חוג עם חילוק

במתמטיקה, חוג עם חילוק הוא חוג (אסוציאטיבי) עם יחידה, שבו כל איבר שונה מאפס הוא הפיך. חוג קומוטטיבי (לא טריוויאלי) עם חילוק אינו אלא שדה. הדוגמה הראשונה והמוכרת ביותר לחוג עם חילוק שאינו שדה היא אלגברת הקווטרניונים של המילטון.

חוגים עם חילוק מופיעים באופן טבעי באלגברה (האסוציאטיבית) בזכות הלמה של שור: חוג האנדומורפיזמים של מודול פשוט הוא חוג עם חילוק. תוצאה זו היא המפתח לתורת המבנה של ארטין-ודרברן, המוכיחה בין השאר שכל חוג ארטיני פשוט הוא חוג של מטריצות מעל חוג עם חילוק (משפט ודרברן-ארטין).

בחקירת המבנה של חוגים עם חילוק, נקודת המוצא היא העובדה שהמרכז של חוג עם חילוק הוא שדה, ולכן החוג מהווה אלגברה מעל המרכז שלו. חוגים עם חילוק בעלי ממד סופי מעל המרכז, שהוא שדה, נלמדים יחד עם שאר האלגברות הפשוטות המרכזיות מעל אותו שדה. אחד הכלים המרכזיים לחקירת אלגברות חילוק מעל שדה נתון הוא חבורת בראואר של השדה.

גם בתאוריה של אלגברות לא אסוציאטיביות, המיון של אלגברות עם חילוק תופס מקום יסודי בתורת המבנה של כל מחלקה חשובה. תיאור מלא של אלגברות עם חילוק מממד סופי ידוע עבור אלגברות אלטרנטיביות, אלגברות ז'ורדן ואלגברות ריבועיות.

הקשר למחלקות אחרות של חוגים

בחוג עם חילוק אין אידיאלים חד-צדדיים, ולכן כל חוג כזה הוא פשוט (ולכן פרימיטיבי, ולכן ראשוני). ישנם חוגים פשוטים שאינם חוגים עם חילוק (החוגים ${\displaystyle M_{n}(D)}$, כאשר ${\displaystyle D}$ חוג עם חילוק, הם פשוטים, אבל יש בהם מחלקי אפס). כל תת-חוג של חוג עם חילוק הוא תחום, ולכן חוג ראשוני. במקרה הקומוטטיבי, כל תחום שלמות מוכל בשדה. טענה זו אינה נכונה במקרה הלא-קומוטטיבי: ישנם תחומים לא-קומוטטיביים, שאינם ניתנים לשיכון בחוג עם חילוק (Malcev, 1938). כל חוג פרימיטיבי צפוף בחוג האנדומורפיזמים של מודול מעל חוג עם חילוק (זהו משפט הצפיפות של ג'ייקובסון). לפי משפט Cartan-Brauer-Hua, אין לחוג עם חילוק תת-חוגים הנשמרים תחת הצמדה (פרט לחוג עצמו, ולתת-החוגים המוכלים במרכז שלו).

מנקודת מבט נאיבית אפשר לראות בחוגים עם חילוק הכללה של שדות למקרה הלא קומוטטיבי, שהרי כל חוג קומוטטיבי עם חילוק הוא שדה. ואכן, חוג עם חילוק נקרא גם "שדה מעוות" (skew field) או אפילו סתם "שדה" (עם זאת, יש מחלקות טבעיות אחרות של חוגים לא קומוטטיביים שחיתוכן עם מחלקת החוגים הקומוטטיביים הם בדיוק שדות). לכל חוג קומוטטיבי (עם יחידה) יש חוגי מנה שהם שדות, ובאופן אנלוגי לזה, לכל חוג יש חוגי מנה פשוטים, אבל לאו דווקא מנות עם חילוק. לחוג אידיאלים חופשיים למחצה יש "שדה אוניברסלי", שהוא חוג מנה, עם חילוק, שיש הצבה (specialization; הצבה היא הטלה מתת-חוג מקומי שהגרעין שלה הוא האידיאל המקסימלי שלו) ממנו לכל מנה אחרת עם חילוק. מאחר שהאלגברה החופשית הקומוטטיבית היא חוג פולינומים, ניתן לראות באלגברה זו אנלוג לא-קומוטטיבי לשדה הפונקציות הרציונליות. עם זאת, לא כל איבר באלגברת החילוק הגנרית הוא מהצורה ${\displaystyle fg^{-1}}$, והצורה הכללית של איברים באלגברה הגנרית היא מסובכת בהרבה (רק לחוגים המקיימים את תנאי אורה יש שיכון בחוג חילוק, שבו כל איבר הוא מנה של איברים מן החוג המקורי).

