Semigrup

Dalam matematika, semigrup adalah struktur aljabar yang terdiri dari himpunan dengan asosiatif operasi biner.

Sifat asosiatif dari penggabungan string.

Struktur aljabar antara magma dan grup: Semigrup adalah magma dengan asosiatif. Monoid adalah semigrup dengan elemen identitas.

Operasi biner semigroup paling sering dilambangkan perkalian: x·y, atau xy, menunjukkan hasil operasi semigrup ke pasangan terurut (x, y). Asosiatif secara formal diungkapkan (x·y)·z = x·(y·z) untuk semua x, y dan z diantara semigrup.

Semigrup sebagai kasus khusus magma, dimana operasi asosiatif, atau sebagai generalisasi grup, tanpa elemen identitas atau invers.^{[catatan 1]} Dalam kasus grup atau magma, operasi semigrup non-komutatif, jadi x·y tidak harus sama dengan y·x; contoh yang terkenal dari operasi asosiatif tetapi non-komutatif adalah perkalian matriks. Jika operasi semigrup bersifat komutatif, maka semigrup disebut semigrup komutatif atau (lebih jarang disebut kasus analogi grup) ini bisa disebut semigrup abelian.

Monoid adalah struktur aljabar antara grup dan semigrup, dan merupakan semigrup yang memiliki elemen identitas, dengan demikian mematuhi semua kecuali satu aksioma grup; keberadaan invers tidak diperlukan dari sebuah monoid. Contoh alami adalah tali dengan penggabungan sebagai operasi biner, dan string kosong sebagai elemen identitas. Membatasi ke tali tidak kosong memberikan contoh grup semigrup yang bukan monoid. Bilangan bulat positif dengan penjumlahan membentuk semigrup komutatif yang bukan monoid, sedangkan bilangan bulat non-negatif membentuk monoid. Semigrup tanpa elemen identitas dapat dengan diubah menjadi monoid dengan menambahkan elemen identitas. Maka, monoid dipelajari dalam teori semigrup dari teori grup. Semigrup tidak sama dengan grup semu, yang merupakan generalisasi grup ke arah yang berbeda; operasi dalam grup semu tidak menggunakan asosiatif tetapi grup semu dari grup gagasan pembagian. Pembagian dalam semigrup (atau dalam monoid) tidak dimungkinkan secara umum.

Studi formal semigrup dimulai pada awal abad ke-20. Hasil awal termasuk teorema Cayley untuk semigrup sebagai transformasi semigrup, dimana fungsi arbitrer menggantikan peran bias dari teori grup. Hasil yang dalam dalam klasifikasi semigrup hingga adalah teori Krohn–Rhodes, analog dengan dekomposisi Jordan–Hölder untuk grup hingga. Beberapa teknik lain untuk mempelajari semigrup, seperti Relasi Green, tidak menyerupai dalam teori grup.

Teori semigrup hingga menjadi sangat penting dalam ilmu komputer teoretis sejak tahun 1950-an karena relasi alami antara semigrup hingga dan automata hingga melalui monoid sintaktik. Dalam teori probabilitas, semigrup dikaitkan dengan proses Markov.^[1] Di bidang lain matematika terapan, semigrup adalah model fundamental untuk sistem invarian waktu linear. Dalam persamaan diferensial parsial, semigrup dikaitkan dengan setiap persamaan yang evolusi spasialnya tidak bergantung pada waktu.

Terdapat kelas khusus dari semigrup, semigrup dengan difat tambahan, yang muncul dalam aplikasi tertentu. Beberapa dari kelas ini bahkan lebih dekat ke grup dengan beberapa sifat tambahan tetapi tidak semua dari grup. Dari jumlah tersebut menyebutkan: semigrup biasa, semigrup ortodoks, semigrup dengan involusi, semigrup invers dan semigrup pembatal. Ada pula kelas dari semigrup yang tidak menggunakan grup kecuali grup trivial; contoh dari jenis yang terakhir adalah pita dan subkelas komutatifnya semikisi, lihat pula struktur aljabar terurut.

