Teori bilangan

Templat:Math topics TOC Teori bilangan (atau aritmetika tinggi dalam penggunaan yang lama) adalah cabang dari matematika murni yang ditujukan terutama untuk mempelajari bilangan bulat dan fungsi bernilai bilangan bulat. Matematikawan asal Jerman Carl Friedrich Gauss (1777–1855) berkata, "Matematika ialah ratu dari ilmu pengetahuan—dan teori bilangan ialah ratu dari matematika."^{[1][note 1]} Ahli teori bilangan mempelajari bilangan prima serta sifat-sifat suatu objek matematika yang terbuat dari bilangan bulat (misalnya, bilangan rasional) atau didefinisikan sebagai generalisasi bilangan bulat (misalnya, bilangan bulat aljabar).

Distribusi bilangan prima adalah titik pusat studi dalam teori bilangan. Spiral Ulam ini berfungsi untuk mengilustrasikannya, mengisyaratkan, khususnya pada kondisional independensi antara menjadi prima dan menjadi nilai polinomial kuadrat tertentu.

Bilangan bulat dapat dianggap baik dalam dirinya atau sebagai solusi persamaan (geometri Diophantine). Pertanyaan dalam teori bilangan seringkali paling baik dipahami melalui studi objek analitik (misalnya, fungsi Riemann zeta) yang menyandikan sifat suatu bilangan bulat, bilangan prima, atau objek teori bilangan lainnya dengan cara tertentu (teori bilangan analitik). Beberapa juga bisa mempelajari bilangan real dalam kaitannya dengan bilangan rasional, misalnya seperti yang mendekati yang terakhir (hampiran Diophantine).

Sejarah

Asal usul

Aritmatika awal

Tablet Plimpton 322

Penemuan sejarah paling awal dari suatu sifat aritmatika adalah fragmen dari tabel: pecahan lempengan tanah liat Plimpton 322 (Larsa, Mesopotamia, kira-kira tahun 1800 SM) berisi daftar "Pythagoras ${\displaystyle (a,b,c)}$ such that ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$. Judul di atas kolom pertama berbunyi: "The takiltum dari diagonal yang telah dikurangi lebar..."^[2][3] bahwa dari rumus yang dibangun melalui jumlah, dalam bahasa modern, identitas

${\displaystyle \left({\frac {1}{2}}\left(x-{\frac {1}{x}}\right)\right)^{2}+1=\left({\frac {1}{2}}\left(x+{\frac {1}{x}}\right)\right)^{2},}$

yang tersirat dalam latihan Babilonia yang sangat rutin.^[4] Bagaimana metode lain bisa menggunakan dengan^[5] pertama kali dibuat dan kemudian disusun ulang oleh ${\displaystyle c/a}$, mungkin untuk penggunaan aktual sebagai "tabel", contohnya, dengan tampilan ke aplikasi.

Tidak diketahui apa aplikasi ini, atau apakah mungkin ada; Astronomi Babilonia, contohnya, baru baru ini benar menjadi pemilik belakangan. Dengan perlu mengalihkan untuk menyarankan bahwa tabel adalah sumber contoh numerik untuk masalah sekolah.^{[6][note 2]}

Sementara teori bilangan Babilonia atau yang bertahan dari matematika Babilonia yang dapat disebut demikian yang terdiri dari fragmen tunggal yang mencolok ini, aljabar Babilonia (dalam pengertian sekolah menengah " berkembang dengan sangat baik.^[7] Sumber-sumber Neoplatonik Akhir^[8] nyatakan bahwa Pythagoras belajar matematika dari Babilonia. Sumber jauh lebih awal^[9] menyatakan bahwa Thales dan Pythagoras bepergian dan belajar di Mesir.

Euclid IX 21 34 sangat mungkin adalah Pythagoras;^[10] itu adalah bahan yang sangat sederhana ("waktu ganjil genap", "jika bilangan ganjil mengukur [= membagi] bilangan genap, maka ia juga mengukur [= membagi] setengahnya"), tetapi hanya itu yang diperlukan untuk membuktikan nilai 2|${\displaystyle {\sqrt {2}}}$]] adalah irasional. ^[11] Mistikus Pythagoras sangat mementingkan ganjil dan genap.^[12] Penemuan tersebut bahwa ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ tidak rasional dikreditkan ke Pythagoras awal (pra Theodorus).^[13] Dengan mengungkapkan (dalam istilah modern) bahwa angka bisa jadi tidak rasional, penemuan ini tampaknya telah memicu krisis mendasar pertama dalam sejarah matematika; bukti atau penyebarluasannya kadang-kadang dikreditkan ke Hippasus, yang dipisahkan dari sekte Pythagoras.^[14] Hal ini dapat memaksa perbedaan antara bilangan (bilangan bulat dan rasional subjek aritmatika), di satu sisi, dan panjang dan proporsi (yang akan kami identifikasi dengan bilangan real, apakah rasional atau tidak), di sisi lain.

Tradisi Pythagoras berbicara juga tentang apa yang disebut poligonal atau angka figur.^[15] Sementara bilangan kuadrat, bilangan kubik, dll., Sekarang dipandang lebih alami daripada bilangan segitiga, bilangan pentagonal, dll. Studi tentang jumlah bilangan segitiga dan pentagonal terbukti bermanfaat pada awal periode modern (abad ke-17 hingga awal abad ke-19).

Kita tidak mengetahui materi aritmatika yang jelas dalam sumber Mesir kuno atau Weda, meskipun ada beberapa aljabar di keduanya. Teorema sisa Bahasa Hanzi muncul sebagai exe di Sunzi Suanjing (abad ke 3, ke 4, atau ke 5 M)^[16] (Ada satu langkah penting yang ditutup-tutupi dalam solusi Sunzi:^{[note 3]} ini adalah masalah yang kemudian dipecahkan oleh Kuṭṭaka Āryabhaṭa lihat di bawah.)

Ada juga beberapa mistisisme numerik dalam matematika Tiongkok,^{[note 4]} tetapi, tidak seperti Pythagoras, tampaknya tidak mengarah ke mana pun. Seperti angka sempurna Pythagoras, persegi ajaib telah berubah dari takhayul menjadi rekreasi.

Yunani Klasik dan periode Helenistik awal

Informasi lebih lanjut: Matematika Yunani kuno

Selain dari beberapa fragmen, matematika Yunani Klasik diketahui oleh kita baik melalui laporan dari non-matematikawan kontemporer atau melalui karya matematika dari teori Helenistik awal.^[17] Dalam kasus teori bilangan, ini berarti, pada umumnya, Plato dan Euklides, masing-masing.

Sementara matematika Asia memengaruhi pembelajaran Yunani dan Helenistik, tampaknya matematika Yunani juga merupakan tradisi pribumi.

