilangan prima sebagai bilangan ${\displaystyle n}$ yang membagi rata ${\displaystyle (n-1)!+1}$. Ia juga menduga bahwa semua bilangan sempurna genap berasal dari konstruksi Euklides yang menggunakan bilangan prima Mersenne, tetapi tidak dapat membuktikannya.^[17] Matematikawan Islam lainnya, Ibn al-Banna' al-Marrakushi mengamati bahwa pitas Eratosthenes dapat dipercepat dengan menguji hanya pembagi hingga akar kuadrat dari bilangan terbesar yang akan diuji. Fibonacci membawa inovasi dari matematika Islam kembali ke Eropa. Liber Abaci (1202) dalam bukunya yang pertama mendeskripsikan pembagian percobaan untuk menguji primalitas, sekali lagi menggunakan pembagi hanya akar kuadrat hingga.^[16]

Pada 1640, Pierre de Fermat menyatakan teorema kecil Fermat tanpa bukti, yang kemudian dibuktikan oleh Leibniz dan Euler.^[18] Fermat juga menyelidiki primalitas dari bilangan Fermat ${\displaystyle 2^{2^{n}}+1}$,^[19] dan Marin Mersenne mempelajari prima Mersenne, bilangan prima dari bentuk ${\displaystyle 2^{p}-1}$ dengan ${\displaystyle p}$ sendiri adalah bilangan prima.^[20] Dalam surat tahun 1742 untuk Euler, Christian Goldbach merumuskan konjektur Goldbach, bahwa setiap bilangan genap adalah jumlah dari dua bilangan prima.^[21] Euler membuktikan konjektur Alhazen (yang saat ini disebut teorema Euklides–Euler) bahwa semua bilangan sempurna genap dapat dibangun dari bilangan prima Mersenne.^[14] Ia memperkenalkan metode dari analisis matematis ke cabang ini dalam bukti ketakterhinggaan bilangan prima dan kedivergenan jumlah timbal-balik bilangan prima ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{7}}+{\tfrac {1}{11}}+\cdots }$.^[22] Pada awal abad ke-19, Legendre dan Gauss menduga bahwa ketika ${\displaystyle x}$ menuju ke takhingga, jumlah bilangan prima hingga ${\displaystyle x}$ asimptotik ke ${\displaystyle {\tfrac {x}{\log x}}}$, dimana ${\displaystyle \log x}$ melambangkan logaritma natural dari ${\displaystyle x}$. Versi lemah postulat Bertrand yang mengatakan bahwa untuk setiap ${\displaystyle n>1}$, terdapat bilangan prima di antara ${\displaystyle n}$ dan ${\displaystyle 2n}$, dibuktikan oleh Pafnuty Chebyshev pada tahun 1852.^[23] Gagasan Bernhard Riemann dalam makalahnya tahun 1859 tentang fungsi zeta menggambarkan sebuah garis besar dalam membuktikan konjektur Legendre dan Gauss. Walaupun gagasannya yang berkaitan dengan hipotesis Riemann masih belum terpecahkan, namun garis besar Riemann diselesaikan oleh Hadamard dan de la Vallée Poussin pada tahun 1896, dan hasilnya saat ini dikenal sebagai teorema bilangan prima.^[24] Hasil penting lainnya pada abad ke-19 adalah teorema Dirichlet tentang barisan aritmetika, barisan aritmetika pasti memuat tak berhingga banyaknya bilangan prima.^[25]

Beberapa matematikawan telah melakukan uji primalitas untuk bilangan lebih besar dari bilangan penerapan uji pembagian. Metode yang membatasi bentuk bilangan khusus di antaranya uji Pépin untuk bilangan Fermat (1877),^[26] teorema Proth (sekitar 1878),^[27] uji primalitas Lucas–Lehmer (berasal dari 1856), dan uji primalitas Lucas rampat.^[28]

Sejak tahun 1951, semua bilangan prima terbesar yang diketahui telah ditemukan menggunakan uji ini pada komputer.^{[lower-alpha 1]} Pencarian bilangan prima besar telah membangkitkan minat pada luar lingkaran matematika, melalui Great Internet Mersenne Prime Search dan proyek komputasi distribusi lainnya.^[8][30] Gagasan bahwa bilangan prima memiliki beberapa penerapan diluar matematika murni,^{[lower-alpha 2]} sekitar tahun 1970-an ketika kriptografi kunci publik dan RSA sistem kripto ditemukan dengan menggunakan bilangan prima sebagai basisnya.^[33]

Meningkatnya kepentingan praktis dari pengujian dan faktorisasi primalitas terkomputerisasi menyebabkan pengembangan metode menjadi lebih baik yang mampu menangani sejumlah besar bentuk ketakhinggaan.^[15][34][35] Teori matematika bilangan prima juga terus berkembang dengan teorema Green-Tao (2004) bahwa barisan aritmetika panjang yang cenderung dari bilangan prima, dan pembuktian pada tahun 2013 Yitang Zhang bahwa memiliki banyak uji celah prima ketakhinggaan.^[36]

Primalitas dari 1

Hampir seluruh matematikawan Yunani kuno bahkan tidak menganggap 1 sebagai bilangan,^[37][38] sehingga mereka tidak menganggap primalitas. Beberapa matematikawan pada kala ini juga menganggap bilangan prima adalah subpembagian bilangan ganjil, sehingga mereka menganggap 2 bukanlah bilangan prima. Namun, Euklides dan sebagian besar matematikawan Yunani lainnya menganggap 2 sebagai bilangan prima. Sebagian besar matematikawan Islam pada abad pertengahan mengikuti pandangan matematikawan Yunani bahwa 1 bukanlah sebuah bilangan.^[37] Pada masa abad pertengahan dan masa Reinsans, para matematikawan mulai memperlakukan 1 sebagai bilangan, dan ada pula dari mereka memperlakukan 1 sebagai bilangan prima pertama.^[39] Dalam suratnya untuk Leonhard Euler pada pertengahan abad ke-18, Christian Goldbach menganggap 1 sebagai bilangan prima; namun Euler tidak.^[40] Pada abad ke-19, banyak para matematikawan masih menganggap 1 sebagai bilangan prima,^[41] dan yang memuat 1 sebagai daftar bilangan prima terus diterbitkan hingga tahun 1956.^[42][43]

Jika definisi bilangan prima mengatakan bahwa 1 adalah bilangan prima, maka banyak pernyataan yang melibatkan bilangan prima akan ditulis ulang dalam cara yang aneh. Sebagai contoh, teorema dasar aritmetika akan perlu ditulis ulang dalam bentuk faktorisasi menjadi bilangan prima lebih besar dari 1, karena setiap bilangan mempunyai banyak kelipatan dengan jumlah salinan dari 1 yang berbeda.^[41] Mirip dengan contoh sebelumnya, saringan Eratosthenes tidak akan bekerja dengan benar jika saringan tersebut memperlakukan 1 sebagai sebuah bilangan prima, karena saringan Eratosthenes akan mengeliminasi semua kelipatan 1 (yaitu semua bilangan lainnya) dan memberikan hasil hanya satu bilangan saja, yaitu 1.^[43] Ada beberapa sifat bilangan prima lebih teknis yang juga tidak berlaku untuk 1, sebagai contoh rumus fungsi phi Euler atau fungsi jumlah pembagi berbeda untuk bilangan prima dengan 1 yang didefinisikan sebagai bilangan prima.^[44] Pada awal abad ke-20, para matematikawan mulai menyetujui bahwa 1 tidak ditulis sebagai bilangan prima, melainkan dikategorikan istimewa sebagai "satuan".^[41]