Struktur aljabar
Sejenis grup Grup Semigrup / Monoid Rak dan ganjal Grup semu dan gelung Grup abelian Magma Grup Lie Teori grup
Sejenis gelanggang Gelanggang Semigelanggang Gelanggang dekat Gelanggang komutatif Ranah integral Medan Gelanggang pembagian Teori gelanggang
Sejenis kekisi Kekisi Semikekisi Kekisi dikomplemenkan Urutan total Aljabar Heyting Aljabar boolean Peta kekisi Teori kekisi
Sejenis modul Modul Grup dengan operator Ruang vektor Aljabar linear
Sejenis aljabar Aljabar Asosiatif Non-asosiatif Aljabar komposisi Aljabar Lie Bertingkat Bialjabar
l b s

Definisi

Semigrup adalah himpunan ${\displaystyle S}$ dengan operasi biner "${\displaystyle \cdot }$" (yaitu, fungsi ${\displaystyle \cdot :S\times S\rightarrow S}$) yang menggunakan sifat asosiatif:

Untuk ${\displaystyle a,b,c\in S}$, persamaan ${\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$.

Lebih singkatnya, semigrup adalah asosiatif magma.

Contoh semigrup

• Semigrup kosong: himpunan kosong membentuk semigroup dengan fungsi kosong sebagai operasi biner.
• Semigrup dengan satu elemen: pada dasarnya hanya ada satu (khususnya, satu hingga isomorfisme), singleton { a } dengan operasi a · a = a.
• Semigrup dengan dua elemen: lima yang pada dasarnya berbeda.
• Monoid "flip-flop": semigrup dengan tiga elemen mewakili tiga operasi pada sakelar setel, dan reset.
• Himpunan bilangan bulat positif dengan penjumlahan. (Dengan 0 disertakan, menjadi monoid.)
• Himpunan bilangan bulat dengan minimum atau maksimum. (Dengan infinity positif/negatif disertakan, ini menjadi monoid.)
• Persegi matriks non-negatif dengan ukuran tertentu dengan perkalian matriks.
• Semua ideal dari gelanggang dengan perkalian gelanggang.
• Himpunan hingga string di atas alfabet tetap Σ dengan rangkaian pita sebagai operasi semigrup, yang disebut "semigrup bebas lebih dari Σ". Dengan string kosong disertakan, semigrup ini menjadi monoid bebas di atas Σ.
• distribusi probabilitas F dengan semua pangkat konvolusi dari F, dengan operasi konvolusi. Disebut semigrup konvolusi.
• Transformasi semigrup dan monoid.
• Himpunan fungsi kontinu dari suatu ruang topologi ke komposisi fungsi membentuk sebuah monoid dengan fungsi identitas bertindak sebagai identitas. Lebih umum lagi, endomorfisme dari setiap objek dari kategori membentuk sebuah monoid dalam komposisi.

Konsep dasar

Identitas dan nol

Identitas kiri dari semigroup ${\displaystyle S}$ (atau lebih umum lagi, magma) adalah elemen ${\displaystyle e}$ sedemikian rupa sehingga untuk semua ${\displaystyle x}$ pada ${\displaystyle S}$, ${\displaystyle ex=x}$. Demikian pula, identitas kanan adalah elemen ${\displaystyle f}$ sedemikian rupa sehingga untuk semua ${\displaystyle x}$ pada ${\displaystyle S}$, ${\displaystyle xf=x}$. Identitas kiri dan kanan sama-sama disebut identitas sepihak. Semigrup memiliki satu atau lebih identitas kiri tetapi tidak memiliki identitas kanan, dan sebaliknya.