Eusebius, PE X, bab 4 menyebutkan Pythagoras:

"Faktanya, Pythagoras tersebut, sambil sibuk mempelajari kebijaksanaan setiap bangsa, mengunjungi Babilonia, dan Mesir, dan semua Persia, atas instruksi dari orang Majus dan para pendeta: dan selain itu dia terkait telah belajar di bawah bimbingan Brahmana (ini adalah filsuf India); dan dari beberapa dia mengumpulkan astrologi, dari geometri lain, dan aritmatika dan musik dari yang lain, dan hal-hal yang berbeda dari negara yang berbeda, dan hanya dari orang-orang bijak Yunani dia tidak mendapatkan apa-apa, menikah seperti mereka dalam kemiskinan dan kelangkaan kebijaksanaan: jadi sebaliknya dia sendiri menjadi penulis instruksi kepada orang-orang Yunani dalam pembelajaran yang dia peroleh dari luar negeri."^[18]

Aristoteles menyatakan bahwa filosofi Plato mengikuti ajaran Pythagoras,^[19] dan Cicero mengulangi klaim ini: Platonem ferunt didicisse Pythagorea omnia ("Mereka mengatakan Plato mempelajari semua hal Pythagoras").^[20]

Plato memiliki minat yang besar pada matematika, dan dengan jelas membedakan antara aritmatika dan perhitungan. (Dengan aritmatika yang dia maksud, sebagian, berteori tentang angka, daripada apa aritmatika.) Melalui salah satu dialog Plato — yaitu, Theaetetus kita tahu bahwa Theodorus telah membuktikan bahwa ${\displaystyle {\sqrt {3}},{\sqrt {5}},\dots ,{\sqrt {17}}}$ tidak rasional. Theaetetus adalah, seperti Plato, murid Theodorus; dia bekerja pada membedakan berbagai jenis tidak dapat dibandingkan, dan dengan demikian bisa dibilang pelopor dalam studi sistem bilangan. (Buku X Elemen Euklides dijelaskan oleh Pappus sebagian besar didasarkan pada karya Theaetetus.)

Euklides mengabdikan bagian dari Elemen nya untuk bilangan prima dan dapat dibagi, topik yang jelas termasuk dalam teori bilangan dan merupakan dasar untuk itu (Buku VII sampai IX Elemen Euclid). Secara khusus, dia memberikan algoritma untuk menghitung pembagi persekutuan terbesar dari dua angka (Algoritma Euklides; Elemen, Prop. VII.2) dan bukti pertama yang diketahui dari tak terhingga.

Diophantus

Halaman judul edisi 1621 Arithmetica Diophantus, diterjemahkan ke dalam Latin oleh Claude Gaspard Bachet de Méziriac.

Sangat sedikit yang diketahui tentang Diophantus dari Alexandria; dia mungkin hidup pada abad ketiga M, yaitu sekitar lima ratus tahun setelah Euclid. Enam dari tiga belas buku Diophantus Aritmatika yunani; empat buku lagi bertahan dalam terjemahan bahasa Arab. The Arithmetica adalah kumpulan masalah yang diselesaikan di mana tugasnya selalu untuk menemukan solusi rasional untuk sistem persamaan polinomial dari ${\displaystyle f(x,y)=z^{2}}$ atau ${\displaystyle f(x,y,z)=w^{2}}$. Jadi, saat ini, kita berbicara tentang persamaan Diophantine ketika kita berbicara tentang persamaan polinomial di mana solusi rasional atau bilangan bulat harus ditemukan.

Āryabhaṭa, Brahmagupta, Bhāskara

Sementara astronomi Yunani mungkin memengaruhi pembelajaran India, hingga memperkenalkan trigonometri,^[21] tampaknya matematika India merupakan tradisi pribumi;^[22] khususnya, tidak ada bukti bahwa Euclid's Elements mencapai India sebelum abad ke-18.^[23]

Āryabhaṭa (476–550 M) menunjukkan bahwa pasangan kongruensi simultan ${\displaystyle n\equiv a_{1}{\bmod {m}}_{1}}$, ${\displaystyle n\equiv a_{2}{\bmod {m}}_{2}}$ bisa diselesaikan dengan metode yang dia panggil kuṭṭaka, atau pulveriser;^[24] ini adalah prosedur yang dekat dengan (generalisasi dari) Algoritma Euklides, yang mungkin ditemukan secara independen di India.^[25] Āryabhaṭa tampaknya ada dalam pikiran aplikasi untuk perhitungan astronomi.^[21]

Brahmagupta (628 M) memulai studi sistematis persamaan kuadrat tak tentu khususnya, Persamaan Pell, di mana Archimedes mungkin pertama kali tertarik, dan yang tidak mulai diselesaikan di Barat sampai masa Fermat dan Euler. Kemudian penulis Sansekerta akan mengikuti, menggunakan terminologi teknis Brahmagupta. Sebuah prosedur umum (chakravala, atau "metode siklik") untuk menyelesaikan persamaan Pell akhirnya ditemukan oleh Jayadeva (dikutip pada abad kesebelas; pekerjaannya akan hilang); eksposisi paling awal yang masih hidup muncul di Bīja-gaṇita (abad kedua belas) Bhāskara II.^[26]

Matematika India sebagian besar tetap tidak dikenal di Eropa sampai akhir abad kedelapan belas;^[27] Karya Brahmagupta dan Bhāskara diterjemahkan ke dalam bahasa Inggris pada tahun 1817 oleh Henry Colebrooke.^[28]

Aritmatika di zaman keemasan Islam

Informasi lebih lanjut: Mathematics in medieval Islam

Pada awal abad kesembilan, khalifah Al-Ma'mun memerintahkan terjemahan banyak karya matematika Yunani dan setidaknya satu karya Sansekerta (Sindhind, yang mungkin ^[29] atau mungkin tidak^[30] jadilah Brahmagupta Brāhmasphuṭasiddhānta). Karya utama Diophantus, Arithmetica, diterjemahkan ke dalam bahasa Arab oleh Qusta ibn Luqa (820–912). Bagian dari risalah al-Fakhri (oleh al-Karajī, 953 - ca. 1029) dibangun di atasnya sampai batas tertentu. Menurut Rashed Roshdi, Al-Karajī sezaman Ibn al-Haytham mengetahui^[31] apa yang kemudian akan disebut Teorema Wilson.