Sifat-sifat dasar

Faktorisasi tunggal

Artikel utama: Teorema dasar aritmetika

Suatu bilangan dapat ditulis sebagai hasil kali bilangan prima disebut faktorisasi bilangan prima. Misalnya:

${\displaystyle {\begin{aligned}34886&=2\cdot 3\cdot 3\cdot 13\cdot 149\\&=2\cdot 3^{2}\cdot 13\cdot 149\end{aligned}}}$

Bentuk yang ditulis dalam hasil kali disebut faktor bilangan prima. Faktor bilangan prima yang sama seringkali muncul lebih dari satu. Contoh di atas memiliki dua salinan faktor bilangan prima ${\displaystyle 3}$. Ketika sebuah bilangan prima sering muncul berkali-kali, eksponen dapat dipakai untuk mengumpulkan salinan faktor bilangan prima. Misalnya, dalam menulis hasil kali di atas, yakni pada barisan kedua, ${\displaystyle 3^{2}}$ dilambangkan sebagai tiga pangkat dua.

Pentingnya bilangan prima dalam teori bilangan dan matematika umumnya berasal dari teorema dasar aritmetika.^[45] Teorema ini mengatakan bahwa setiap bilangan bulat yang lebih besar dari 1 dapat ditulis sebagai hasil kali dari satu bilangan prima atau lebih. Lebih lanjut, hasil kalinya adalah tunggal dalam artian bahwa dua faktorisasi bilangan prima dari bilangan yang sama akan memiliki jumlah salinan yang sama dari bilangan prima yang sama meski urutannya berbeda.^[46] Walaupun ada banyak cara mencari faktorisasi melalui algoritma faktorisasi bilangan bulat, hasil yang diperoleh adalah sama. Jadi, bilangan prima dapat dianggap sebagai "satuan dasar" bilangan asli.^[47]

Bukti-bukti mengenai ketunggalan faktorisasi bilangan prima dijelaskan melalui lema Euklides: Jika ${\displaystyle p}$ bilangan prima dan ${\displaystyle p}$ membagi hasil kali ${\displaystyle ab}$ (dimana ${\displaystyle a}$ dan ${\displaystyle b}$ bilangan bulat), maka ${\displaystyle p}$ membagi ${\displaystyle a}$ atau ${\displaystyle p}$ membagi ${\displaystyle b}$ (atau membagi keduanya).^[48] Sebaliknya, jika ${\displaystyle p}$ memiliki sifat ketika dibagi hasil kalinya (${\displaystyle p}$ selalu membagi setidaknya salah satu dari faktor hasil kali tersebut), maka ${\displaystyle p}$ haruslah bilangan prima.^[49]

Ketakterhinggaan

Artikel utama: Teorema Euklides

Ada tak berhingga banyaknya bilangan prima. Dengan kata lain, barisan bilangan prima

2, 3, 5, 7, 11, 13, ...

tidak pernah berakhir. Karena pertama kali yang membuktikan pernyataan ini adalah Euklides, pernyataan tersebut disebut teorema Euklides untuk menghormati matematikawan Yunani Kuno Euklides. Masih ada bukti mengenai ketakterhinggaan bilangan prima, diantaranya: bukti analitik oleh Euler, bukti Goldbach berdasarkan bilangan Fermat,^[50] bukti Furstenberg melalui topologi umum,^[51] dan bukti elegan Kummer.^[52]

Bukti Euler^[53] menunjukkan bahwa setiap daftar bilangan prima terhingga belum lengkap. Kunci utamanya adalah mengalikan bilangan prima pada daftar tertentu dan ditambah ${\displaystyle 1}$. Jikalau terdiri dari bilangan prima ${\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n}}$, maka

${\displaystyle N=1+p_{1}\cdot p_{2}\cdots p_{n}}$.

Menurut teorema dasar aritmetika, ${\displaystyle N}$ memiliki faktorisasi bilangan prima yang faktornya berjumlah satu atau lebih.

${\displaystyle N=p'_{1}\cdot p'_{2}\cdots p'_{m}}$

${\displaystyle N}$ dibagi habis secara merata oleh setiap faktor-faktor tersebut, tetapi ${\displaystyle N}$ mempunyai sisa yaitu satu ketika dibagi oleh suatu bilangan prima pada daftar tertentu sehingga tidak ada faktor bilangan prima ${\displaystyle N}$ yang terdapat pada daftar tersebut. Karena tidak ada daftar bilangan prima terhingga, maka pasti ada tak berhingga banyaknya bilangan prima.

Bilangan yang dibentuk dengan menambahkan 1 pada hasil kali dari bilangan prima terkecil disebut bilangan Euklides.^[54] Lima bilangan pertama adalah bilangan prima, tetapi yang keenam,

${\displaystyle 1+{\big (}2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13{\big )}=30031=59\cdot 509}$,

adalah bilangan komposit.

Rumus untuk bilangan prima

Artikel utama: Rumus untuk bilangan prima

Tidak ada rumus cepat yang diketahui untuk bilangan prima. Contoh, tidak ada polinomial takkonstan, bahkan dalam beberapa variabel, yang hanya memakai nilai bilangan prima.^[55] Namun, ada banyak bentuk rumus yang mengodekan semua bilangan prima, atau hanya bilangan prima. Ada rumus yang dapat didasari pada teorema Wilson, dan rumus tersebut menghasilkan 2 berkali-kali dan sisa bilangan prima dihasilkan sekali.^[56] Adapula himpunan persamaan Diophantus dalam sembilan variabel dan satu parameter dengan sifat berikut: parameter adalah bilangan prima jika dan hanya jika sistem persamaan yang dihasilkan adalah solusi bilangan asli. Hal tersebut dapat dipakai untuk memperoleh rumus tunggal dengan sifat bahwa semua nilai positif adalah bilangan prima.^[57]

Contoh rumus yang menghasilkan bilangan prima lainnya berasal dari teorema Mills dan teorema Wright. Rumus ini mengatakan bahwa terdapat suatu konstanta real ${\displaystyle A>1}$ dan ${\displaystyle \mu }$ sehingga

${\displaystyle \left\lfloor A^{3^{n}}\right\rfloor }$ dan ${\displaystyle \left\lfloor 2^{\cdots ^{2^{2^{\mu }}}}\right\rfloor }$

adalah bilangan prima untuk suatu bilangan asli ${\displaystyle n}$ dalam rumus yang pertama, dan suatu bilangan eksponen dalam rumus yang kedua.^[58] ${\displaystyle \lfloor \,\cdot \,\rfloor }$ merepresentasikan fungsi bilangan bulat terbesar. Akan tetapi, rumus-rumus tersebut tidak dapat digunakan untuk menghasilkan bilangan prima, karena bilangan prima harus dihasilkan terlebih dahulu agar memperoleh nilai ${\displaystyle A}$ atau ${\displaystyle \mu }$.

