מטריצה

במתמטיקה, מַטְרִיצָה (Matrix) היא מערך דו-ממדי, שרכיביו הם סקלרים, לרוב מספרים, או איברים בחוג כללי יותר.

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

דוגמה למטריצה

האפשרות לרכז במטריצה מידע רב ולהפעיל עליה שיטות וכלים סטנדרטיים, מוצאת למטריצות שימושים רבים. השימוש השכיח ביותר במטריצות הוא לפתרון של מערכת משוואות ליניאריות באמצעות דירוג מטריצות. מלבד זה חשיבותן העיקרית של המטריצות במתמטיקה, ובעיקר של מטריצות ריבועיות, נובעת מכך שניתן לייצג בעזרתן טרנספורמציות ליניאריות, באופן כזה שפעולת הכפל מתאימה לפעולת ההרכבה של הטרנספורמציות. מסיבות דומות יש לאלגברות של מטריצות תפקיד מרכזי בתורת החוגים.

הגדרה

כאשר n ו-m הם מספרים טבעיים, מטריצה מסדר m על n (או: מסדר ${\displaystyle \ m\times n}$) היא מערך שבו m שורות ו-n עמודות. הרכיבים הם בדרך כלל מספרים – כך למשל "מטריצה ממשית" היא מטריצה שרכיביה מספרים ממשיים, ו"מטריצה מרוכבת" היא מטריצה שרכיביה מספרים מרוכבים. אם R הוא מבנה אלגברי, "מטריצה מעל (מבנה אלגברי) R" היא מטריצה שרכיביה שייכים ל-R.

את רכיבי המטריצה מסמנים בזוג אינדקסים: הרכיב במקום שבו נפגשות השורה ה-i והעמודה ה-j במטריצה A נקרא ${\displaystyle \ A_{ij}}$, או לפעמים ${\displaystyle \ a_{ij}}$.

לדוגמה, המטריצה ${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2&3\\1&2&7\\4&9&2\\6&1&5\end{bmatrix}}}$ היא מסדר 4 על 3; הרכיבים הם ${\displaystyle \ A_{3,2}=9,A_{4,3}=5}$, וכן הלאה.

פעולות על מטריצות

אוסף המטריצות מסדר m על n מעל שדה נתון F מהווה מרחב וקטורי מעל אותו שדה, כאשר פעולת הכפל בסקלר ופעולת החיבור מוגדרות באופן טבעי, על כל רכיב בנפרד. מקובל לסמן מרחב זה בסימון ${\displaystyle \ M_{m,n}(F)}$. את הכפל של מטריצות אין מגדירים באותה דרך, רכיב ברכיב, אלא באופן מסובך מעט יותר. המכפלה ${\displaystyle \ AB}$ מוגדרת רק בתנאי שמספר השורות של B שווה למספר העמודות של A.

אם עבור מטריצה מתקיים ${\displaystyle \ m=n}$, כלומר מספר העמודות במטריצה שווה למספר השורות בה, המטריצה נקראת מטריצה ריבועית. במטריצה ריבועית A, האלכסון שרכיביו ${\displaystyle \ A_{11},\dots ,A_{nn}}$ נקרא האלכסון הראשי.

מטריצה כייצוג של העתקה ליניארית

אחד השימושים העיקריים למטריצות הוא ייצוג של העתקות ליניאריות בין מרחבים מממד סופי: אם קובעים בסיסים סדורים לשני מרחבים V ו-W, ניתן להתאים לכל העתקה ליניארית מ-V ל-W מטריצה יחידה, וכל מטריצה מייצגת טרנספורמציה ליניארית יחידה. התאמה חשובה זו היא איזומורפיזם בין מרחב ההעתקות הליניאריות למרחב המטריצות מהגודל המתאים.

כדי לתאר העתקה ליניארית באופן מלא, מספיק לדעת לאן היא מעתיקה וקטורי בסיס של התחום. בעזרת מידע זה ותכונת הליניאריות של ההעתקה, ניתן לדעת לאן מועתק כל וקטור, כפי שנדגים מיד.

נניח כי ${\displaystyle \,T}$ היא העתקה ליניארית ${\displaystyle \ T:V\rightarrow W}$, ונניח גם שנתונים ${\displaystyle \ B=\{{\vec {v_{1}}},...,{\vec {v_{n}}}\}}$ בסיס ל-${\displaystyle \ V}$, ו-${\displaystyle \ C=\{{\vec {w_{1}}},...,{\vec {w_{m}}}\}}$ בסיס ל-${\displaystyle \ W}$ (ממדי המרחבים הם ${\displaystyle \,n}$ ו-${\displaystyle \,m}$ בהתאמה).