Eropa Barat pada Abad Pertengahan

Selain risalah tentang kotak dalam perkembangan aritmatika oleh Fibonacci - yang melakukan perjalanan dan belajar di Afrika utara dan Konstantinopel — tidak ada teori bilangan yang bisa dibicarakan dilakukan di Eropa barat. Hal-hal mulai berubah di Eropa pada akhir Renaisans, berkat studi baru tentang karya-karya kuno Yunani. Katalis adalah perbaikan tekstual dan terjemahan ke dalam bahasa Latin Diophantus' Arithmetica.^[32]

Teori bilangan modern awal

Fermat

Pierre de Fermat

Pierre de Fermat (1607–1665) tidak pernah menerbitkan tulisannya; Secara khusus, karyanya tentang teori bilangan terkandung hampir seluruhnya dalam surat-surat untuk matematikawan dan catatan pinggir pribadi.^[33] Dalam catatan dan suratnya, dia jarang menulis bukti, bahwa dia tidak punya model di daerah itu.^[34]

Selama hidupnya, Fermat memberikan kontribusi berikut di lapangan:

• Salah satu minat pertama Fermat adalah bilangan sempurna (yang muncul di buku tulisan Euklides, Elements IX) dan nomor yang bersahabat;^{[note 5]} topik ini membawanya untuk bekerja pada integer pembagi s, yang dari awal di antara subyek korespondensi (1636 dan seterusnya) yang membuatnya berhubungan dengan komunitas matematika dari hari ke hari.^[35]
• Pada tahun 1638, Fermat mengklaim, tanpa bukti, bahwa semua bilangan bulat dapat diekspresikan sebagai jumlah dari empat persegi atau kurang.^[36]
• Teorema kecil Fermat (1640):^[37] if a is not divisible by a prime p, then ${\displaystyle a^{p-1}\equiv 1{\bmod {p}}.}$^{[note 6]}
• Bila a dan b adalah coprime, setelah itu ${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$ tidak habis dibagi oleh kongruen prima manapun dengan −1 modulo 4;^[38] dan setiap kongruen prima dengan 1 modulo 4 dapat ditulis dalam bentuk ${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$.^[39] Kedua pernyataan ini juga berasal dari tahun 1640; pada 1659, Fermat menyatakan kepada Huygens bahwa dia telah membuktikan pernyataan terakhir dengan metode keturunan tak terbatas.^[40]
• Pada 1657, Fermat mengajukan masalah pemecahannya ${\displaystyle x^{2}-Ny^{2}=1}$ sebagai tantangan bagi matematikawan Inggris. Masalahnya diselesaikan dalam beberapa bulan oleh Wallis dan Brouncker.^[41] Fermat menganggap solusi mereka valid, tetapi menunjukkan bahwa mereka telah memberikan algoritme tanpa bukti (seperti yang dimiliki Jayadeva dan Bhaskara, meskipun Fermat tidak mengetahui hal ini). Dia menyatakan bahwa bukti dapat ditemukan dengan keturunan yang tak terbatas.
• Fermat dinyatakan dan dibuktikan (dengan keturunan tak terbatas) di lampiran Pengamatan Diophantus (Obs. XLV)^[42] that ${\displaystyle x^{4}+y^{4}=z^{4}}$ tidak memiliki solusi non-sepele dalam bilangan bulat. Fermat juga mengatakan kepada korespondennya itu ${\displaystyle x^{3}+y^{3}=z^{3}}$ tidak memiliki solusi non-sepele, dan ini juga dapat dibuktikan dengan penurunan tak terbatas.^[43] Bukti pertama yang diketahui adalah karena Euler (1753; memang dengan keturunan tak terbatas).^[44]
• Fermat menyatakan ("Teorema terakhir Fermat") telah menunjukkan bahwa tidak ada solusi untuk ${\displaystyle x^{n}+y^{n}=z^{n}}$ for all ${\displaystyle n\geq 3}$; klaim ini muncul dalam penjelasannya di pinggir salinan Diophantus miliknya.

Euler

Leonhard Euler

Ketertarikan Leonhard Euler (1707–1783) pada teori bilangan pertama kali didorong pada tahun 1729, ketika seorang temannya, seorang amatir^{[note 7]} Goldbach, mengarahkannya ke beberapa karya Fermat tentang masalah ini.^[45][46] Ini disebut "kelahiran kembali" dari teori bilangan modern,^[47] setelah Fermat relatif kurang sukses dalam menarik perhatian orang-orang sezamannya untuk subjek tersebut.^[48] Karya Euler tentang teori bilangan meliputi yang berikut ini:^[49]

• Bukti untuk pernyataan Fermat. Ini termasuk teorema kecil Fermat (digeneralisasikan oleh Euler ke modulus non-prima); fakta bahwa ${\displaystyle p=x^{2}+y^{2}}$ jika dan hanya jika ${\displaystyle p\equiv 1{\bmod {4}}}$; pekerjaan awal menuju bukti bahwa setiap bilangan bulat adalah jumlah dari empat kotak (bukti lengkap pertama adalah oleh Joseph-Louis Lagrange (1770), segera diperbaiki oleh Euler sendiri^[50]); kurangnya solusi integer bukan nol ke ${\displaystyle x^{4}+y^{4}=z^{2}}$ (menyiratkan kasus n=4 dari teorema terakhir Fermat, kasus n=3 yang juga dibuktikan oleh Euler dengan metode terkait).
• Persamaan Pell, pertama kali salah diberi nama oleh Euler.^[51] Dia menulis tentang hubungan antara pecahan lanjutan dan persamaan Pell.^[52]
• Langkah pertama menuju teori bilangan analitik. Dalam karyanya tentang penjumlahan empat kotak, partisi, bilangan pentagonal, dan distribusi bilangan prima, Euler memelopori penggunaan apa yang dapat dilihat sebagai analisis (khususnya, deret tak hingga) dalam teori bilangan. Karena dia hidup sebelum pengembangan analisis kompleks, sebagian besar karyanya dibatasi pada manipulasi formal deret pangkat. Dia melakukannya, bagaimanapun, melakukan beberapa pekerjaan awal yang sangat penting (meskipun tidak sepenuhnya ketat) tentang apa yang kemudian akan disebut fungsi Riemann zeta.^[53]
• Bentuk kuadrat. Mengikuti arahan Fermat, Euler melakukan penelitian lebih lanjut tentang pertanyaan bilangan prima mana yang dapat diekspresikan dalam bentuk ${\displaystyle x^{2}+Ny^{2}}$, beberapa di antaranya menggambarkan timbal balik kuadrat.^{[54] [55][56]}
• Persamaan Diophantine. Euler mengerjakan beberapa persamaan Diophantine dari genus 0 dan 1.^[57][58] Secara khusus, dia mempelajari karya Diophantus; dia mencoba untuk mensistematisasikannya, tetapi waktunya belum tepat untuk usaha seperti geometri aljabar yang masih dalam tahap awal.^[59] Dia melihat ada hubungan antara masalah Diophantine dan integral elips,^[59] yang studinya telah dia mulai sendiri.

