Semigrupoid

Dalam matematika, semigrupoid (disebut juga semikategori, kategori terbuka atau prakategori) adalah aljabar parsial yang memenuhi aksioma untuk^[1][2][3] kategori kecil, kecuali kemungkinan persyaratan bahwa terdapat identitas pada setiap objek. Semigrupoid menggeneralisasi semigrup dengan cara yang sama, sebagai contoh kategori kecil menggeneralisasi monoid dan grupoid menggeneralisasi grup. Semigrupoid memiliki aplikasi dalam teori struktural semigrup.

Struktur grup
	Totalitasα	Asosiatif	Identitas	Invers	Komutativitas
Semigrupoid	Tidak dibutuhkan	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Tidak dibutuhkan
Kategori Kecil	Tidak dibutuhkan	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Tidak dibutuhkan
Grupoid	Tidak dibutuhkan	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan
Magma	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Tidak dibutuhkan
Kuasigrup	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan
Magma Unital	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Tidak dibutuhkan
Loop	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan
Semigrup	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Tidak dibutuhkan
Semigrup invers	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan
Monoid	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Tidak dibutuhkan
Monoid komutatif	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Dibutuhkan
Grup	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan
Grup Abelian	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Dibutuhkan
^α Penutupan, yang digunakan dalam banyak sumber, merupakan aksioma yang setara dengan totalitas, meskipun didefinisikan secara berbeda.

Secara formal, semigrupoid terdiri dari:

• himpunan yang disebut sebagai objek.
• untuk setiap dua objek A dan B satu himpunan Mor(A,B) disebut sebagai morfisme dari A ke B. Jika f sebagai Mor(A,B) ditulis f : A → B.
• untuk setiap tiga objek A, B dan C operasi biner Mor(A,B) × Mor(B,C) → Mor(A,C) disebut komposisi morfisme. Komposisi f : A → B dan g : B → C ditulis sebagai g ∘ f atau gf (beberapa lainnya menulis sebagai fg.)

sedemikian rupa maka aksioma berikut berlaku:

• (asosiatif) jika f : A → B, g : B → C dan h : C → D maka h ∘ (g ∘ f) = (h ∘ g) ∘ f.

Referensi

1. Tilson, Bret (1987). "Categories as algebra: an essential ingredient in the theory of monoids". J. Pure Appl. Algebra. 48 (1-2): 83–198. doi:10.1016/0022-4049(87)90108-3., Appendix B
2. Rhodes, John; Steinberg, Ben (2009), The q-Theory of Finite Semigroups, Springer, hlm. 26, ISBN 9780387097817
3. See e.g. Gomes, Gracinda M. S. (2002), Semigroups, Algorithms, Automata and Languages, World Scientific, hlm. 41, ISBN 9789812776884 objek semigrupoid untuk membentuk satu himpunan.