Identitas dua sisi (atau identitas) adalah elemen yang merupakan identitas kiri dan kanan. Semigrup dengan identitas dua sisi disebut monoid. Semigrup memiliki lebih dari satu identitas dua sisi. Dari sebuah semigrup yang memiliki identitas dua sisi, maka identitas dua sisi merupakan satu-satunya identitas satu sisi pada semigrup tersebut. Jika semigrup memiliki identitas kiri dan kanan, maka ia memiliki identitas dua sisi (yang karenanya merupakan identitas satu sisi).

Semigrup ${\displaystyle S}$ tanpa identitas embedded dalam sebuah monoid yang dibentuk dengan menyatukan elemen ${\displaystyle e\notin S}$ ke ${\displaystyle S}$ dan mendefinisikan ${\displaystyle e\cdot s=s\cdot e=s}$ untuk ${\displaystyle s\in S\cup \{e\}}$.^[2][3] Notasi ${\displaystyle S^{1}}$ menunjukkan monoid yang digunakan dari ${\displaystyle S}$ dengan menggabungkan identitas jika perlu (untuk monoid ${\displaystyle S^{1}=S}$).^[3]

Demikian pula, setiap magma memiliki paling banyak satu elemen penyerap, yang dalam teori semigrup disebut nol. Dengan konstruksi di atas, untuk setiap semigrup ${\displaystyle S}$, kita dapat mendefinisikan ${\displaystyle S^{0}}$, sebuah semigrup dengan 0 yang menyematkan ${\displaystyle S}$.

Subsemigrup dan ideal

Operasi semigrup menginduksi operasi pada himpunan bagian: diberikan himpunan bagian A dan B dari semigrup S, produk A · B, ditulis secara umum sebagai AB, adalah himpunan { ab | a pada A dan b pada B }. (Gagasan ini didefinisikan secara identik sebagai untuk grup) Dalam hal operasi ini, himpunan bagian A disebut

• subsemigrup jika AA adalah bagian dari A,
• ideal kanan jika AS adalah himpunan bagian dari A, dan
• ideal kiri jika SA adalah himpunan bagian dari A.

Jika A adalah ideal kiri dan ideal kanan maka itu disebut ideal (atau ideal dua sisi).

Jika S adalah setengah grup, maka perpotongan dari kumpulan sub-grup dari S merupakan sub-grup dari S. Jadi sub-grup dari S membentuk kisi lengkap.

Contoh dari semigrup tanpa minimal ideal adalah himpunan bilangan bulat positif yang ditambahkan. Ideal minimal dari semigrup komutatif.

Relasi Green, himpunan lima relasi ekuivalen yang mencirikan elemen dalam istilah prinsip ideal yang mereka hasilkan, adalah alat penting untuk menganalisis ideal semigrup dan gagasan terkait tentang struktur.

Himpunan bagian dengan sifat elemen selang-seling dengan elemen lain dari semigrup disebut pusat dari semigrup.^[4] The center of a semigroup is actually a subsemigroup.^[5]

Homomorfisme dan kongruensi

Semigrup homomorfisme adalah fungsi yang mempertahankan struktur semigrup. Sebuah fungsi f: S → T antara dua grup semigrup adalah homomorfisme jika persamaan

f(ab) = f(a)f(b). Untuk semua elemen a, b dalam S, yaitu hasilnya sama saat melakukan operasi semigrup setelah atau sebelum menerapkan peta f.

Homomorfisme semigrup antara monoid identitas jika itu adalah homomorfisme monoid. Tetapi ada homomorfisme semigrup yang bukan homomorfisme monoid, misal penyematan kanonik dari semigrup ${\displaystyle S}$ tanpa identitas ke dalam ${\displaystyle S^{1}}$. Kondisi yang mencirikan homomorfisme monoid dibahas lebih lanjut. Misalkan ${\displaystyle f:S_{0}\to S_{1}}$ menjadi homomorfisme semigrup. Citra ${\displaystyle f}$ merupakan semigrup. Jika ${\displaystyle S_{0}}$ adalah monoid dengan elemen identitas ${\displaystyle e_{0}}$, maka ${\displaystyle f(e_{0})}$ adalah elemen identitas dalam gambar ${\displaystyle f}$. Jika ${\displaystyle S_{1}}$ juga merupakan monoid dengan elemen identitas ${\displaystyle e_{1}}$ dan ${\displaystyle e_{1}}$ dari citra ${\displaystyle f}$, maka ${\displaystyle f(e_{0})=e_{1}}$, yaitu ${\displaystyle f}$ adalah homomorfisme monoid. Khususnya, jika ${\displaystyle f}$ adalah sujektif, maka itu adalah homomorfisme monoid.