Lagrange, Legendre, dan Gauss

Carl Friedrich Gauss Disquisitiones Arithmeticae, edisi pertama

Joseph-Louis Lagrange (1736–1813) adalah orang pertama yang memberikan bukti penuh dari beberapa karya dan pengamatan Fermat dan Euler contohnya, teorema empat persegi dan teori dasar dari "persamaan Pell" yang salah nama (yang solusi algoritmiknya ditemukan oleh Fermat dan orang-orang sezamannya, dan juga oleh Jayadeva dan Bhaskara II sebelum mereka.) Dia juga mempelajari bentuk kuadrat secara umum penuh (sebagai lawan ${\displaystyle mX^{2}+nY^{2}}$) mendefinisikan relasi ekivalennya, menunjukkan bagaimana meletakkannya dalam bentuk tereduksi, dll.

Adrien-Marie Legendre (1752–1833) adalah orang pertama yang menyatakan hukum timbal balik kuadrat. Dia juga menebak berapa jumlah teorema bilangan prima dan teorema Dirichlet tentang perkembangan aritmatika. Dia memberikan perlakuan penuh persamaan ${\displaystyle ax^{2}+by^{2}+cz^{2}=0}$^[60] dan mengerjakan bentuk-bentuk kuadrat di sepanjang garis yang kemudian dikembangkan sepenuhnya oleh Gauss.^[61] Di usia tuanya, dia adalah orang pertama yang membuktikan "teorema terakhir Fermat" ${\displaystyle n=5}$ (menyelesaikan pekerjaan oleh Peter Gustav Lejeune Dirichlet, dan memuji dia dan Sophie Germain).^[62]

Carl Friedrich Gauss

Kedewasaan dan pembagian menjadi subbidang

Ernst Kummer

Peter Gustav Lejeune Dirichlet

Mulai awal abad kesembilan belas, perkembangan berikut secara bertahap terjadi:

• Kebangkitan kesadaran diri teori bilangan (atau aritmatika yang lebih tinggi ) sebagai bidang studi.^[63]
• Perkembangan banyak matematika modern yang diperlukan untuk teori bilangan modern dasar: analisis kompleks, teori grup, teori Galois - disertai dengan ketelitian yang lebih besar dalam analisis dan aljaber abstrak.
• Pembagian kasar teori bilangan ke dalam subbidang modernnya — khususnya, analitik dan teori bilangan aljabar.

Teori bilangan aljabar dapat dikatakan dimulai dengan studi timbal balik dan siklotomi, tetapi benar-benar muncul dengan perkembangan aljabar abstrak dan cita-cita awal; Lihat di bawah. Titik awal konvensional untuk teori bilangan analitik adalah Teorema Dirichlet tentang progresi aritmatika (1837),^{[64] [65]} yang buktinya memperkenalkan L-functions dan melibatkan beberapa analisis asimtotik dan proses pembatas pada variabel nyata.

Bagian divisi utama

Teori bilangan dasar

Istilah elemen dasar biasanya menampakkan metode yang bukan menggunakan analisis kompleks. Misalnya, teorema bilangan prima pertama kali dibuktikan menggunakan analisis kompleks pada tahun 1896, tetapi bukti dasar baru ditemukan pada tahun 1949 oleh Erdős dan Selberg.^[66] Istilah ini sedikit ambigu: misal, bukti berdasarkan teorema Tauberian kompleks (misalnya, Wiener–Ikehara) merupakan pencerahan yang tidak cukup mendasar meskipun menggunakan analisis Fourier, dibandingkan analisis kompleks seperti itu. Ini seperti penempatan berbeda, bukti "dasar" mungkin lebih panjang dan lebih sulit bagi sebagian besar pembaca dibanding bukti non-dasar.

Ahli teori bilangan Paul Erdős dan Terence Tao pada tahun 1985, ketika Erdős berusia 72 tahun dan Tao berusia 10 tahun.

Teori bilangan memiliki reputasi sebagai bidang yang banyak hasilnya pula bisa dinyatakan kepada orang awam. Pada saat yang sama, bukti dari hasil ini tidak dapat diakses secara khusus, sebagian karena jangkauan alat yang mereka gunakan, jika ada maka sangat luas dalam matematika.^[67]

Teori bilangan analitik

Artikel utama: Teori bilangan analitik

Fungsi Riemann zeta ζ(s) dalam bidang kompleks. Warna titik s memberikan nilai ζ(s): warna gelap menunjukkan nilai mendekati nol dan rona memberikan nilai argumen.

Aksi daru grup modular pada medan setengah atas. Bagian berwarna abu-abu adalah standar domain dasar.

Teori bilangan analitik bisa didefinisikan:

• Dalam hal beberapa alatnya, sebagai studi tentang bilangan bulat melalui alat dari riil dan analisis kompleks;^[64]
• Dalam hal keprihatinannya, sebagai studi dalam teori bilangan perkiraan ukuran dan kepadatan, sebagai lawan dari identitas.^[68]

Beberapa subjek umumnya menganggap sebagai bagian dari teori bilangan analitik, misalnya, teori tapis,^{[note 8]} lebih baik dicakup oleh definisi kedua dibanding definisi pertama: beberapa teori tapis, misalnya, menggunakan sedikit analisis,^{[note 9]} namun itu dimiliki teori bilangan analitik.

Berikut ini adalah contoh soal dalam teori bilangan analitik: teorema bilangan prima, konjektur Goldbach (atau konjektur bilangan prima kembar, atau konjektur Hardy–Littlewood), masalah Waring dan hipotesis Riemann. Beberapa alat paling penting dari teori bilangan analitik adalah metode lingkaran, metode tapis dan fungsi-L (atau lebih tepatnya, mempelajari beberapa sifatnya). Teori bentuk modular (dan, secara umum, bentuk automorfik) juga menempati bagian yang semakin sentral dalam kotak peralatan teori bilangan analitik.^[69]

Beberapa dapat mengajukan pertanyaan analitik tentang bilangan aljabar, dan menggunakan sarana analitik untuk menjawab pertanyaan semacam itu; dengan demikian teori bilangan aljabar dan analitik irisan. Misalnya, seseorang bisa mendefinisikan ideal prima (generalisasi dari bilangan prima pada medan bilangan aljabar) dan menanyakan berapa banyak ideal prima yang ada hingga ukuran tertentu. Pertanyaan ini bisa dijawab melalui pemeriksaan fungsi zeta Dedekind, yang merupakan generalisasi dari fungsi Riemann zeta, objek analitik kunci pada akar subjek.^[70] Ini adalah contoh prosedur umum dalam teori bilangan analitik: mendapatkan informasi tentang distribusi urutan (ideal prima atau bilangan prima) dari perilaku analitik dari fungsi bernilai kompleks yang dibangun dengan tepat.^[71]

Lihat pula

• Bidang fungsi aljabar
• Bidang terbatas
• Bilangan p-adic

Catatan

1. Catatan asli dari bahasa Jerman: "Die Mathematik ist die Königin der Wissenschaften, und die Arithmetik ist die Königin der Mathematik."
2. Robson 2001, hlm. 201. Hasil kontroversial. Lihat Plimpton 322. Artikel Robson dituliskan dengan polemik (Robson 2001, hlm. 202) dengan maksud ini "memungkinkan [...] dari tabel [Plimpton 322] dari alasnya" (Robson 2001, hlm. 167); pada saat yang sama, ia menyimpulkan bahwa

   [...] pertanyaan "bagaimana tablet dapat dihitung?" tidak harus memiliki jawaban yang sama dengan pertanyaan "masalah apa yang diatur oleh tablet? "Yang pertama dapat dijawab dengan sangat memuaskan oleh pasangan timbal balik, seperti yang disarankan pertama setengah abad yang lalu, dan yang kedua dengan semacam masalah segitiga siku-siku (Robson 2001, hlm. 202).