Pertanyaan terbuka

Banyak konjektur yang melibatkan bilangan prima telah diajukan. Seringkali memiliki perumusan dasar, banyak konjektur-konjektur tersebut memiliki bukti yang bertahan selama beberapa dekade: empat masalah Landau yang berasal dari tahun 1912 masih belum terpecahkan.^[59] Salah satu masalah Landau adalah konjektur Goldbach, yang menyatakan bahwa setiap bilangan bulat genap ${\displaystyle n}$ lebih besar dari 2 dapat ditulis sebagai jumlah dari dua bilangan prima.^[60] Hingga pada 2014, konjektur ini telah dibenarkan untuk semua bilangan hingga ${\displaystyle n=4\cdot 10^{18}}$.^[61] Pernyataan yang lebih lemah dari konjektur tersebut telah dibuktikan seperti: teorema Vinogradov yang mengatakan bahwa setiap bilangan bulat ganjil yang cukup besar dapat ditulis sebagai jumlah dari tiga bilangan prima,^[62] teorema Chen yang mengatakan bahwa setiap bilangan genap yang cukup besar dapat dinyatakan sebagai jumlah dari bilangan prima dan semiprima (hasil kali dari dua bilangan prima),^[63] serta suatu bilangan bulat genap yang lebih besar dari 10 dapat ditulis sebagai jumlah dari enam bilangan prima.^[64] Cabang teori bilangan yang mempelajari masalah tersebut disebut teori bilangan aditif.^[65]

Sifat-sifat analitik

Teori bilangan analitik adalah studi cabang teori bilangan yang berfokus mengenai fungsi kontinu, limit, deret takhingga, dan kaitan matematika tentang takhingga dan infinitesimal.

Cabang ini dimulai dengan Leonhard Euler yang menemukan solusi dari masalah yang sangat penting, yaitu masalah Basel. Masalah ini menanyakan berapakah nilai dari deret takhingga ${\displaystyle 1+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{9}}+{\tfrac {1}{16}}+\dots ,}$ dan nilai deret saat ini dapat dianggap sebagai nilai ${\displaystyle \zeta (2)}$ (dimana ${\displaystyle \zeta }$ adalah fungsi zeta Riemann). Fungsi ini sangat terkait erat dengan bilangan prima dan fungsi ini merupakan salah satu masalah yang belum terpecahkan yang sangat penting dalam matematika, hipotesis Riemann. Euler memperlihatkan bahwa ${\textstyle \zeta (2)={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$.^[66] Kebalikannya, ${\displaystyle {\tfrac {6}{\pi ^{2}}}}$, merupakan probabilitas batas yang menyatakan bahwa dua bilangan acak dipilih secara seragam dari kisaran relatif prima yang besar (relatif prima berarti tidak memiliki kesamaan faktor).^[67]

Sebaran bilangan prima masih dicari, seperti pertanyaan yang menanyakan berapa banyak bilangan prima yang lebih kecil dari sebuah batas yang lebih besar dijelaskan melalui teorema bilangan prima, namun rumus efisien bilangan prima ke-${\displaystyle n}$ belum diketahui. Teorema Dirichlet tentang barisan aritmetika, dalam bentuk dasar, mengatakan bahwa polinomial linear

${\displaystyle p(n)=a+bn}$

dengan ${\displaystyle a}$ dan ${\displaystyle b}$ saling relatif prima mengambil tak berhingga banyaknya nilai bilangan prima. Bentuk teorema yang lebih kuat mengatakan bahwa jumlah timbal balik dari nilai bilangan prima tersebut adalah divergen, dan bahwa polinomial linear yang berbeda dengan ${\displaystyle b}$ yang sama kira-kira sama dengan perbandingan bilangan prima yang sama. Walaupun konjektur tersebut dirumuskan mengenai perbandingan bilangan prima dalam polinomial berderajat tinggi, konjektur tersebut masih belum terpecahkan, dan belum diketahui adakah polinomial kuadratik bahwa (untuk nilai-nilai bilangan bulat) merupakan sering tak berhingga bilangan prima.

Bukti analitik teorema Euklides

Bukti Euler yang mengatakan ada tak berhingga banyaknya bilangan prima meninjau jumlah dari timbal-balik bilangan prima,

${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+\cdots +{\frac {1}{p}}}$.

Euler memperlihatkan bahwa untuk suatu ${\displaystyle x}$ bilangan real sembarang, terdapat bilangan prima ${\displaystyle p}$ yang jumlahnya lebih besar dari ${\displaystyle x}$.^[68] Bukti tersebut memperlihatkan bahwa ada tak berhingga banyaknya bilangan prima. Karena jika terdapat berhingga banyaknya bilangan prima, maka jumlahnya akan mencapai nilai maksimum di bilangan prima terbesar daripada naik melalui setiap ${\displaystyle x}$. Laju pertumbuhan dari jumlah ini digambarkan melalui teorema kedua Mertens.^[69] Bandingkan jumlah

${\displaystyle {\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}}$,

yang tidak naik menuju takhingga ketika ${\displaystyle n}$ menuju takhingga (lihat masalah Basel). Ini berarti, bilangan prima sering kali muncul daripada bilangan asli yang dikuadratkan meskipun kedua himpunan adalah takhingga.^[70] Teorema Brun menyatakan bahwa jumlah timbal-balik bilangan prima kembar,

${\displaystyle \left({{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}}\right)+\left({{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}}\right)+\left({{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}}\right)+\cdots }$,

adalah terhingga. Karena teorema Brun, bukti di atas tidak dapat menggunakan metode Euler untuk menyelesaikan bilangan prima kembar, yang ada tak berhingga banyaknya bilangan prima.^[70]

Jumlah bilangan prima di bawah batas tertentu

Artikel utama: Teorema bilangan prima dan Fungsi penghitungan bilangan prima

Galat relatif dari ${\displaystyle {\tfrac {n}{\log n}}}$ dan integral logaritmik ${\displaystyle \operatorname {Li} (n)}$ merupakan aproksimasi fungsi penghitungan bilangan prima. Ketika ${\displaystyle n}$ membesar, kedua galat relatif tersebut menurun ke nol, tetapi untuk integral logaritmik, konvergensi ke nol semakin cepat.

Fungsi penghitungan bilangan prima ${\displaystyle \pi (n)}$ didefinisikan sebagai jumlah bilangan prima yang lebih kecil dari ${\displaystyle n}$.^[71] Contohnya, ${\displaystyle \pi (11)=5}$, karena ada lima bilangan prima yang lebih kecil atau sama dengan 11 (yakni 2, 3, 5, 7, 11). Metode seperti algoritma Meissel–Lehmer dapat menghitung nilai eksak ${\displaystyle \pi (n)}$ lebih cepat daripada menulis setiap bilangan prima sampai dengan ${\displaystyle n}$. Teorema bilangan prima menyatakan bahwa ${\displaystyle \pi (n)}$ asimtotik dengan ${\displaystyle {\tfrac {n}{\log n}}}$. Teorema ini ditulis sebagai

${\displaystyle \pi (n)\sim {\frac {n}{\log n}}}$.

Ini berarti bahwa rasio ${\displaystyle \pi (n)}$ terhadap pecahan di ruas kanan mendekati 1 ketika ${\displaystyle n}$ menuju takhingga.^[72] Teorema ini menyiratkan bahwa kemungkinan bilangan yang lebih kecil dari ${\displaystyle n}$ yang dipilih secara acak adalah bilangan prima, kira-kira berbanding terbalik dengan jumlah digit ${\displaystyle n}$.^[73] Teorema ini juga menyiratkan bahwa bilangan prima ke-${\displaystyle n}$ sebanding dengan ${\displaystyle n\log n}$,^[74] dan demikian bahwa ukuran rata-rata dari celah bilangan prima sebanding dengan ${\displaystyle \log n}$.^[75] Pendekatan lebih akuratnya adalah ${\displaystyle \pi (n)}$ sebanding dengan integral logaritmik Euler^[72]

${\displaystyle \pi (n)\sim \operatorname {Li} (n)=\int _{2}^{n}{\frac {\mathrm {d} t}{\log t}}}$.