לפי משפט גלפנד-מזור, אלגברות בנך מרוכבת שהיא אלגברת חילוק איזומורפית (איזומורפיזם איזומטרי) ל-${\displaystyle \mathbb {C} }$ עצמו.

דוגמאות

• אם ${\displaystyle D}$ הוא חוג עם חילוק, אז גם החוג ${\displaystyle D(\!(x)\!)}$ של טורי לורן מעל ${\displaystyle D}$ הוא חוג עם חילוק.
• אם ${\displaystyle K/F}$ הרחבת גלואה ציקלית מסדר ראשוני ${\displaystyle p}$, שהאוטומורפיזם ${\displaystyle \sigma }$ יוצר את חבורת גלואה שלה, ו-${\displaystyle \alpha \in F}$ איבר שאינו נורמה בהרחבה, אז האלגברה הציקלית ${\displaystyle K[z|\forall k\in K:zkz^{-1}=\sigma (k),z^{p}=\alpha ]}$ היא אלגברה עם חילוק, ממימד ${\displaystyle p^{2}}$ מעל המרכז ${\displaystyle F}$.
• המשפט הקטן של ודרברן קובע שאין חוגים עם חילוק סופיים, פרט כמובן לשדות הסופיים.

אלגברה ליניארית מעל חוגים עם חילוק

חוגים עם חילוק קרובים לשדות במידה כזו שאפשר לפתח מעליהם חלקים גדולים של האלגברה הליניארית, לרבות המושגים מרחב וקטורי, מטריצה והעתקה ליניארית. כל המודולים מעל חוג עם חילוק הם חופשיים, ויש להם דרגה מוגדרת היטב (בדומה לממד של מרחבים וקטוריים). יוצא דופן חשוב הוא הדטרמיננטה - לא קיימת העתקה כפלית מן המטריצות מעל חוג עם חילוק אל החוג עצמו (אבל ראו דטרמיננטת דודונה). מטריצה בגודל ${\displaystyle n\times n}$ נקראת "מלאה" אם אי אפשר לפרק אותה למכפלה ${\displaystyle PQ}$ שבה מספר העמודות ב-${\displaystyle P}$ קטן מ-${\displaystyle n}$. מעל חוג עם חילוק מטריצה היא מלאה אם ורק אם היא הפיכה (אבל מעל תחומי שלמות שאינם שדות ייתכן שמטריצה תהיה מלאה אף על פי שאינה הפיכה אפילו מעל שדה השברים).

חוגים עם חילוק בגאומטריה לא-קומוטטיבית

ההאובייקט המרכזי שנחקר בגאומטריה פרויקטיבית לא-קומוטטיבית הוא סכמות פרויקטיביות לא-קומוטטיביות, המוגדות באמצעות תחומים מדורגים, נותריים, בעלי ממד גלפנד-קירילוב סופי (ותכונות רגולריות נוספות). בדומה למתרחש בגאומטריה אלגברית קומוטטיבית, מועיל למיין יריעות עד כדי שקילות בירציונלית. לשם כך נחוץ 'שדה פונקציות' לא קומוטטיבי, שהוא חוג עם חילוק המתקבל באופן הבא: כאשר הופכים את אוסף האיברים ההומוגניים (השונים מאפס), מתקבל חוג חדש ורחב יותר, המדורג על ידי ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, והמרכיב ההומוגני שלו מדרגה אפס הוא חוג עם חילוק - זהו שדה הפונקציות הרציונליות הלא-קומוטטיבי של היריעה, המגדיר את מחלקת השקילות הבירציונלית שלה.

אלגברות חילוק סגורות אלגברית

אומרים כי אלגברת חילוק ${\displaystyle D}$ מעל שדה מרכזי ${\displaystyle F}$ היא סגורה אלגברית אם לכל פולינום מוכלל ${\displaystyle f(x)\in D\langle x\rangle =D*_{F}F[x]}$ (דהיינו, איבר במכפלה החופשית של ${\displaystyle D}$ עם ${\displaystyle F[x]}$) שונה מאפס ישנו פתרון, כלומר קיים ${\displaystyle \alpha \in D}$ כך ש-${\displaystyle f(\alpha )=0}$. למשל, שדה הוא אלגברת חילוק סגורה אלגברית אם ורק אם הוא שדה סגור אלגברית. בניגוד למתרחש בעולם הקומוטטיבי, לא כל אלגברת חילוק משוכנת באלגברת חילוק סגורה אלגברית. בפרט, את אלגברת הקווטרניונים של המילטון לא ניתן לשכן באלגברת חילוק בה ישנו פתרון למשוואה ${\displaystyle ix-xi=1}$. ממילא, לטובת בניית אלגברת חילוק סגורה אלגברית לא ניתן להפעיל שיטה דומה לאופן שבו בונים סגור אלגברי, בהוספת שורשים 'בזה אחר זה' (באמצעות אינדוקציה טרנספיניטית).