   Robson mempermasalahkan gagasan bahwa juru tulis yang menghasilkan Plimpton 322 (yang harus "bekerja untuk mencari nafkah", dan tidak akan menjadi bagian dari "kelas menengah yang santai") bisa saja dimotivasi oleh "keingintahuan yang menganggur" sendiri karena tidak adanya "pasar untuk matematika baru".(Robson 2001, hlm. 199–200)
3. Sunzi Suanjing, Ch. 3, Problem 26, in Lam & Ang 2004, hlm. 219–20:

   [26] Sekarang ada sejumlah hal yang tidak diketahui. Kalau dihitung tiga, ada sisa 2; jika kita hitung dengan lima, ada sisa 3; Jika dihitung dengan tujuh, ada sisa 2. temukan sejumlah hal. Jawab : 2;.
   Metode: Kalau kita hitung kelipatan tiga dan ada yang tersisa 2, taruh 140. Kalau kita hitung kelima dan ada sisa 3, turunkan 63. Kalau kita hitung kelipatan tujuh dan ada sisa 2, letakkan 30. Kalau kita hitung tiga dan ada yang tersisa 1, tuliskan 70. Jika kita hitung lima dan ada sisa 1, tulis 21. Bila kita hitung dengan tujuh dan ada sisa 1, turunkan 15. Jika [sebuah angka] melebihi 106, hasilnya diperoleh dengan mengurangkan 105.

4. Lihat, contohnya, Sunzi Suanjing, Ch. 3, Masalah 36, dalam Lam & Ang 2004, hlm. 223–24:

   [36] Sekarang ada seorang ibu hamil berusia 29 tahun. Jika masa kehamilan 9 bulan, tentukan jenis kelamin bayi yang dikandungnya.. Menjawab: Male.
   Metode: Letakkan 49, tambahkan masa gestasi dan kurangi usianya. Dari sisanya ambil 1 mewakili langit, 2 bumi, 3 manusia, 4 empat musim, 5 lima fase, 6 enam pipa pitch, 7 tujuh bintang [Biduk], 8 delapan angin, dan 9 sembilan divisi [Tiongkok di bawah Yu Agung]. Jika sisanya ganjil, [jenis kelamin] adalah laki-laki dan jika sisanya genap, [jenis kelamin] adalah perempuan.

   Hal ini adalah masalah terakhir dalam risalah Sunzi yang sebenarnya tidak berbelit-belit.
5. Jumlah yang sempurna dan terutama yang bersahabat sedikit atau tidak menarik sama sekali saat ini. Hal yang sama tidak berlaku di abad pertengahan — baik di Barat atau di dunia berbahasa Arab — sebagian karena pentingnya yang diberikan oleh Neopythagoras (dan karenanya mistis) Nicomachus (ca. 100 CE), yang menulis "Pengantar Aritmatika" primitif tetapi berpengaruh. Lihat van der Waerden 1961, Ch. IV.
6. Di sini, seperti biasa, diberikan dua bilangan bulat a dan b dan bilangan bulat bukan nol m, kami menulis ${\displaystyle a\equiv b{\bmod {m}}}$ (baca "a kongruen dengan b modulo m") yang berarti m membagi a b, atau, apa artinya sama , a dan b meninggalkan residu yang sama ketika dibagi dengan m. Notasi ini sebenarnya lebih lambat dari Fermat; ini pertama kali muncul di bagian 1 Gauss Disquisitiones Arithmeticae. Teorema kecil Fermat adalah konsekuensi dari fakta bahwa urutan dari suatu elemen kelompok membagi grup. Bukti modern akan berada dalam kemampuan Fermat (dan memang diberikan kemudian oleh Euler), Padahal konsep modern kelompok datang jauh setelah Fermat atau Euler. (Ini membantu untuk mengetahui bahwa invers ada modulo p, yaitu, diberikan a tidak habis dibagi oleh prima p, ada bilangan bulat x sehingga ${\displaystyle xa\equiv 1{\bmod {p}}}$); fakta ini (yang, dalam bahasa modern, membuat residu mod p menjadi satu kelompok, dan yang sudah diketahui Āryabhaṭa; lihat di atas) sudah tidak asing lagi bagi Fermat berkat penemuannya kembali oleh Bachet (Weil 1984, hlm. 7). Weil melanjutkan dengan mengatakan bahwa Fermat akan mengenali bahwa argumen Bachet pada dasarnya adalah algoritma Euklides.
7. Up hingga paruh kedua abad ketujuh belas, posisi akademis sangat langka, dan sebagian besar matematikawan dan ilmuwan mencari nafkah dengan cara lain (Weil 1984, hlm. 159, 161). (Sudah ada beberapa fitur yang dapat dikenali dari praktik profesional, yaitu mencari koresponden, mengunjungi kolega asing, membangun perpustakaan pribadi (Weil 1984, hlm. 160–61). Masalah mulai bergeser pada akhir abad ke-17 (Weil 1984, hlm. 161); akademi ilmiah didirikan di Inggris (Royal Society, 1662) dan Prancis (Académie des sciences, 1666) dan Rusia (1724). Euler ditawari posisi terakhir ini pada tahun 1726; dia menerimanya, tiba di St. Petersburg pada 1727 (Weil 1984, hlm. 163 dan Varadarajan 2006, hlm. 7). Dalam konteks ini, istilah amatir yang biasanya diterapkan pada Goldbach didefinisikan dengan baik dan masuk akal: ia digambarkan sebagai sastrawan yang mencari nafkah sebagai mata-mata. (Truesdell 1984, hlm. xv); cited in Varadarajan 2006, hlm. 9). Perhatikan, bagaimanapun, bahwa Goldbach menerbitkan beberapa karya tentang matematika dan terkadang memegang posisi akademis.
8. Tokoh teori tapis sebagai salah satu bagian bidang utama teori bilangan analitik dalam banyak perlakuan standar; misalnya, Iwaniec & Kowalski 2004 atau Montgomery & Vaughan 2007
9. Ini adalah kasus untuk tapis kecil (khususnya, beberapa tapis kombinatorial seperti tapis Brun) dibanding untuk tapis besar; studi yang terakhir sekarang mencakup gagasan dari harmonik dan analisis fungsional.