Barisan aritmetika

Artikel utama: Teorema Dirichlet tentang barisan aritmetika dan Teorema Green–Tao

Barisan aritmetika ialah barisan bilangan yang hingga maupun takhingga sehingga bilangan berurutan dalam barisan tersebut memiliki beda atau selisih yang sama.^[76] Selisih barisan aritmetika disebut modulus barisan.^[77] Misalnya,

${\displaystyle 3,12,21,30,39,...}$,

adalah barisan aritmetika takhingga dengan modulus 9. Dalam barisan aritmetika, semua bilangan memiliki sisa yang sama ketika dibagi oleh modulus. Contoh di atas, sisanya adalah 3. Karena modulus adalah 9 dan sisanya merupakan kelipatan 3, dan begitu pula untuk setiap anggota pada barisan tersebut. Karena itu, barisan tersebut memiliki satu bilangan prima, yakni 3. Pada umumnya, barisan takhingga

${\displaystyle a,a+q,a+2q,a+3q,\dots }$

dapat memiliki bilangan prima yang lebih dari satu ketika sisa ${\displaystyle a}$ dan modulus ${\displaystyle q}$ relatif prima. Jika ${\displaystyle a}$ dan ${\displaystyle q}$ relatif prima, teorema Dirichlet tentang barisan aritmetika mengatakan bahwa barisan memuat tak terhingga banyaknya bilangan prima.^[78]

Bilangan prima dalam barisan aritmetika merupakan modulo 9. Setiap baris dari pita horizontal yang tipis memperlihatkan salah satu dari sembilan barisan yang modulo 9 yang mungkin, dengan bilangan prima ditandai berwarna merah. Barisan bilangan yaitu 0, 3, atau 6 mod 9 memuat setidaknya satu bilangan prima (yaitu 3); sisa barisan bilangan yaitu 2, 4, 5, 7, dan 8 mod 9 mempunyai tak berhingga banyaknya bilangan prima, dengan bilangan prima yang serupa pada masing-masing barisan

Teorema Green–Tao memperlihatkan bahwa ada barisan aritmetika hingga panjang sembarang yang hanya terdiri dari bilangan prima.^[79][80]

Dalam aljabar abstrak

Aritmetika modular dan medan berhingga

Artikel utama: Aritmetika modular

Aritmetika modular memodifikasi aritmetika biasa, hanya saja dengan menggunakan bilangan ${\displaystyle \{0,1,2,\dots ,n-1\}}$ untuk bilangan asli ${\displaystyle n}$ yang disebut modulus. Bilangan asli lainnya dapat dipetakan ke dalam sistem ini dengan menggantinya dengan sisa setelah pembagian dengan ${\displaystyle n}$.^[81] Penjumlahan, pengurangan, dan perkalian modular dihitung dengan melakukan penggantian yang sama dengan sisa hasil penjumlahan, pengurangan, atau perkalian bilangan bulat.^[82] Kesamaan bilangan bulat sesuai dengan kongruensi dalam aritmetika modular: ${\displaystyle x}$ dan ${\displaystyle y}$ adalah kongruen (ditulis ${\displaystyle x\equiv y}$ mod ${\displaystyle n}$) ketika mereka memiliki sisa yang sama setelah dibagi dengan ${\displaystyle n}$.^[83] Namun, dalam sistem bilangan ini, pembagian dengan semua bilangan bukan nol dimungkinkan jika dan hanya jika modulusnya adalah prima. Misalnya, dengan bilangan prima ${\displaystyle 7}$ sebagai modulus, pembagian dengan ${\displaystyle 3}$ adalah dimungkinkan: ${\displaystyle 2/3\equiv 3{\bmod {7}}}$ karena kemungkinan menghapus penyebut dengan mengalikan kedua ruas dengan ${\displaystyle 3}$ diberikan rumus yang valid ${\displaystyle 2\equiv 9{\bmod {7}}}$. Namun, dengan modulus komposit ${\displaystyle 6}$, pembagian dengan ${\displaystyle 3}$ adalah hal mustahil. Tidak ada solusi yang valid untuk ${\displaystyle 2/3\equiv x{\bmod {6}}}$: menghapus penyebut dengan mengalikan dengan ${\displaystyle 3}$ menyebabkan ruas kiri menjadi ${\displaystyle 2}$ sedangkan ruas kanan menjadi ${\displaystyle 0}$ atau ${\displaystyle 3}$. Dalam terminologi aljabar abstrak, kemampuan untuk melakukan pembagian berarti bahwa modulo aritmatika modular bilangan prima membentuk medan atau medan berhingga, sedangkan modulus lainnya hanya memberikan gelanggang tetapi bukan sebuah medan.^[84]

Beberapa teorema tentang bilangan prima dirumuskan menggunakan aritmetika modular. Misalnya, teorema kecil Fermat menyatakan bahwa jika ${\displaystyle a\not \equiv 0}$ (mod ${\displaystyle p}$), maka ${\displaystyle a^{p-1}\equiv 1}$ (mod ${\displaystyle p}$).^[85] Menjumlahkan dari semua pilihan ${\displaystyle a}$ diberikan persamaan

${\displaystyle \sum _{a=1}^{p-1}a^{p-1}\equiv (p-1)\cdot 1\equiv -1{\pmod {p}},}$

valid jika ${\displaystyle p}$ adalah bilangan prima. Konjektur Giuga menyebutkan bahwa persamaan ini juga merupakan syarat yang cukup untuk ${\displaystyle p}$ menjadi prima.^[86] Teorema Wilson menyebutkan bahwa sebuah bilangan bulat ${\displaystyle p>1}$ adalah bilangan prima jika dan hanya jika faktorial ${\displaystyle (p-1)!}$ kongruen dengan ${\displaystyle -1}$ mod ${\displaystyle p}$. Untuk bilangan ${\displaystyle \;n=r\cdot s\;}$ ini tidak berlaku, karena salah satu faktornya membagi n dan ${\displaystyle (n-1)!}$, dan jadi ${\displaystyle (n-1)!\equiv -1{\pmod {n}}}$ adalah hal mustahil.^[87]

