Derajat polinomial

Derajat polinomial adalah derajat tertinggi dari monomialnya (istilah individual) dengan koefisien tidak nol. Istilah orde biasanya digunakan dalam penyebutan derajat. Misalnya, dalam polinomial ${\displaystyle 7x^{2}y^{3}+4x-9,}$ dapat dinyatakan sebagai ${\displaystyle 7x^{2}y^{3}+4x^{1}y^{0}-9x^{0}y^{0},}$ memiliki tiga suku. Suku pertama memiliki derajat 5 (jumlah dari eksponen 2 dan 3), suku kedua memiliki derajat 1, dan suku terakhir memiliki derajat 0. Oleh karena itu, polinomial ini memiliki derajat 5, yaitu tingkat tertinggi dari seluruh suku.

Untuk menentukan derajat polinomial yang tidak dalam bentuk standar (misalnya: ${\displaystyle (x+1)^{2}-(x-1)^{2}}$), yang pertama kali harus dilakukan adalah menjabarkan dan menggabungkan suku-suku sejenis. Sebagai contoh ${\displaystyle (x+1)^{2}-(x-1)^{2}=4x}$ memiliki derajat 1.

Nama polinomial menurut derajat

Nama-nama berikut diberikan untuk polinomial sesuai derajatnya:^[1][2][3]

• Kasus khusus - nol
• Derajat 0 - konstanta tidak nol ^[4]
• Derajat 1 - linear
• Derajat 2 - kuadratik
• Derajat 3 - kubik
• Derajat 4 - kuartik (atau bikuadratik jika semua suku memiliki derajat genap)
• Derajat 5 - quintik
• Derajat 6 - sekstik (heksik)
• Derajat 7 - septik (heptik)

Untuk derajat yang lebih tinggi, terdapat nama-nama yang diusulkan,^[5] namun jarang digunakan:

• Derajat 8 – oktik
• Derajat 9 – nonik
• Derajat 10 – dekik

Contoh lain

• Polinomial ${\displaystyle 3-5x+2x^{5}-7x^{9}}$ adalah polinomial nonik
• Polinomial ${\displaystyle (y-3)(2y+6)(-4y-21)}$ polinomial kubik
• Polinomial ${\displaystyle (3z^{8}+z^{5}-4z^{2}+6)+(-3z^{8}+8z^{4}+2z^{3}+14z)}$Polinomial kuintik (as the ${\displaystyle z^{8}}$ are cancelled out)

Perilaku dalam operasi polinomial

Penjumlahan

Jumlah atau selisih dari dua polinomial kurang dari atau sama dengan besar derajatnya.

${\displaystyle \deg(P+Q)\leq \max\{\deg(P),\deg(Q)\}}$.

${\displaystyle \deg(P-Q)\leq \max\{\deg(P),\deg(Q)\}}$.

• Derajat ${\displaystyle (x^{3}+x)+(x^{2}+1)=x^{3}+x^{2}+x+1}$ adalah 3. Perhatikan bahwa 3 ≤ maks {3, 2}
• Derajat ${\displaystyle (x^{3}+x)-(x^{3}+x^{2})=-x^{2}+x}$ adalah 2. Perhatikan bahwa 2 ≤ maks {3, 3}

Perkalian skalar

Derajat perkalian polinomial dengan skalar bukan nol sama dengan derajat polinomialnya

${\displaystyle \deg(cP)=\deg(P)}$.

• Derajat ${\displaystyle 2(x^{2}+3x-2)=2x^{2}+6x-4}$ adalah 2, seperti derajat ${\displaystyle x^{2}+3x-2}$.

Perkalian

Derajat dari perkalian dua polinomial pada bidang atau domain integral adalah jumlah dari derajatnya:

${\displaystyle \deg(PQ)=\deg(P)+\deg(Q)}$.

• Derajat ${\displaystyle (x^{3}+x)(x^{2}+1)=x^{5}+2x^{3}+x}$ adalah 3 + 2 = 5.

Komposisi

Derajat dari komposisi dua polinomial non-konstanta ${\displaystyle P}$ dan${\displaystyle Q}$ pada bidang atau domain integral adalah perkalian dari derajatnya:

${\displaystyle \deg(P\circ Q)=\deg(P)\deg(Q)}$.

• Jika ${\displaystyle P=(x^{3}+x)}$, ${\displaystyle Q=(x^{2}+1)}$, dan${\displaystyle P\circ Q=P\circ (x^{2}+1)=(x^{2}+1)^{3}+(x^{2}+1)=x^{6}+3x^{4}+4x^{2}+2}$, dimana meiliki derajat 6.

Referensi

1. "Names of Polynomials". November 25, 1997. Diakses tanggal 5 February 2012.
2. Mac Lane and Birkhoff (1999) define "linear", "quadratic", "cubic", "quartic", and "quintic". (p. 107)
3. King (2009) defines "quadratic", "cubic", "quartic", "quintic", "sextic", "septic", and "octic".
4. Shafarevich (2003) says of a polynomial of degree zero, ${\displaystyle f(x)=a_{0}}$: "Such a polynomial is called a constant because if we substitute different values of x in it, we always obtain the same value ${\displaystyle a_{0}}$." (p. 23)
5. James Cockle proposed the names "sexic", "septic", "octic", "nonic", and "decic" in 1851. (Mechanics Magazine, Vol. LV, p. 171)