Referensi

1. Long 1972, hlm. 1.
2. Neugebauer & Sachs 1945, hlm. 40. Istilah takiltum bermasalah. Robson lebih suka rendering "Kotak penahan diagonal dari mana 1, sehingga sisi pendek muncul...".Robson 2001, hlm. 192
3. Robson 2001, hlm. 189. Sumber lain diberikan degan rumus ${\displaystyle (p^{2}-q^{2},2pq,p^{2}+q^{2})}$. Van der Waerden memberikan rumus masa awal modern dan bentuk yang pilihan oleh Robson.(van der Waerden 1961, hlm. 79)
4. van der Waerden 1961, hlm. 184.
5. Neugebauer (Neugebauer 1969, hlm. 36–40) memerhatikan tabel secara rinci dan menyebutkan secara sepintas dari metode Euklides dalam notasi modern yang(Neugebauer 1969, hlm. 39).
6. Friberg 1981, hlm. 302.
7. van der Waerden 1961, hlm. 43.
8. Iamblichus, Life of Pythagoras, (terjemahan, misalnya, Guthrie 1987) dikutip oleh van der Waerden 1961, hlm. 108. Lihat pula Porphyry, Life of Pythagoras, paragraf 6, di Guthrie 1987 Van der Waerden (van der Waerden 1961, hlm. 87–90) mendukung pandangan bahwa Thales mengetahui matematika Babilonia.
9. Herodotus (II. 81) and Isocrates (Busiris 28), cited in: Huffman 2011. Oleh Thales, lihat Eudemus ap. Proclus, 65.7, (misalnya, Morrow 1992, hlm. 52) dikutip dalam: O'Grady 2004, hlm. 1. Proclus menggunakan karya Eudemus of Rhodes (sekarang hilang), Katalog Geometer. Lihat juga pendahuluan, Morrow 1992, hlm. xxx tentang keandalan Proclus.
10. Becker 1936, hlm. 533, dikutip oleh: van der Waerden 1961, hlm. 108.
11. Becker 1936.
12. van der Waerden 1961, hlm. 109.
13. Plato, Theaetetus, p. 147 B, (sebagai contoh, Jowett 1871), cited in von Fritz 2004, hlm. 212: "Theodorus sedang menulis untuk kita sesuatu tentang akar, seperti akar dari tiga atau lima, menunjukkan bahwa mereka tidak dapat dibandingkan dengan unit;..." Lihat pula Spiral Theodorus.
14. von Fritz 2004.
15. Heath 1921, hlm. 76.
16. Tanggal teks telah dipersempit menjadi 220–420 M (Yan Dunjie) atau 280–473 M (Wang Ling) melalui bukti internal (= sistem perpajakan yang diasumsikan dalam teks). Lihat Lam & Ang 2004, hlm. 27–28.
17. Boyer & Merzbach 1991, hlm. 82.
18. "Eusebius dari Kaisarea: Praeparatio Evangelica (Persiapan untuk Injil). Tr. E.H. Gifford (1903) - Buku 10".
19. Metafisika, 1.6.1 (987a)
20. Tusc. Disput. 1.17.39.
21. Plofker 2008, hlm. 119.
22. Any kontak awal antara matematika Babilonia dan India masih berupa dugaan (Plofker 2008, hlm. 42).
23. Mumford 2010, hlm. 387.
24. Āryabhaṭa, Āryabhatīya, Chapter 2, verses 32–33, cited in: Plofker 2008, hlm. 134–40. See also Clark 1930, hlm. 42–50. Deskripsi kuṭṭaka yang sedikit lebih eksplisit kemudian diberikan di Brahmagupta, Brāhmasphuṭasiddhānta, XVIII, 3–5 (in Colebrooke 1817, hlm. 325, cited in Clark 1930, hlm. 42).
25. Mumford 2010, hlm. 388.
26. Plofker 2008, hlm. 194.
27. Plofker 2008, hlm. 283.
28. Colebrooke 1817.
29. Colebrooke 1817, hlm. lxv, cited in Hopkins 1990, hlm. 302. See also the preface in Sachau 1888 dikutip dalam Smith 1958, hlm. 168
30. Pingree 1968, hlm. 97–125, dan Pingree 1970, hlm. 103–23, dikutip dalam Plofker 2008, hlm. 256.
31. Rashed 1980, hlm. 305–21.
32. Bachet, 1621, mengikuti upaya pertama oleh Xylander, 1575
33. Weil 1984, hlm. 45–46.
34. Weil 1984, hlm. 118. Ini lebih terjadi dalam teori bilangan daripada di bidang lain (komentar dalam Mahoney 1994, hlm. 284). Bukti Bachet sendiri "sangat kikuk" (Weil 1984, hlm. 33).
35. Mahoney 1994, hlm. 48, 53–54. Subjek awal korespondensi Fermat termasuk pembagi ("bagian alikuot") dan banyak subjek di luar teori bilangan; lihat daftar di surat dari Fermat ke Roberval, 22.IX.1636, Tannery & Henry 1891, Vol. II, pp. 72, 74, cited in Mahoney 1994, hlm. 54.
36. Faulkner, Nicholas; Hosch, William L. (2017-12-15). Angka dan Pengukuran (dalam bahasa Inggris). Encyclopaedia Britannica. ISBN 9781538300428.
37. Tannery & Henry 1891, Vol. II, p. 209, Letter XLVI from Fermat to Frenicle, 1640, cited in Weil 1984, hlm. 56
38. Tannery & Henry 1891, Vol. II, p. 204, cited in Weil 1984, hlm. 63. Semua kutipan berikut dari Varia Opera Fermat diambil dari Weil 1984, Chap. II. Karya standar Tannery & Henry mencakup revisi dari karya Fermat Varia Opera Mathematica yang awalnya disiapkan oleh putranya (Fermat 1679).
39. Tannery & Henry 1891, Vol. II, p. 213.
40. Tannery & Henry 1891, Vol. II, p. 423.
41. Weil 1984, hlm. 92.
42. Tannery & Henry 1891, Vol. I, pp. 340–41.
43. Weil 1984, hlm. 115.
44. Weil 1984, hlm. 115–16.
45. Weil 1984, hlm. 2, 172.
46. Varadarajan 2006, hlm. 9.
47. Weil 1984, hlm. 1–2.
48. Weil 1984, hlm. 2 dan Varadarajan 2006, hlm. 37
49. Varadarajan 2006, hlm. 39 and Weil 1984, hlm. 176–89
50. Weil 1984, hlm. 178–79.
51. Weil 1984, hlm. 174. Euler murah hati dalam memberikan penghargaan kepada orang lain (Varadarajan 2006, hlm. 14), tidak selalu benar.
52. Weil 1984, hlm. 183.
53. Varadarajan 2006, hlm. 45–55; see also chapter III.
54. Varadarajan 2006, hlm. 44–47.
55. Weil 1984, hlm. 177–79.
56. Edwards 1983, hlm. 285–91.
57. Varadarajan 2006, hlm. 55–56.
58. Weil 1984, hlm. 179–81.
59. Weil 1984, hlm. 181.
60. Weil 1984, hlm. 327–28.
61. Weil 1984, hlm. 332–34.
62. Weil 1984, hlm. 337–38.
63. Lihat pembahasan di bagian 5 dari Goldstein & Schappacher 2007. Tanda-tanda awal kesadaran diri sudah ada dalam surat-surat oleh Fermat: demikian komentarnya tentang apa itu teori bilangan, dan bagaimana "karya Diophantus [...] tidak benar-benar menjadi milik [it] "(dikutip dalam Weil 1984, hlm. 25).
64. Apostol 1976, hlm. 7.
65. Davenport & Montgomery 2000, hlm. 1.
66. Goldfeld 2003.
67. Lihat, contohnya, di komentar awal Iwaniec & Kowalski 2004, hlm. 1.
68. Granville 2008, section 1: "Perbedaan utamanya adalah bahwa dalam teori bilangan aljabar [...] hanya beberapa biasanya mempertimbangkan pertanyaan dengan jawaban yang diberikan oleh rumus eksak, sedangkan dalam teori bilangan analitik [...] beberapa mencari hampiran baik."
69. Lihat komentar di pengantar Iwaniec & Kowalski 2004, hlm. 1: "Namun jauh lebih kuat ...".
70. Granville 2008, section 3: "[Riemann] mendefinisikan apa yang sekarang kita sebut fungsi Riemann zeta [...] karya mendalam Riemann melahirkan subjek kita [...]"
71. Lihat, contohnya, Montgomery & Vaughan 2007, hal. 1.