Bilangan p-adik

Artikel utama: bilangan P-adik

Urutan ${\displaystyle p}$-adik ${\displaystyle \nu _{p}(n)}$ dari sebuah bilangan bulat ${\displaystyle n}$ adalah jumlah salinan dari ${\displaystyle p}$ dalam faktorisasi prima dari ${\displaystyle n}$. Konsep yang sama diperluas dari bilangan bulat ke bilangan rasional dengan mendefinisikan urutan ${\displaystyle p}$-adik dari pecahan ${\displaystyle m/n}$ menjadi ${\displaystyle \nu _{p}(m)-\nu _{p}(n)}$. Nilai absolut ${\displaystyle p}$-adik ${\displaystyle |q|_{p}}$ dari sembarang bilangan rasional ${\displaystyle q}$ kemudian didefinisikan sebagai ${\displaystyle |q|_{p}=p^{-\nu _{p}(q)}}$. Mengalikan bilangan bulat dengan nilai absolut ${\displaystyle p}$-adik-nya akan membatalkan faktor ${\displaystyle p}$ dalam faktorisasinya, dan hanya menyisakan bilangan prima lainnya. Sama seperti jarak antara dua bilangan real yang dapat diukur dengan nilai absolut jaraknya, jarak antara dua bilangan rasional dapat diukur dengan jarak ${\displaystyle p}$-adik-nya, nilai absolut ${\displaystyle p}$-adik dari selisihnya. Untuk definisi jarak ini, dua bilangan dikatakan berdekatan (memiliki jarak yang kecil) ketika selisihnya habis dibagi dengan pangkat ${\displaystyle p}$ yang tinggi. Dengan cara yang sama bahwa bilangan real dapat dibentuk dari bilangan rasional dan jaraknya, dengan menambahkan nilai pembatas ekstra untuk membentuk medan lengkap, bilangan rasional dengan jarak ${\displaystyle p}$-adik diperluas ke medan lengkap yang berbeda.^[88][89]

Urutan dari sebuah gambar, nilai absolut, dan medan lengkap yang diturunkan dari bilangan ${\displaystyle p}$-adik digeneralisasikan ke medan bilangan aljabar dan penilaian-penilaian tersebut (pemetaan tertentu dari Medan grup perkalian ke grup aditif terurut total disebut juga sebagai urutan), nilai absolut (pemetaan perkalian tertentu dari medan ke bilangan real disebut juga sebagai norma),^[88] dan tempat (ekstensi ke medan lengkap dimana medan yang diberikan adalah himpunan rapat disebut juga sebagai pelengkapan).^[90] Perluasan dari bilangan rasional ke bilangan real, misalnya adalah tempat dimana jarak antara bilangan adalah nilai absolut biasa dari perbedaannya. Pemetaan yang sesuai ke grup aditif akan menjadi logaritma dari nilai absolut, meskipun ini tidak memenuhi semua persyaratan penilaian. Menurut teorema Ostrowski, gagasan ekuivalen alami berhingga, bilangan real dan bilangan ${\displaystyle p}$-adik dengan urutan dan nilai absolutnya adalah satu-satunya penilaian, nilai absolut, dan tempat pada bilangan rasional.^[88] Prinsip lokal-global memungkinkan masalah tertentu atas bilangan rasional untuk diselesaikan dengan menyatukan solusi dari masing-masing tempat, sekali lagi menggarisbawahi pentingnya bilangan prima untuk teori bilangan.^[91]

Anggota bilangan prima dalam gelanggang

Artikel utama: Anggota bilangan prima dan Anggota taktereduksi

Bilangan prima Gauss dengan norma yang kurang dari 500

Gelanggang komutatif merupakan struktur aljabar dimana penambahan, pengurangan dan perkalian didefinisikan. Bilangan bulatnya merupakan sebuah gelanggang, dan bilangan prima dalam bilangan bulat telah dirampat menjadi gelanggang melalui dua cara seperti anggota bilangan prima dan anggota taktereduksi. Sebuah anggota ${\displaystyle p}$ dari sebuah gelanggang ${\displaystyle R}$ dikatakan bilangan prima jika ${\displaystyle p}$ adalah bilangan taknol, tidak mempunyai invers perkalian (yang berarti, gelanggang bukanlah sebuah unit), dan memenuhi syarat berikut: jika ${\displaystyle p}$ membagi hasil kali ${\displaystyle xy}$ dari dua anggota ${\displaystyle R}$, maka ${\displaystyle p}$ juga membagi setidaknya ${\displaystyle x}$ ataupun ${\displaystyle y}$. Sebuah anggota adalah taktereduksi jika sebuah anggota bukan merupakan sebuah unit maupun hasil kali dari dua anggota takunit lainnya. Dalam gelanggang bilangan bulat, anggota bilangan prima dan anggota taktereduksi membentuk himpunan yang sama,

${\displaystyle \{\dots ,-11,-7,-5,-3,-2,2,3,5,7,11,\dots \}\,.}$

Dalam sebuah gelanggang sembarang, semua anggota bilangan prima adalah taktereduksi. Kebalikannya tidak berlaku pada umumnya, namun berlaku untuk domain faktorisasi tunggal.^[92]

Teorema dasar aritmetika tetap berlaku (menurut definisi) dalam domain faktorisasi tunggal. Contoh mengenai domain faktorisasi tunggal adalah bilangan bulat Gauss ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$, gelanggang dari bilangan kompleks berbentuk ${\displaystyle a+bi}$ dimana ${\displaystyle i}$ menyatakan satuan imajiner, ${\displaystyle a}$ dan ${\displaystyle b}$ merupakan bilangan bulat sembarang. Anggota bilangan primanya dikenal sebagai bilangan prima Gauss. Tidak semua bilangan yang merupakan bilangan prima di antara bilangan bulat tetap merupakan bilangan prima dalam bilangan bulat Gauss. Sebagai contoh, bilangan 2 dapat ditulis sebagai hasil kali dari dua bilangan prima Gauss, yaitu ${\displaystyle 1+i}$ dan ${\displaystyle 1-i}$. Bilangan prima rasional (anggota bilangan prima dalam bilangan bulat) kongruen dengan 3 mod 4 adalah bilangan prima Gauss, namun bilangan prima rasional kongruen dengan 1 mod 4 bukan bilangan prima Gauss.^[93] Contoh tersebut merupakan akibat dari teorema Fermat tentang jumlah dari dua bilangan kuadrat, yang mengatakan bahwa sebuah bilangan prima ganjil ${\displaystyle p}$ dapat dinyatakan sebagai jumlah dari dua bilangan kuadrat, ${\displaystyle p=x^{2}+y^{2}}$, dan demikian dapat difaktorkan sebagai ${\displaystyle p=(x+iy)(x-iy)}$, tepat ketika ${\displaystyle p}$ kongruen dengan 1 mod 4.^[94]

Ideal prima

Artikel utama: Ideal prima

Tidak semua gelanggang merupakan ranah faktorisasi unik. Misalnya, dalam bilangan gelanggang ${\displaystyle a+b{\sqrt {-5}}}$ (untuk bilangan bulat ${\displaystyle a}$ dan ${\displaystyle b}$) angka ${\displaystyle 21}$ memiliki dua faktorisasi ${\displaystyle 21=3\cdot 7=(1+2{\sqrt {-5}})(1-2{\sqrt {-5}})}$, tidak satu pun dari keempat faktor tersebut bisa direduksi lebih jauh, sehingga tidak memiliki faktorisasi unik. Untuk memperluas faktorisasi unik pada kelas gelanggang terbesar, gagasan tentang bilangan bisa diganti dengan ideal, sebuah himpunan bagian dari elemen gelanggang yang memuat semua jumlah pasangan elemennya, dan semua hasil kali elemennya dengan elemen gelanggang. Ideal prima yang dimana generalisasi elemen prima dalam arti bahwa ideal utama yang dihasilkan oleh elemen prima adalah ideal prima adalah alat dan objek studi penting dalam aljabar komutatif, teori bilangan aljabar dan geometri aljabar. Ideal prima dari gelanggang bilangan bulat adalah ideal (0), (2), (3), (5), (7), (11), ... Teorema dasar aritmetika digeneralisasikan ke teorema Lasker–Noether disebutkan setiap ideal dalam gelanggang komutatif Noetherian sebagai perpotongan ideal prima yang merupakan generalisasi yang tepat dari prima kuasa.^[95]