Dua semigrup S dan T dikatakan isomorfis jika bijeksi f : S ↔ T dengan sifat tersebut, untuk setiap elemen a, b dalam S, f(ab) = f(a)f(b). Semigrup isomorfik memiliki struktur yang sama.

Kesesuaian semigrup ${\displaystyle \sim }$ adalah relasi ekuivalen yang kompatibel dengan operasi semigroup. Yaitu, bagian himpunan ${\displaystyle \sim \;\subseteq S\times S}$ adalah relasi ekuivalen dan ${\displaystyle x\sim y\,}$ dan ${\displaystyle u\sim v\,}$ menyiratkan ${\displaystyle xu\sim yv\,}$ untuk setiap ${\displaystyle x,y,u,v}$ dalam S. Seperti relasi ekuivalen, kongruensi semigrup ${\displaystyle \sim }$ dari induksi kelas kongruensi

${\displaystyle [a]_{\sim }=\{x\in S\vert \;x\sim a\}}$

dan operasi semigrup dari induksi operasi biner ${\displaystyle \circ }$ pada kelas kongruensi:

${\displaystyle [u]_{\sim }\circ [v]_{\sim }=[uv]_{\sim }}$

Struktur semigrup

Untuk setiap himpunan bagian A dari S ada himpunan bagian terkecil T dari S yang digunakan A, dan A menghasilkan T. Sebuah elemen x dari S menghasilkan sub-grup { xⁿ | n ∈ Z⁺ }. Maka x dikatakan dari urutan hingga atau urutan tak hingga. Semigrup dikatakan periodik jika semua elemennya berurutan. Semigrup yang dihasilkan oleh satu elemen disebut sebagai monogenik (atau siklik). Jika semigrup monogenik tak hingga maka isomorfik ke semigrup positif bilangan bulat dengan operasi penjumlahan. Jika hingga dan tidak kosong, maka setidaknya satu idempoten. Oleh karena itu, setiap semigrup periodik tidak kosong memiliki setidaknya satu idempoten.

Sebuah subgrup yang merupakan grup disebut subgrup. Ada relasi antara subgrup dari sebuah semigrup dan idempoten. Setiap subgrup tepat satu idempoten, yaitu elemen identitas subgrup. Untuk setiap idempoten e dari semigrup dengan subgrup maksimal unik yang berisi e. Setiap subgrup muncul dengan cara tersebut, jadi, jika terdapat korespondensi satu-ke-satu antara idempotensi dan subkelompok maksimal. Di sini istilah subgrup maksimal berbeda dari penggunaan standarnya dalam teori grup.

Lebih dikatakan ketika order hingga. Misalnya, setiap semigroup terbatas tidak kosong adalah periodik, dan memiliki minimal ideal dan setidaknya satu idempoten. Jumlah semigrup hingga ukuran tertentu (lebih dari 1) (jelas) lebih besar dari jumlah grup dengan ukuran yang sama. Misalnya, dari enam belas kemungkinan "tabel perkalian" untuk satu himpunan dua elemen {a, b}, delapan bentuk semigrup^{[catatan 2]} sedangkan hanya empat di antaranya adalah monoid dan hanya dua grup bentuk. Untuk mengetahui lebih lanjut tentang struktur semigroup hingga, lihat pula Teori Krohn–Rhodes.