עתה, נניח כי אנו יודעים איך פועלת ההעתקה על וקטורי הבסיס ${\displaystyle \ {\vec {v_{i}}}}$. משמע, אנו יודעים לייצג כל וקטור ${\displaystyle \ {\vec {Tv_{i}}}\in W}$ על פי הבסיס ${\displaystyle \ C}$. נכתוב זאת במפורש:

${\displaystyle \ {\vec {Tv_{1}}}=c_{1,1}{\vec {w_{1}}}+c_{2,1}{\vec {w_{2}}}+...+c_{m,1}{\vec {w_{m}}}}$

${\displaystyle \ {\vec {Tv_{2}}}=c_{1,2}{\vec {w_{1}}}+c_{2,2}{\vec {w_{2}}}+...+c_{m,2}{\vec {w_{m}}}}$

${\displaystyle \ {\vec {Tv_{3}}}=c_{1,3}{\vec {w_{1}}}+c_{2,3}{\vec {w_{2}}}+...+c_{m,3}{\vec {w_{m}}}}$

וכך הלאה עד

${\displaystyle \ {\vec {Tv_{n}}}=c_{1,n}{\vec {w_{1}}}+c_{2,n}{\vec {w_{2}}}+...+c_{m,n}{\vec {w_{m}}}}$

עבור ${\displaystyle c_{i,j}}$ איברי המטריצה ${\displaystyle [T]_{C}^{B}}$ המתוארת בהמשך.

בעזרת מידע זה בלבד, נוכל לדעת עבור כל ${\displaystyle \ {\vec {v}}\in V}$ את ${\displaystyle \ {\vec {Tv}}}$ על ידי שימוש בליניאריות. ניקח וקטור כלשהו ${\displaystyle \ {\vec {v}}\in V}$, שייצוגו לפי הבסיס ${\displaystyle \ B}$ הוא

${\displaystyle \ {\vec {v}}=b_{1}{\vec {v_{1}}}+b_{2}{\vec {v_{2}}}+...+b_{n}{\vec {v_{n}}}}$, נשתמש בליניאריות כדי לקבל

${\displaystyle \ {\vec {Tv}}=T(\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\vec {v_{i}}})=\sum _{i=1}^{n}b_{i}T({\vec {v_{i}}})}$

אך כפי שאמרנו, אנו יודעים בדיוק למה שווה כל ${\displaystyle \ T({\vec {v_{i}}})}$, ולכן נציב ונקבל

${\displaystyle \ {\vec {Tv}}=\sum _{i=1}^{n}b_{i}(c_{1,i}{\vec {w_{1}}}+c_{2,i}{\vec {w_{2}}}+...+c_{m,i}{\vec {w_{m}}})=\sum _{i=1}^{n}b_{i}(\sum _{j=1}^{m}c_{j,i}{\vec {w_{j}}})}$.

נקבץ את המקדמים של כל ${\displaystyle \ {\vec {w_{j}}}}$, ונקבל

${\displaystyle \ {\vec {Tv}}=(\sum _{i=1}^{n}b_{i}c_{1,i}){\vec {w_{1}}}+(\sum _{i=1}^{n}b_{i}c_{2,i}){\vec {w_{2}}}+...+(\sum _{i=1}^{n}b_{i}c_{m,i}){\vec {w_{m}}}}$

בכתיבה פשוטה יותר, וקטור הקואורדינטות של ${\displaystyle \ {\vec {Tv}}}$ לפי הבסיס ${\displaystyle \ C}$ הוא

${\displaystyle \ [{\vec {Tv}}]_{C}=(\sum _{i=1}^{n}b_{i}c_{1,i},\sum _{i=1}^{n}b_{i}c_{2,i},...,\sum _{i=1}^{n}b_{i}c_{m,i})}$

הסימון ${\displaystyle \ [{\vec {Tv}}]_{C}}$ משמעו וקטור הקואורדינטות של הווקטור ${\displaystyle \ {\vec {Tv}}}$ לפי הבסיס ${\displaystyle \ C}$.

כך אנו יודעים כיצד פועלת ההעתקה על וקטור כלשהו ${\displaystyle \ {\vec {v}}}$. נשים לב כי לאחר שבחרנו בסיסים, מספיק לדעת את המקדמים ${\displaystyle \ c_{i,j}}$ כדי להגדיר את ההעתקה ואין צורך ברצף המשוואות המסורבל המופיע למעלה, בתנאי שמסכימים מראש על הסדר. המוסכמה המקובלת היא כי המטריצה המייצגת את ההעתקה לפי הבסיסים הנתונים היא

${\displaystyle [T]_{C}^{B}={\begin{bmatrix}c_{1,1}&c_{1,2}&c_{1,3}&...&c_{1,n}\\c_{2,1}&c_{2,2}&c_{2,3}&...&c_{2,n}\\c_{3,1}&c_{3,2}&c_{3,3}&...&c_{3,n}\\:&:&:&\ddots &:\\c_{m,1}&c_{m,2}&c_{m,3}&...&c_{m,n}\\\end{bmatrix}}}$