מקר-לימנוב בנה את הדוגמה הראשונה לאלגברת חילוק סגורה אלגברית שאינה שדה^[1] והסיק כי כל אלגברה לא קומוטטיבית מעל שדה ממאפיין אפס המוגדרת על ידי יחס בודד (one relator algebra) היא לא טריוויאלית.

חוגים לא אסוציאטיביים עם חילוק

סעיף זה מטפל באלגברות לא אסוציאטיביות. חוג עם חילוק הוא חוג שבו כל אופרטור כפל מימין או משמאל הוא הפיך (כאופרטור), כלומר, לכל משוואה ${\displaystyle ax=b}$ או ${\displaystyle xa=b}$ (עם ${\displaystyle a}$ שונה מאפס) יש פתרון יחיד. כמו במקרה האסוציאטיבי, המרכז^[2] הוא שדה, וכל חוג עם חילוק הוא אלגברה (מעל המרכז שלו). בניגוד למקרה האסוציאטיבי, לחוג עם חילוק שאינו אסוציאטיבי לא מוכרח להיות איבר יחידה (באלגברת חילוק מממד סופי שהיא בעלת חזקה אסוציאטיבית בהחלט, יש איבר יחידה; כל אלגברת חילוק איזוטופית לאלגברת חילוק עם יחידה). כל חוג עם חילוק הוא פשוט. אם ${\displaystyle A}$ אלגברה מממד סופי, אז היא אלגברה עם חילוק אם ורק אם אין לה מחלקי אפס; לכן, בממד סופי, אם כל אופרטורי הכפל משמאל הפיכים, אז ${\displaystyle A}$ חוג עם חילוק.

בחוג עם חילוק (עם יחידה) כל האיברים הפיכים מימין ומשמאל. איבר ${\displaystyle x}$ הוא הפיך אם יש ${\displaystyle y}$ כך ש-${\displaystyle xy=yx=1}$. ההנחה ש-${\displaystyle x}$ הפיך אינה שקולה לכך שאופרטורי הכפל מימין או משמאל ב-${\displaystyle x}$ יהיו הפיכים. עם זאת, באלגברה אלטרנטיבית התכונות כן שקולות זו לזו, ואלגברה אלטרנטיבית שבה כל האיברים הפיכים היא אלגברה עם חילוק.

חוג עם חילוק סופי שהוא בעל חזקה אסוציאטיבית בהחלט, ממאפיין שונה מ-2, הוא שדה (זוהי הכללה של המשפט הקטן של ודרברן).

מעל הממשיים

תשומת לב מיוחדת הוקדשה לאלגברות חילוק מממד סופי מעל הממשיים, משום שחבורת האוטומורפיזמים של אלגברה כזו היא חבורת לי (שאלגברת לי הצמודה לה היא אלגברת הנגזרות של האלגברה המקורית).

באופן כללי הממד של אלגברה עם חילוק מממד סופי מעל שדה נתון אינו חסום (יש אלגברות חילוק מעל הרציונליים מכל ממד ריבועי). מעל הממשיים, לעומת זאת, המצב שונה בתכלית. פרובניוס הוכיח ב-1878 שיש רק שלוש אלגברות אסוציאטיביות עם חילוק בעלות ממד סופי מעל הממשיים: הממשיים עצמם, המרוכבים ואלגברת הקווטרניונים של המילטון. מקס אוגוסט צורן הראה ב-1931 שיש רק ארבע אלגברות אלטרנטיביות עם חילוק בעלות ממד סופי מעל הממשיים: שלוש האלגברות האסוציאטיביות, ואלגברת האוקטוניונים ${\displaystyle (-1,-1,-1)}$; כל אלה הן אלגברות קיילי-דיקסון^[3]. אלגברת החילוק היחידה מממד 2 מעל הממשיים היא שדה המספרים המרוכבים. מכאן נובע שאלגברת חילוק עם חזקה אסוציאטיבית מעל הממשיים היא ריבועית. לבסוף הוכיח היינץ הופף, בעזרת שיטות מתחום הטופולוגיה האלגברית, שהממדים המותרים לאלגברת חילוק (לא אסוציאטיבית) מעל הממשיים הם אך ורק 1,2,4,8 (השווה למשפט גלפנד-מזור ולמשפט Bott-Milnor).