Metode semigrup dalam persamaan diferensial parsial

Informasi lebih lanjut: Semigrup-C0

Teori semigrup dapat digunakan untuk mempelajari beberapa masalah di bidang persamaan diferensial parsial. Secara khusus, pendekatan semigrup adalah menganggap persamaan diferensial parsial dependen-waktu sebagai persamaan diferensial biasa pada ruang fungsi Misalnya, pertimbangkan masalah nilai awal / batas berikut untuk persamaan panas pada spasial interval (0, 1) ⊂ R dan t ≥ 0:

${\displaystyle {\begin{cases}\partial _{t}u(t,x)=\partial _{x}^{2}u(t,x),&x\in (0,1),t>0;\\u(t,x)=0,&x\in \{0,1\},t>0;\\u(t,x)=u_{0}(x),&x\in (0,1),t=0.\end{cases}}}$

Maka X = L²((0, 1) R) menjadi ruang-L^p dari fungsi bilangan riil diintegrasikan sebagai persegi dengan domain interval (0, 1) dan misalkan A menjadi operator turunan kedua dengan domain

${\displaystyle D(A)={\big \{}u\in H^{2}((0,1);\mathbf {R} ){\big |}u(0)=u(1)=0{\big \}},}$

dengan H² adalah ruang Sobolev. Maka masalah nilai awal / batas di atas dapat diartikan sebagai masalah nilai awal untuk persamaan diferensial biasa pada ruang X:

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {u}}(t)=Au(t);\\u(0)=u_{0}.\end{cases}}}$

Pada tingkat heuristik, solusi untuk masalah ini "seharusnya" ada u(t) = exp(tA)u₀. Namun, untuk perlakuan yang ketat, makna harus diberikan pada eksponensial dari tA. Sebagai fungsi dari t, exp(tA) adalah semigrup operator dari X ke dirinya sendiri, mengambil u₀ pada menit t = 0 ke bagian u(t) = exp(tA)u₀ pada waktu t. Operator A dikatakan sebagai infinitesimal generator dari semigrup.

Sejarah

Studi tentang semigroup mengikuti di belakang struktur aljabar lainnya dengan aksioma yang lebih kompleks seperti grup atau gelanggang. Sejumlah sumber^[6][7] atribut penggunaan pertama istilah (dalam bahasa Prancis) untuk J.-A. de Séguier dalam bahasa Prancis: Élements de la Théorie des Groupes Abstraits (Elemen Teori Grup Abstrak) pada tahun 1904. Istilah ini digunakan dalam bahasa Inggris pada tahun 1908 dalam Theory of Groups of Finite Order karya Harold Hinton.

Anton Sushkevich memperoleh hasil non-sepele pertama tentang semigroup. Makalahnya tahun 1928 "Über die endlichen Gruppen ohne das Gesetz der eindeutigen Umkehrbarkeit" ("Pada grup berhingga tanpa aturan pembalikan unik") ditentukan struktur semigroup sederhana terbatas dan menunjukkan bahwa ideal minimal (atau Hubungan Green J-class) dari semigroup hingga sederhana.^[7] Sejak saat itu, dasar-dasar teori semigroup selanjutnya diletakkan oleh David Rees, James Alexander Green, Evgenii Sergeevich Lyapin, Alfred H. Clifford dan Gordon Preston. Dua yang terakhir menerbitkan monograf dua jilid tentang teori semigroup masing-masing pada tahun 1961 dan 1967. Pada tahun 1970, terbitan berkala baru yang disebut Semigroup Forum (saat ini diedit oleh Springer Verlag) menjadi salah satu dari sedikit jurnal matematika yang sepenuhnya membahas teori semigroup.