Sumber

• Apostol, Tom M. (1976). Introduction to analytic number theory. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer. ISBN 978-0-387-90163-3. Diakses tanggal 2016-02-28.
• Apostol, Tom M. (n.d.). "An Introduction to the Theory of Numbers". (Review of Hardy & Wright.) Mathematical Reviews (MathSciNet). American Mathematical Society. MR 0568909. Diakses tanggal 2016-02-28. (Subscription needed)
• Becker, Oskar (1936). "Die Lehre von Geraden und Ungeraden im neunten Buch der euklidischen Elemente". Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, Astronomie und Physik. Abteilung B:Studien (dalam bahasa German). 3: 533–53.Pemeliharaan CS1: Bahasa yang tidak diketahui (link)
• Boyer, Carl Benjamin; Merzbach, Uta C. (1991) [1968]. A History of Mathematics (edisi ke-2nd). New York: Wiley. ISBN 978-0-471-54397-8. 1968 edition at archive.org
• Clark, Walter Eugene (trans.) (1930). The Āryabhaṭīya of Āryabhaṭa: An ancient Indian work on Mathematics and Astronomy. University of Chicago Press. Diakses tanggal 2016-02-28.
• Colebrooke, Henry Thomas (1817). Algebra, with Arithmetic and Mensuration, from the Sanscrit of Brahmegupta and Bháscara. London: J. Murray. Diakses tanggal 2016-02-28.
• Davenport, Harold; Montgomery, Hugh L. (2000). Multiplicative Number Theory. Graduate texts in mathematics. 74 (edisi ke-revised 3rd). Springer. ISBN 978-0-387-95097-6.
• Edwards, Harold M. (November 1983). "Euler and Quadratic Reciprocity". Mathematics Magazine. 56 (5): 285–91. doi:10.2307/2690368. JSTOR 2690368.
• Edwards, Harold M. (2000) [1977]. Fermat's Last Theorem: a Genetic Introduction to Algebraic Number Theory. Graduate Texts in Mathematics. 50 (edisi ke-reprint of 1977). Springer Verlag. ISBN 978-0-387-95002-0.
• Fermat, Pierre de (1679). Varia Opera Mathematica (dalam bahasa French and Latin). Toulouse: Joannis Pech. Diakses tanggal 2016-02-28.Pemeliharaan CS1: Bahasa yang tidak diketahui (link)
• Friberg, Jöran (August 1981). "Methods and Traditions of Babylonian Mathematics: Plimpton 322, Pythagorean Triples and the Babylonian Triangle Parameter Equations". Historia Mathematica. 8 (3): 277–318. doi:10.1016/0315-0860(81)90069-0 .
• von Fritz, Kurt (2004). "The Discovery of Incommensurability by Hippasus of Metapontum". Dalam Christianidis, J. Classics in the History of Greek Mathematics. Berlin: Kluwer (Springer). ISBN 978-1-4020-0081-2.
• Gauss, Carl Friedrich; Waterhouse, William C. (trans.) (1966) [1801]. Disquisitiones Arithmeticae. Springer. ISBN 978-0-387-96254-2.
• Goldfeld, Dorian M. (2003). "Elementary Proof of the Prime Number Theorem: a Historical Perspective" (PDF). Diakses tanggal 2016-02-28.
• Goldstein, Catherine; Schappacher, Norbert (2007). "A book in search of a discipline". Dalam Goldstein, C.; Schappacher, N.; Schwermer, Joachim. The Shaping of Arithmetic after C.F. Gauss's "Disquisitiones Arithmeticae". Berlin & Heidelberg: Springer. hlm. 3–66. ISBN 978-3-540-20441-1. Diakses tanggal 2016-02-28.
• Granville, Andrew (2008). "Analytic number theory". Dalam Gowers, Timothy; Barrow-Green, June; Leader, Imre. The Princeton Companion to Mathematics. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-11880-2. Diakses tanggal 2016-02-28.
• Porphyry; Guthrie, K.S. (trans.) (1920). Life of Pythagoras. Alpine, New Jersey: Platonist Press.
• Guthrie, Kenneth Sylvan (1987). The Pythagorean Sourcebook and Library. Grand Rapids, Michigan: Phanes Press. ISBN 978-0-933999-51-0.
• Hardy, Godfrey Harold; Wright, E.M. (2008) [1938]. An Introduction to the Theory of Numbers (edisi ke-Sixth). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-921986-5. MR 2445243.
• Heath, Thomas L. (1921). A History of Greek Mathematics, Volume 1: From Thales to Euclid. Oxford: Clarendon Press. Diakses tanggal 2016-02-28.
• Hopkins, J.F.P. (1990). "Geographical and Navigational Literature". Dalam Young, M.J.L.; Latham, J.D.; Serjeant, R.B. Religion, Learning and Science in the 'Abbasid Period. The Cambridge history of Arabic literature. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-32763-3.
• Huffman, Carl A. (8 August 2011). Zalta, Edward N., ed. "Pythagoras". Stanford Encyclopaedia of Philosophy (edisi ke-Fall 2011). Diakses tanggal 7 February 2012.
• Iwaniec, Henryk; Kowalski, Emmanuel (2004). Analytic Number Theory. American Mathematical Society Colloquium Publications. 53. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-3633-0.
• Plato; Jowett, Benjamin (trans.) (1871). Theaetetus.
• Lam, Lay Yong; Ang, Tian Se (2004). Fleeting Footsteps: Tracing the Conception of Arithmetic and Algebra in Ancient China (edisi ke-revised). Singapore: World Scientific. ISBN 978-981-238-696-0. Diakses tanggal 2016-02-28.
• Long, Calvin T. (1972). Elementary Introduction to Number Theory (edisi ke-2nd). Lexington, VA: D.C. Heath and Company. LCCN 77171950.