בעיות פתוחות מרכזיות

אלגברות חילוק מממד אינסופי

• בעיית קורוש לחוגים עם חילוק: האם חוג חילוק נוצר סופית (כאלגברה מעל המרכז) ואלגברי מוכרח להיות סוף-ממדי? (לפי 'הטריק של עמיצור', התשובה שלילית מעל שדה שאינו בן-מנייה.)
• בעיית לטישב: האם חוג חילוק נוצר סופית כאלגברה מעל המרכז מוכרח להיות סוף-ממדי? (זוהי 'החלשה' של בעיית קורוש.)
• בעיית Kolchin: האם תת-חבורה של ${\displaystyle GL_{n}(D)}$ (כאשר ${\displaystyle D}$ חוג עם חילוק) שכל אבריה יוניפוטנטיים (בעלי סדר כפלי סופי) צמודה לתת-חבורה של חבורת המטריצות המשולשות עליונות אשר האלכסון שלהם הוא 1? (נפתרה למאפיין אפס או למאפיין חיובי גדול דיו על ידי מוצ'יזוקי, ולמאפיין 2 על ידי Derakhsan.)
• האם דרגת הטרנסצנדנטיות המקסימלית של תת-שדה של ${\displaystyle M_{n}(D)}$ (כאשר ${\displaystyle D}$ חוג עם חילוק) שווה לדרגת הטרנסצנדנטיות המקסימלית של תת-שדה של ${\displaystyle D}$ עצמו?^[4]
• בעיית ליכטמן: אם ${\displaystyle D}$ חוג חילוק שאיננו שדה, האם החבורה הכפלית שלו מוכרחה להכיל תת-חבורה חופשית (לא אבלית)? (הוכח למחלקות שונות של חוגים עם חילוק, אך ללא פתרון מלא. עבור חוגים ממד סופי מעל המרכז, ההשערה נובעת מהאלטרנטיבה של טיטס; הוכח עבור חוגים שמרכזם לא בן-מנייה על ידי Chiba. הוכח עבור חוגי שברים של הרחבות Ore על ידי בל וגונצ'לבז.)
• בעיית מקר-לימנוב: אם ${\displaystyle D}$ אלגברת חילוק נוצרת סופית ואינסוף-ממדית מעל המרכז, האם ${\displaystyle D}$ מוכרחה להכיל תת-אלגברה חופשית (לא קומוטטיבית)?

אלגברות חילוק מממד סופי^[5]

• בעיית הציקליות: האם כל אלגברת חילוק מדרגה ${\displaystyle p}$ היא ציקלית?
• האם כל אלגברת חילוק מאקספוננט (כלומר, סדר בחבורת בראואר) ראשוני היא מכפלה משולבת?
• האם כל אלגברת חילוק שקולה (בחבורת בראואר) למכפלה טנזורית של אלגברות ציקליות מדרגות שמחלקות את האקספוננט שלה? (התשובה חיובית בכמה מקרים, ובפרט כאשר שדה הבסיס מכיל שורש פרימיטיבי ${\displaystyle n}$-י של היחידה, כאשר ${\displaystyle n}$ הוא דרגת האלגברה.)
• השערת עמיצור: אם שתי אלגברות חילוק בעלות אותה דרגה ויוצרות את אותה תת-חבורה של חבורת בראואר, אז שדות הפיצול הגנריים שלהן איזומורפיים.

מקורות

• על משוואות פולינומיות מעל חוגים עם חילוק, ראו Gordon and Motzkin, Proc. AMS 1964.

קישורים חיצוניים

• חוג עם חילוק, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים

1. L. Makar-Limanov, Algebraically closed skew fields, Journal of Algebra 93, 1985, עמ' 117-135
2. בחוג לא אסוציאטיבי ${\displaystyle A}$ המרכז כולל את האיברים ${\displaystyle x}$ המקיימים ${\displaystyle \ (x,A,A)=(A,x,A)=(A,A,x)=[x,A]=0}$.
3. הוכחה של משפט צורן: Angel Oneto, Alternative Real Division Algebras of Finite Dimension, Divulgaciones Matematicas Vol. 10 No. 2(2002), pp. 161--169,
4. Amitsur and Small, POLYNOMIALS OVER DIVISION RINGS, Isr. J . Math. 31 (1978)
5. Auel, Brussel, Garibaldi, Vishne, OPEN PROBLEMS ON CENTRAL SIMPLE ALGEBRAS, Transformation Groups 16 (1), 219-264 (2011).