Teori representasi dari semigroup dikembangkan pada tahun 1963 oleh Boris Schein menggunakan relasi biner pada himpunan A dan komposisi relasi untuk produk semigrup.^[8] Pada konferensi aljabar pada tahun 1972 Schein mensurvei literatur tentang B_A, semigroup relasi pada A .^[9] Pada tahun 1997 Schein dan Ralph McKenzie membuktikan bahwa setiap semigroup isomorfik ke semigroup transitif dari hubungan biner.^[10]

Dalam beberapa tahun terakhir, para peneliti di lapangan telah menjadi lebih terspesialisasi dengan monograf khusus yang muncul di kelas penting semigrup, seperti inverse semigroup, serta monograf yang berfokus pada aplikasi di teori automata aljabar, khususnya untuk automata terbatas, dan juga dalam analisis fungsional.

Generalisasi

Struktur grup
	Totalitasα	Asosiatif	Identitas	Invers	Komutativitas
Semigrupoid	Tidak dibutuhkan	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Tidak dibutuhkan
Kategori Kecil	Tidak dibutuhkan	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Tidak dibutuhkan
Grupoid	Tidak dibutuhkan	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan
Magma	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Tidak dibutuhkan
Kuasigrup	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan
Magma Unital	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Tidak dibutuhkan
Loop	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan
Semigrup	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Tidak dibutuhkan
Semigrup invers	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan
Monoid	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Tidak dibutuhkan
Monoid komutatif	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Dibutuhkan
Grup	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan
Grup Abelian	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Dibutuhkan
^α Penutupan, yang digunakan dalam banyak sumber, merupakan aksioma yang setara dengan totalitas, meskipun didefinisikan secara berbeda.

Jika aksioma asosiatif dari semigroup dijatuhkan, hasilnya adalah magma, yang tidak lebih dari satu set M yang dilengkapi dengan operasi biner yang tertutup M × M → M.

Menggeneralisasi ke arah yang berbeda, n-ari semigrup (juga n-semigrup, semigrup poliadic atau multiary semigroup) adalah generalisasi dari semigroup ke himpunan G dengan n - operasi ary daripada operasi biner.^[11] Hukum asosiatif digeneralisasikan sebagai berikut: asosiatif terner adalah (abc)de = a(bcd)e = ab(cde), yaitu string abcde dengan tiga elemen yang berdekatan dalam tanda kurung. N - asosiatif ary adalah string panjang n + (n − 1) dengan setiap elemen n yang berdekatan dalam tanda kurung. Sebuah semigroup 2-ary hanyalah sebuah semigroup. Aksioma selanjutnya mengarah ke n - grup ary.

Generalisasi ketiga adalah semigroupoid, di mana persyaratan bahwa relasi biner menjadi total diangkat. Karena kategori menggeneralisasi monoid dengan cara yang sama, semigroupoid berperilaku seperti kategori tetapi tidak memiliki identitas.

Generalisasi infiniter dari semigroup komutatif kadang-kadang telah dipertimbangkan oleh berbagai penulis.^[12]

Lihat pula

• Elemen penyerap
• Himpunan Biordered
• Grup setengah kosong
• Pembalikan umum
• Elemen identitas
• Uji asosiatif Cahaya
• Semigroup dinamis kuantum
• Gelanggang semigrup
• Pembalikan lemah

Catatan

1. Aksioma penutupan oleh definisi operasi biner pada himpunan. Beberapa penulis dengan demikian menghilangkannya dan menentukan tiga aksioma untuk grup dan hanya satu aksioma (asosiativitas) untuk semigrup.
2. Yaitu: semigrup trivial di mana (untuk x dan y ) xy = a dan di mana xy = b, semigrup berdasarkan perkalian modulo 2 (memilih a atau b sebagai elemen identitas 1), grup dengan ekuivalen penjumlahan modulo 2 (memilih a atau b sebagai elemen identitas 0), dan semigroup dimana elemen-elemennya merupakan identitas kiri atau keduanya identitas kanan.