• Mahoney, M.S. (1994). The Mathematical Career of Pierre de Fermat, 1601–1665 (edisi ke-Reprint, 2nd). Princeton University Press. ISBN 978-0-691-03666-3. Diakses tanggal 2016-02-28.
• Milne, J. S. (18 March 2017). "Algebraic Number Theory". Diakses tanggal 7 April 2020.
• Montgomery, Hugh L.; Vaughan, Robert C. (2007). Multiplicative Number Theory: I, Classical Theory. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-84903-6. Diakses tanggal 2016-02-28.
• Morrow, Glenn Raymond (trans., ed.); Proclus (1992). A Commentary on Book 1 of Euclid's Elements. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-02090-7.
• Mumford, David (March 2010). "Mathematics in India: reviewed by David Mumford" (PDF). Notices of the American Mathematical Society. 57 (3): 387. ISSN 1088-9477.
• Neugebauer, Otto E. (1969). The Exact Sciences in Antiquity (edisi ke-corrected reprint of the 1957). New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-22332-2. Diakses tanggal 2016-03-02.
• Neugebauer, Otto E.; Sachs, Abraham Joseph; Götze, Albrecht (1945). Mathematical Cuneiform Texts. American Oriental Series. 29. American Oriental Society etc.
• O'Grady, Patricia (September 2004). "Thales of Miletus". The Internet Encyclopaedia of Philosophy. Diakses tanggal 7 February 2012.
• Pingree, David; Ya'qub, ibn Tariq (1968). "The Fragments of the Works of Ya'qub ibn Tariq". Journal of Near Eastern Studies. 26.
• Pingree, D.; al-Fazari (1970). "The Fragments of the Works of al-Fazari". Journal of Near Eastern Studies. 28.
• Plofker, Kim (2008). Mathematics in India. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-12067-6.
• Qian, Baocong, ed. (1963). Suanjing shi shu (Ten Mathematical Classics) (dalam bahasa Chinese). Beijing: Zhonghua shuju. Diakses tanggal 2016-02-28.Pemeliharaan CS1: Bahasa yang tidak diketahui (link)
• Rashed, Roshdi (1980). "Ibn al-Haytham et le théorème de Wilson". Archive for History of Exact Sciences. 22 (4): 305–21. doi:10.1007/BF00717654.
• Robson, Eleanor (2001). "Neither Sherlock Holmes nor Babylon: a Reassessment of Plimpton 322" (PDF). Historia Mathematica. 28 (3): 167–206. doi:10.1006/hmat.2001.2317. Diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 2014-10-21.
• Sachau, Eduard; Bīrūni, ̄Muḥammad ibn Aḥmad (1888). Alberuni's India: An Account of the Religion, Philosophy, Literature, Geography, Chronology, Astronomy and Astrology of India, Vol. 1. London: Kegan, Paul, Trench, Trübner & Co. Diakses tanggal 2016-02-28.
• Serre, Jean-Pierre (1996) [1973]. A Course in Arithmetic. Graduate texts in mathematics. 7. Springer. ISBN 978-0-387-90040-7.
• Smith, D.E. (1958). History of Mathematics, Vol I. New York: Dover Publications.
• Tannery, Paul; Henry, Charles (eds.); Fermat, Pierre de (1891). Oeuvres de Fermat. (4 Vols.) (dalam bahasa French and Latin). Paris: Imprimerie Gauthier-Villars et Fils.Pemeliharaan CS1: Teks tambahan: authors list (link) Pemeliharaan CS1: Bahasa yang tidak diketahui (link) Volume 1 Volume 2 Volume 3 Volume 4 (1912)
• Iamblichus; Taylor, Thomas (trans.) (1818). Life of Pythagoras or, Pythagoric Life. London: J.M. Watkins. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2011-07-21. Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan) For other editions, see Iamblichus#List of editions and translations
• Truesdell, C.A. (1984). "Leonard Euler, Supreme Geometer". Dalam Hewlett, John (trans.). Leonard Euler, Elements of Algebra (edisi ke-reprint of 1840 5th). New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-96014-2. This Google books preview of Elements of algebra lacks Truesdell's intro, which is reprinted (slightly abridged) in the following book:
• Truesdell, C.A. (2007). "Leonard Euler, Supreme Geometer". Dalam Dunham, William. The Genius of Euler: reflections on his life and work. Volume 2 of MAA tercentenary Euler celebration. New York: Mathematical Association of America. ISBN 978-0-88385-558-4. Diakses tanggal 2016-02-28.
• Varadarajan, V.S. (2006). Euler Through Time: A New Look at Old Themes. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-3580-7. Diakses tanggal 2016-02-28.
• Vardi, Ilan (April 1998). "Archimedes' Cattle Problem" (PDF). American Mathematical Monthly. 105 (4): 305–19. CiteSeerX 10.1.1.383.545 . doi:10.2307/2589706. JSTOR 2589706.
• van der Waerden, Bartel L.; Dresden, Arnold (trans) (1961). Science Awakening. Vol. 1 or Vol 2. New York: Oxford University Press.
• Weil, André (1984). Number Theory: an Approach Through History – from Hammurapi to Legendre. Boston: Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-3141-3. Diakses tanggal 2016-02-28.

• Artikel ini memuat teks dari artikel "Teori bilangan" dalam Citizendium, yang berlisensi di bawah Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa 3.0 tetapi tidak di bawah GFDL.

Pranala luar

• Media tentang Number theory di Wikimedia Commons
• Number Theory entry in the Encyclopedia of Mathematics
• Number Theory Web

Templat:Teori bilangan

Templat:Ilmu Komputer