Spektrum gelanggang adalah ruang geometris yang titik-titiknya merupakan ideal prima dari gelanggang tersebut.^[96] Geometri aritmetika juga mendapat manfaat dari gagasan ini, dan banyak konsep yang ada, baik dalam geometri maupun teori bilangan. Misalnya, faktorisasi atau percabangan dari ideal prima ketika diangkat sebagai medan perluasan, masalah dasar teori bilangan aljabar memiliki beberapa kemiripan dengan percabangan dalam geometri. Konsep-konsep ini bahkan dapat membantu dalam pertanyaan teori bilangan yang hanya berkaitan dengan bilangan bulat. Misalnya, ideal prima dalam gelanggang bilangan bulat dari medan bilangan kuadrat dapat digunakan untuk penggunaan ketimbalbalikan kuadrat, pernyataan yang menyangkut keberadaan akar kuadrat modulo bilangan prima bilangan bulat.^[97] Upaya awal untuk membuktikan Teorema Terakhir Fermat menyebabkan pengenalan Kummer dari prima regular, bilangan prima bilangan bulat terhubung dengan kegagalan faktorisasi unik pada bilangan bulat siklotomi.^[98] Pertanyaan tentang berapa banyak bilangan prima bilangan bulat faktor menjadi darab dari beberapa ideal prima dalam medan bilangan aljabar ditangani oleh teorema kerapatan Chebotarev, yang (bila diterapkan pada bilangan bulat siklotomi) mana memiliki teorema Dirichlet pada bilangan prima dalam deret aritmatika sebagai kasus khusus.^[99]

Teori grup

Dalam teori grup hingga, teorema Sylow menyiratkan bahwa jika perpangkatan bilangan prima ${\displaystyle p^{n}}$ membagi tingkat grup, maka grup memiliki subgrup tingkat ${\displaystyle p^{n}}$. Menurut teorema Lagrange, suatu grup tingkat bilangan prima adalah grup siklik dan menurut teorema Burnside, suatu grup yang tingkatnya dibagi oleh dua bilangan prima merupakan grup terselesaikan.^[100]

Catatan

1. Sebuah bilangan prima 44-digit yang ditemukan pada tahun 1951 oleh Aimé Ferrier dengan kalkulator mekanik tetap merupakan bilangan prima terbesar yang tidak ditemukan dengan bantuan komputer elektronik.^[29]
2. Misalnya, Beiler menulis bahwa ahli teori bilangan Ernst Kummer menyukai bilangan ideal miliknya, yang terkait erat dengan bilangan prima, "karena mereka tidak mengotori diri mereka dengan aplikasi praktis apa pun",^[31] bahkan Katz menulis bahwa Edmund Landau yang dikenal karena karyanya tentang distribusi bilangan prima yaitu "loathed practical applications of mathematics" dan untuk alasan tersebut untuk menghindari subjek seperti geometri yang telah terbukti berguna.^[32]