Kutipan

1. (Feller 1971)
2. Jacobson 2009, hlm. 30, ex. 5
3. Lawson 1998, p. 20
4. Kilp, Mati; Knauer, U.; Mikhalev, Aleksandr V. (2000). Monoids, Acts, and Categories: With Applications to Wreath Products and Graphs : a Handbook for Students and Researchers. Walter de Gruyter. hlm. 25. ISBN 978-3-11-015248-7. Zbl 0945.20036.
5. Li͡apin, E. S. (1968). Semigroups. American Mathematical Soc. hlm. 96. ISBN 978-0-8218-8641-0.
6. Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics
7. An account of Suschkewitsch's paper by Christopher Hollings
8. B. M. Schein (1963) "Representasi dari semigroup melalui hubungan biner "(Rusia), Matematicheskii Sbornik 60: 292–303 Templat:Mr
9. B. M. Schein (1972) Miniconference on semigroup Theory, Templat:Mr
10. B. M. Schein & R. McKenzie (1997) "Every semigroup is isomorphic to a transitive semigroup of binary relations", Transactions of the American Mathematical Society 349(1): 271–85 Templat:Mr
11. Dudek, W.A. (2001), "On some old problems in n-ary groups", Quasigroups and Related Systems, 8: 15–36, diarsipkan dari versi asli tanggal 2009-07-14 Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
12. Lihat referensi di Udo Hebisch dan Hanns Joachim Weinert, Semirings and Semifields, in particular, Section 10, Semirings with infinite sums, in M. Hazewinkel, Handbook of Algebra, Vol. 1, Elsevier, 1996. Notice that in this context the authors use the term semimodule in place of semigroup.

Referensi

Referensi umum

• Howie, John M. (1995), Fundamentals of Semigroup Theory, Clarendon Press, ISBN 978-0-19-851194-6, Zbl 0835.20077.
• Clifford, A. H.; Preston, G. B. (1961), The Algebraic Theory of Semigroups, 1, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0271-7, Zbl 0111.03403.
• Clifford, A. H.; Preston, G. B. (1967), The Algebraic Theory of Semigroups, 2, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0272-4, Zbl 0178.01203.
• Grillet, Pierre A. (1995), Semigroups: An Introduction to the Structure Theory, Marcel Dekker, ISBN 978-0-8247-9662-4, Zbl 0830.20079.
• Grillet, Pierre A. (2001), Commutative Semigroups, Springer Verlag, ISBN 978-0-7923-7067-3, Zbl 1040.20048.
• Hollings, Christopher (2009) "The early development of the algebraic theory of semigroups", Archive for History of Exact Sciences 63(5): 497–536.
• Hollings, Christopher (2014), Mathematics across the Iron Curtain: A History of the Algebraic Theory of Semigroups, American Mathematical Society, ISBN 978-1-4704-1493-1, Zbl 1317.20001.
• Petrich, Mario (1973), Introduction to Semigroups, Charles E. Merrill, ISBN 978-0-675-09062-9, Zbl 0321.20037.

Referensi khusus

• Feller, William (1971), An introduction to probability theory and its applications, II (edisi ke-2nd), Wiley, MR 0270403.
• Hille, Einar; Phillips, Ralph S. (1974), Functional analysis and semi-groups, American Mathematical Society, ISBN 978-0821874646, MR 0423094.
• Suschkewitsch, Anton (1928), "Über die endlichen Gruppen ohne das Gesetz der eindeutigen Umkehrbarkeit", Mathematische Annalen, 99 (1): 30–50, doi:10.1007/BF01459084, hdl:10338.dmlcz/100078 , ISSN 0025-5831, MR 1512437.
• Kantorovitz, Shmuel (2009), Topics in Operator Semigroups, Springer, ISBN 978-0-8176-4932-6, Zbl 1187.47003.
• Jacobson, Nathan (2009), Basic algebra, 1 (edisi ke-2nd), Dover, ISBN 978-0-486-47189-1
• Lawson, M.V. (1998), Inverse semigroups: the theory of partial symmetries, World Scientific, ISBN 978-981-02-3316-7, Zbl 1079.20505
• Lothaire, M. (2011) [2002], Algebraic combinatorics on words, Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, 90, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-18071-9, Zbl 1221.68183