Referensi

1. "51st Known Mersenne Prime Discovered". www.mersenne.org. Diakses tanggal 21 Desember 2018.
2. Cahyo, Dhea Arokhman Yusufi (2020-05-10). Heuristic - For Mathematical Olympiad Approach. Math Heuristic. hlm. 18. Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
3. Henderson, Anne (2014-06-20). Dyslexia, Dyscalculia and Mathematics: A practical guide (dalam bahasa Inggris). Routledge. hlm. 62. ISBN 978-1-136-63662-2. Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
4. Adler, Irving (1960). The giant golden book of mathematics; exploring the world of numbers and space. Internet Archive. New York, Golden Press.
5. Lawrence S. Leff (2000). Barron's math workbook for the SAT I. Internet Archive. Barron's. ISBN 978-0-7641-0768-9.
6. Dudley, Underwood (1978). "Section 2: Unique factorization". Elementary number theory (2nd ed.). W.H. Freeman and Co. hlm. 10. ISBN 978-0-7167-0076-0.
7. Sierpiński, Wacław (1988). Elementary Theory of Numbers. North-Holland Mathematical Library. 31 (2nd ed.). Elsevier. hlm. 113. ISBN 978-0-08-096019-7.
8. Ziegler, Günter M. (2004). "The great prime number record races". Notices of the American Mathematical Society. 51 (4): 414–416. MR 2039814.
9. Stillwell, John (1997-10-30). Numbers and Geometry (dalam bahasa Inggris). Springer Science & Business Media. hlm. 9. ISBN 978-0-387-98289-2. Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
10. Sierpiński, Wacław (1964). A Selection of Problems in the Theory of Numbers. New York: Macmillan. hlm. 40. MR 0170843.
11. Nathanson, Melvyn B. (2008-01-11). Elementary Methods in Number Theory (dalam bahasa Inggris). Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-22738-2.
12. Faticoni, Theodore G. (2012-04-23). The Mathematics of Infinity: A Guide to Great Ideas (dalam bahasa Inggris). John Wiley & Sons. hlm. 44. ISBN 978-1-118-24382-4. Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
13. Bruins, Evert Marie, review in Mathematical Reviews of Gillings, R.J. (1974). "The recto of the Rhind Mathematical Papyrus. How did the ancient Egyptian scribe prepare it?". Archive for History of Exact Sciences. 12 (4): 291–298. doi:10.1007/BF01307175. MR 0497458. Parameter |s2cid= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
14. Stillwell, John (2010). Mathematics and Its History. Undergraduate Texts in Mathematics (edisi ke-3rd). Springer. hlm. 40. ISBN 978-1-4419-6052-8.
15. Pomerance, Carl (December 1982). "The Search for Prime Numbers". Scientific American. 247 (6): 136–147. Bibcode:1982SciAm.247f.136P. doi:10.1038/scientificamerican1282-136. JSTOR 24966751.
16. Mollin, Richard A. (2002). "A brief history of factoring and primality testing B. C. (before computers)". Mathematics Magazine. 75 (1): 18–29. doi:10.2307/3219180. JSTOR 3219180. MR 2107288.
17. John J. O'Connor and Edmund F. Robertson. Abu Ali al-Hasan ibn al-Haytham di MacTutor archive.
18. Sandifer 2007, 8. Fermat's Little Theorem (November 2003), hal. 45
19. Sandifer, C. Edward (2014). How Euler Did Even More. Mathematical Association of America. hlm. 42. ISBN 978-0-88385-584-3.
20. Koshy, Thomas (2002). Elementary Number Theory with Applications. Academic Press. hlm. 369. ISBN 978-0-12-421171-1.
21. Yuan, Wang (2002). Goldbach Conjecture. Series In Pure Mathematics. 4 (edisi ke-2nd). World Scientific. hlm. 21. ISBN 978-981-4487-52-8.
22. Narkiewicz, Wladyslaw (2000). "1.2 Sum of Reciprocals of Primes". The Development of Prime Number Theory: From Euclid to Hardy and Littlewood. Springer Monographs in Mathematics. Springer. hlm. 11. ISBN 978-3-540-66289-1.
23. Tchebychev, P. (1852). "Mémoire sur les nombres premiers" (PDF). Journal de mathématiques pures et appliquées. Série 1 (dalam bahasa Prancis): 366–390.. (Proof of the postulate: 371–382). Also see Mémoires de l'Académie Impériale des Sciences de St. Pétersbourg, vol. 7, pp. 15–33, 1854
24. Apostol, Tom M. (2000). "A centennial history of the prime number theorem". Dalam Bambah, R.P.; Dumir, V.C.; Hans-Gill, R.J. Number Theory. Trends in Mathematics. Basel: Birkhäuser. hlm. 1–14. MR 1764793.
25. Apostol, Tom M. (1976). "7. Dirichlet's Theorem on Primes in Arithmetical Progressions". Introduction to Analytic Number Theory. New York; Heidelberg: Springer-Verlag. hlm. 146–156. MR 0434929.
26. Chabert, Jean-Luc (2012). A History of Algorithms: From the Pebble to the Microchip. Springer. hlm. 261. ISBN 978-3-642-18192-4.
27. Rosen, Kenneth H. (2000). "Theorem 9.20. Proth's Primality Test". Elementary Number Theory and Its Applications (edisi ke-4th). Addison-Wesley. hlm. 342. ISBN 978-0-201-87073-2.
28. Mollin, Richard A. (2002). "A brief history of factoring and primality testing B. C. (before computers)". Mathematics Magazine. 75 (1): 18–29. doi:10.2307/3219180. JSTOR 3219180. MR 2107288.
29. Cooper, S. Barry; Hodges, Andrew (2016). The Once and Future Turing. Cambridge University Press. hlm. 37–38. ISBN 978-1-107-01083-3.
30. Rosen 2000, hal. 245.
31. Beiler, Albert H. (1999) [1966]. Recreations in the Theory of Numbers: The Queen of Mathematics Entertains. Dover. hlm. 2. ISBN 978-0-486-21096-4. OCLC 444171535.
32. Katz, Shaul (2004). "Berlin roots – Zionist incarnation: the ethos of pure mathematics and the beginnings of the Einstein Institute of Mathematics at the Hebrew University of Jerusalem". Science in Context. 17 (1–2): 199–234. doi:10.1017/S0269889704000092. MR 2089305. Parameter |s2cid= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
33. Kraft, James S.; Washington, Lawrence C. (2014). Elementary Number Theory. Textbooks in mathematics. CRC Press. hlm. 7. ISBN 978-1-4987-0269-0.
34. Bauer, Craig P. (2013). Secret History: The Story of Cryptology. Discrete Mathematics and Its Applications. CRC Press. hlm. 468. ISBN 978-1-4665-6186-1.
35. Klee, Victor; Wagon, Stan (1991). Old and New Unsolved Problems in Plane Geometry and Number Theory. Dolciani mathematical expositions. 11. Cambridge University Press. hlm. 224. ISBN 978-0-88385-315-3.
36. Neale 2017, pp. 18, 47.
37. Caldwell, Chris K.; Reddick, Angela; Xiong, Yeng; Keller, Wilfrid (2012). "The history of the primality of one: a selection of sources". Journal of Integer Sequences. 15 (9): Article 12.9.8. MR 3005523. For a selection of quotes from and about the ancient Greek positions on this issue, see in particular pp. 3–4. For the Islamic mathematicians, see p. 6.
38. Tarán, Leonardo (1981). Speusippus of Athens: A Critical Study With a Collection of the Related Texts and Commentary. Philosophia Antiqua : A Series of Monographs on Ancient Philosophy. 39. Brill. hlm. 35–38. ISBN 978-90-04-06505-5.
39. Caldwell et al. 2012, pp. 7–13. See in particular the entries for Stevin, Brancker, Wallis, and Prestet.
40. Caldwell et al. 2012, p. 15.
41. Caldwell, Chris K.; Xiong, Yeng (2012). "What is the smallest prime?" (PDF). Journal of Integer Sequences. 15 (9): Article 12.9.7. MR 3005530.
42. Riesel, Hans (1994). Prime Numbers and Computer Methods for Factorization (edisi ke-2nd). Basel, Switzerland: Birkhäuser. hlm. 36. doi:10.1007/978-1-4612-0251-6. ISBN 978-0-8176-3743-9. MR 1292250.
43. Conway, John Horton; Guy, Richard K. (1996). The Book of Numbers. New York: Copernicus. hlm. 129–130. doi:10.1007/978-1-4612-4072-3. ISBN 978-0-387-97993-9. MR 1411676.
44. For the totient, see Sierpiński 1988, p. 245. For the sum of divisors, see Sandifer, C. Edward (2007). How Euler Did It. MAA Spectrum. Mathematical Association of America. hlm. 59. ISBN 978-0-88385-563-8.
45. Smith, Karl J. (2011). The Nature of Mathematics (edisi ke-12th). Cengage Learning. hlm. 188. ISBN 978-0-538-73758-6.
46. Dudley 1978, Section 2, Theorem 2, p. 16; Neale, Vicky (2017). Closing the Gap: The Quest to Understand Prime Numbers. Oxford University Press. p. 107. ISBN 978-0-19-109243-5.
47. du Sautoy, Marcus (2003). The Music of the Primes: Searching to Solve the Greatest Mystery in Mathematics. Harper Collins. hlm. 23. ISBN 978-0-06-093558-0.
48. Dudley 1978, Section 2, Lemma 5, p. 15; Higgins, Peter M. (1998). Mathematics for the Curious. Oxford University Press. hlm. 77–78. ISBN 978-0-19-150050-3.
49. Rotman, Joseph J. (2000). A First Course in Abstract Algebra (edisi ke-2nd). Prentice Hall. Problem 1.40, p. 56. ISBN 978-0-13-011584-3.
50. Letter in Latin from Goldbach to Euler, July 1730.
51. Furstenberg, Harry (1955). "On the infinitude of primes". American Mathematical Monthly. 62 (5): 353. doi:10.2307/2307043. JSTOR 2307043. MR 0068566.
52. Ribenboim, Paulo (2004). The little book of bigger primes. Berlin; New York: Springer-Verlag. hlm. 4. ISBN 978-0-387-20169-6.
53. Euclid's Elements, Book IX, Proposition 20. See David Joyce's English translation of Euclid's proof or Williamson, James (1782). The Elements of Euclid, With Dissertations. Oxford: Clarendon Press. hlm. 63. OCLC 642232959.
54. Vardi, Ilan (1991). Computational Recreations in Mathematica. Addison-Wesley. hlm. 82–89. ISBN 978-0-201-52989-0.
55. Matiyasevich, Yuri V. (1999). "Formulas for prime numbers". In Tabachnikov, Serge (ed.). Kvant Selecta: Algebra and Analysis. Vol. II. American Mathematical Society. hlm. 13–24. ISBN 978-0-8218-1915-9.
56. Mackinnon, Nick (June 1987). "Prime number formulae". The Mathematical Gazette. 71 (456): 113–114. doi:10.2307/3616496. JSTOR 3616496.
57. Matiyasevich, Yuri V. (1999). "Formulas for prime numbers". Dalam Tabachnikov, Serge. Kvant Selecta: Algebra and Analysis. II. American Mathematical Society. hlm. 13–24. ISBN 978-0-8218-1915-9.
58. Wright, E.M. (1951). "A prime-representing function". American Mathematical Monthly. 58 (9): 616–618. doi:10.2307/2306356. JSTOR 2306356
59. Guy 2013, hlm. vii.
60. Guy 2013, C1 Goldbach's conjecture, hlm. 105–107.
61. Oliveira e Silva, Tomás; Herzog, Siegfried; Pardi, Silvio (2014). "Empirical verification of the even Goldbach conjecture and computation of prime gaps up to ${\displaystyle 4\cdot 10^{18}}$". Mathematics of Computation. 83 (288): 2033–2060. doi:10.1090/S0025-5718-2013-02787-1 . MR 3194140.
62. Tao 2009, 3.1 Structure and randomness in the prime numbers, pp. 239–247. See especially p. 239.
63. Guy 2013, p. 159.
64. Ramaré, Olivier (1995). "On Šnirel'man's constant". Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa. 22 (4): 645–706. MR 1375315. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2022-02-09. Diakses tanggal 2022-03-13.
65. Rassias, Michael Th. (2017). Goldbach's Problem: Selected Topics. Cham: Springer. hlm. vii. doi:10.1007/978-3-319-57914-6. ISBN 978-3-319-57912-2. MR 3674356.
66. Sandifer 2007, Chapter 35, Estimating the Basel problem, pp. 205–208.
67. Ogilvy, C.S.; Anderson, J.T. (1988). Excursions in Number Theory. Dover Publications Inc. hlm. 29–35. ISBN 978-0-486-25778-5.
68. Apostol 1976, Section 1.6, Theorem 1.13
69. Apostol 1976, Section 4.8, Theorem 4.12
70. Miller, Steven J.; Takloo-Bighash, Ramin (2006). An Invitation to Modern Number Theory. Princeton University Press. hlm. 43–44. ISBN 978-0-691-12060-7.
71. Crandall & Pomerance 2005, hlm. 6.
72. Crandall & Pomerance 2005, p. 10.
73. du Sautoy, Marcus (2011). "What are the odds that your telephone number is prime?". The Number Mysteries: A Mathematical Odyssey through Everyday Life. St. Martin's Press. hlm. 50–52. ISBN 978-0-230-12028-0.
74. Apostol 1976, Section 4.6, Theorem 4.7
75. Riesel 1994, "Large gaps between consecutive primes", pp. 78–79.
76. Gelfand, I.M.; Shen, Alexander (2003). Algebra. Springer. hlm. 37. ISBN 978-0-8176-3677-7.
77. Mollin, Richard A. (1997). Fundamental Number Theory with Applications. Discrete Mathematics and Its Applications. CRC Press. hlm. 76. ISBN 978-0-8493-3987-5.
78. Crandall & Pomerance 2005, Theorem 1.1.5, p. 12.
79. Neale 2017, hlm. 18, 47.
80. Green, Ben; Tao, Terence (2008). "The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions". Annals of Mathematics. 167 (2): 481–547. arXiv:math.NT/0404188 . doi:10.4007/annals.2008.167.481. Parameter |s2cid= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
81. (Kraft & Washington 2014), Proposisi 5.3, hal. 96.
82. Shahriari, Shahriar (2017). Algebra in Action: A Course in Groups, Rings, and Fields. Pure and Applied Undergraduate Texts. 27. American Mathematical Society. hlm. 20–21. ISBN 978-1-4704-2849-5.
83. Dudley 1978, Teorema 3, hal. 28.
84. Shahriari 2017, hal. 27–28.
85. Ribenboim 2004, Teorema kecil Fermat dan akar primitif modulo a prima, hal. 17–21.
86. Ribenboim 2004, The property of Giuga, hal. 21–22.
87. Ribenboim 2004, The theorem of Wilson, hal. 21.
88. Childress, Nancy (2009). Class Field Theory. Universitext. Springer, New York. hlm. 8–11. doi:10.1007/978-0-387-72490-4. ISBN 978-0-387-72489-8. MR 2462595. Lihat pula hal. 64.
89. Erickson, Marty; Vazzana, Anthony; Garth, David (2016). Introduction to Number Theory. Textbooks in Mathematics (edisi ke-2nd). Boca Raton, FL: CRC Press. hlm. 200. ISBN 978-1-4987-1749-6. MR 3468748.
90. Weil, André (1995). Basic Number Theory. Classics in Mathematics. Berlin: Springer-Verlag. hlm. 43. ISBN 978-3-540-58655-5. MR 1344916. Namun perhatikan bahwa beberapa penulis seperti (Childress 2009) malah menggunakan "tempat" untuk mengartikan kelas norma yang setara.
91. Koch, H. (1997). Algebraic Number Theory. Berlin: Springer-Verlag. hlm. 136. CiteSeerX 10.1.1.309.8812 . doi:10.1007/978-3-642-58095-6. ISBN 978-3-540-63003-6. MR 1474965.
92. Lauritzen, Niels (2003). Concrete Abstract Algebra: From numbers to Gröbner bases. Cambridge: Cambridge University Press. hlm. 127. doi:10.1017/CBO9780511804229. ISBN 978-0-521-53410-9. MR 2014325.
93. Lauritzen 2003, Corollary 3.5.14, p. 133; Lemma 3.5.18, p. 136.
94. Kraft & Washington 2014, Section 12.1, Sums of two squares, pp. 297–301.
95. Eisenbud, David (1995). Commutative Algebra. Graduate Texts in Mathematics. 150. Berlin; New York: Springer-Verlag. Section 3.3. doi:10.1007/978-1-4612-5350-1. ISBN 978-0-387-94268-1. MR 1322960.
96. Shafarevich, Igor R. (2013). "Definition of ${\displaystyle \operatorname {Spec} A}$". Basic Algebraic Geometry 2: Schemes and Complex Manifolds (edisi ke-3rd). Springer, Heidelberg. hlm. 5. doi:10.1007/978-3-642-38010-5. ISBN 978-3-642-38009-9. MR 3100288.
97. Neukirch, Jürgen (1999). Algebraic Number Theory. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]. 322. Berlin: Springer-Verlag. Section I.8, hal. 50. doi:10.1007/978-3-662-03983-0. ISBN 978-3-540-65399-8. MR 1697859.
98. Neukirch 1999, Bagian I.7, hal. 38
99. Stevenhagen, P.; Lenstra, H.W., Jr. (1996). "Chebotarëv and his density theorem". The Mathematical Intelligencer. 18 (2): 26–37. CiteSeerX 10.1.1.116.9409 . doi:10.1007/BF03027290. MR 1395088. Parameter |s2cid= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
100. Hall, Marshan (2018), The Theory of Groups. Dover Books on Mathematics. Courier Dover Publications. ISBN 978-0-486-81690-6. Untuk teorema Sylow. lihat hlm. 43. Untuk teorema Lagrange, lihat hlm. 12. Untuk teorema Burnside, lihat hlm. 143.

Pranala luar

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Prime number", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
• Caldwell, Chris, The Prime Pages di primes.utm.edu.
• Prime Numbers di In Our Time di BBC.
• Tambahan paket guru dan murid: bilangan prima dari Plus, majalah matematika online gratis yang diproduksi oleh Millennium Mathematics Project di University of Cambridge.

Generator dan kalkulator

• Kalkulator faktor prima bisa memfaktorkan bilangan bulat positif apa pun hingga 20 digit.
• Tes primalitas Online Cepat dengan faktorisasi menggunakan Metode Kurva Elliptik (hingga angka seribu digit, memerlukan Java).
• Basis data bilangan prima terbesar
• Bilangan Prima hingga 1 triliun Diarsipkan 2021-02-27 di Wayback Machine.

Templat:Teori bilangan Templat:Kelas pembagian Templat:Kelas bilangan prima Templat:Kelas bilangan asli