• הסימון ${\displaystyle \ [T]_{C}^{B}}$ משמעו: המטריצה המייצגת את ההעתקה ${\displaystyle \ T:V\rightarrow W}$ לפי הבסיס ${\displaystyle \,B}$ בתחום ${\displaystyle \,V}$ והבסיס ${\displaystyle \,C}$ בטווח ${\displaystyle \,W}$.
• המקדמים במטריצה הם בדיוק המקדמים המופיעים ברצף המשוואות מתחילת הפסקה, בשינוי סדר קל. העמודה ה-${\displaystyle \,i}$ במטריצה מורכבת מהמקדמים מהשורה ה-${\displaystyle \,i}$ ברצף המשוואות. משמע, העמודה ה-${\displaystyle \,i}$ היא ייצוגו של וקטור הבסיס ה-${\displaystyle \,i}$ של התחום, לפי הבסיס של הטווח.
• במפורש: האיבר ה-${\displaystyle \ a_{i,j}}$ במטריצה הוא המקדם ה-${\displaystyle \,i}$ בווקטור הקואורדינטות של התמונה של הווקטור ה-${\displaystyle \,j}$ בבסיס ${\displaystyle \,B}$, בייצוג על פי הבסיס ${\displaystyle \,C}$. מטריצה מסדר ${\displaystyle \ m\times n}$ מייצגת העתקה ממרחב ${\displaystyle \,n}$-ממדי למרחב ${\displaystyle \,m}$-ממדי.

מציאת התמונה של וקטור כלשהו, הופכת עתה לפעולה פשוטה של כפל מטריצות. אם ניקח וקטור כלשהו ${\displaystyle \ {\vec {v}}\in V}$, שייצוגו על פי ${\displaystyle \,B}$ הוא

${\displaystyle \ {\vec {v}}=b_{1}{\vec {v_{1}}}+b_{2}{\vec {v_{2}}}+...+b_{n}{\vec {v_{n}}}}$,

על מנת למצוא את תמונתו נצטרך פשוט לבצע את כפל המטריצות

${\displaystyle [{\vec {T(v)}}]_{C}=[T]_{C}^{B}\cdot [{\vec {v}}]_{B}={\begin{bmatrix}c_{1,1}&c_{1,2}&c_{1,3}&...&c_{1,n}\\c_{2,1}&c_{2,2}&c_{2,3}&...&c_{2,n}\\c_{3,1}&c_{3,2}&c_{3,3}&...&c_{3,n}\\:&:&:&\ddots &:\\c_{m,1}&c_{m,2}&c_{m,3}&...&c_{m,n}\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\\:\\b_{n}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{1,1}b_{1}+c_{1,2}b_{2}+c_{1,3}b_{3}+...c_{1,n}b_{n}\\c_{2,1}b_{1}+c_{2,2}b_{2}+c_{2,3}b_{3}+...c_{2,n}b_{n}\\c_{3,1}b_{1}+c_{3,2}b_{2}+c_{3,3}b_{3}+...c_{3,n}b_{n}\\:\\c_{m,1}b_{1}+c_{m,2}b_{2}+c_{m,3}b_{3}+...c_{m,n}b_{n}\\\end{bmatrix}}}$

הסימון ${\displaystyle \ [{\vec {v}}]_{B}}$ משמעו וקטור הקואורדינטות של הווקטור ${\displaystyle \ {\vec {v}}}$ לפי הבסיס ${\displaystyle \ B}$.

ההתאמה בין ההעתקות למטריצות

האיזומורפיזם בין העתקות למטריצות המייצגות אותן הוא שימושי מאוד:

• נניח כי ${\displaystyle \,T,S}$ הן העתקות ליניאריות ${\displaystyle \ T,S:V\rightarrow W}$, וכן נתונים ${\displaystyle \ B}$ בסיס ל-${\displaystyle \ V}$, ו-${\displaystyle \ C}$ בסיס ל-${\displaystyle \ W}$, אזי ${\displaystyle \ [T+S]_{C}^{B}=[T]_{C}^{B}+[S]_{C}^{B}}$, במילים – המטריצה המייצגת את סכום ההעתקות ${\displaystyle \,T}$ ו-${\displaystyle \,S}$ היא המטריצה המתקבלת מסכימת המטריצות המייצגות את ${\displaystyle \,T}$ ו-${\displaystyle \,S}$.
• ${\displaystyle \ [cT]_{C}^{B}=c[T]_{C}^{B}}$, ובמילים – המטריצה המייצגת את כפל ההעתקה ${\displaystyle \,T}$ בסקלר היא המטריצה המתקבלת מכפל המטריצה המייצגת את ${\displaystyle \,T}$ באותו סקלר.
• נניח כי ${\displaystyle \ T,S}$ הן העתקות ליניאריות ${\displaystyle \ S:V\rightarrow W}$, ${\displaystyle \ T:W\rightarrow U}$, וכן נתונים ${\displaystyle \ B}$ בסיס ל-${\displaystyle \ V}$, ${\displaystyle \ C}$ בסיס ל-${\displaystyle \ W}$, ו-${\displaystyle \ D}$ בסיס ל-${\displaystyle \ U}$, אזי ${\displaystyle \ [T\circ S]_{D}^{B}=[T]_{D}^{C}\cdot [S]_{C}^{B}}$, כאשר ב-${\displaystyle \ [T\circ S]_{D}^{B}}$ הכוונה היא להרכבת ההעתקות, וב-${\displaystyle \ [T]_{D}^{C}\cdot [S]_{C}^{B}}$ הכוונה היא לכפל מטריצות. במילים – המטריצה המייצגת את הרכבת ההעתקות ${\displaystyle \,T}$ ו-${\displaystyle \,S}$ היא המטריצה המתקבלת מכפל המטריצות המתאימות ל-${\displaystyle \,T}$ ו-${\displaystyle \,S}$. למעשה, זו הסיבה שכפל מטריצות, שאינו נעשה בדרך אינטואיטיבית, הוגדר כך. מכאן מובן גם מדוע כפל מטריצות מוגדר רק אם מספר השורות של המטריצה הימנית שווה למספר העמודות של המטריצה השמאלית.
• אם קובעים אותו בסיס לתחום ולטווח של העתקה, אז למטריצה יש אותם ערכים עצמיים, פולינום אופייני, פולינום מינימלי ודרגה כמו להעתקה שהיא מייצגת.

נוכח התאמה מרשימה זו, שגיאה נפוצה היא לזהות מטריצה עם העתקה ליניארית. כזכור, לכל מטריצה מתאימה העתקה ליניארית יחידה, רק לאחר שנבחר בסיס בתחום ובטווח. לפני הגדרת בסיסים אלה כל מטריצה (שאינה סקלרית) יכולה לייצג אינסוף העתקות ליניאריות, ולהפך. כמו כן, יש לשים לב כי המוסכמה היא ייצוג של טרנספורמציות הפועלות על וקטורים כמטריצות הפועלות על וקטורי עמודה בכפל מימין, אך באותה מידה ניתן היה להגדיר את ההפך – כפל משמאל. אז מטריצה מסדר ${\displaystyle \ m\times n}$ הייתה מייצגת טרנספורמציה ממרחב ${\displaystyle \,m}$ ממדי למרחב ${\displaystyle \,n}$ ממדי והווקטורים היו וקטורי שורה.

מרחבי שורות, עמודות ופתרונות

ערך מורחב – משפט רושה-קפלי

מרחב השורות של מטריצה ${\displaystyle \ A}$ בגודל ${\displaystyle \ m\times n}$ הוא המרחב הנפרש על ידי וקטורי שורותיה (${\displaystyle \ m}$ וקטורים ב-${\displaystyle \ F^{n}}$), ומרחב העמודות של מטריצה הוא המרחב הנפרש על ידי עמודותיה (${\displaystyle \ n}$ וקטורים ב-${\displaystyle \ F^{m}}$).

ממד מרחב השורות של מטריצה תמיד שווה לממד מרחב העמודות שלה. מספר זה נקרא דרגת המטריצה.

מרחב הפתרונות של ${\displaystyle A}$ הוא מרחב כל הווקטורים שפותרים את המשוואה ${\displaystyle Ax=0}$. משפט בסיסי קובע שסכום ממד מרחב הפתרונות של ${\displaystyle A}$ עם הדרגה של ${\displaystyle A}$ הוא מספר העמודות שלה, n.

מבנה אלגברי

אוסף כל המטריצות מסדר ${\displaystyle \ m\times n}$ מעל שדה ${\displaystyle \mathbb {F} }$ המסומן ${\displaystyle \operatorname {Hom} (\mathbb {F} ^{n},\mathbb {F} ^{m})}$ מהווה מרחב וקטורי מממד ${\displaystyle \ n\cdot m}$. מקרה חשוב במיוחד הוא אוסף כל המטריצות הריבועיות מסדר ${\displaystyle \ n\times n}$ מעל שדה ${\displaystyle \mathbb {F} }$. קבוצה זו מסומנת ${\displaystyle \operatorname {M_{n}} (\mathbb {F} )}$ ומהווה חוג לא קומוטטיבי עם יחידה, שלו מספר תת-חוגים מעניינים. אוסף כל המטריצות ההפיכות מסדר ${\displaystyle \ n\times n}$ מעל שדה ${\displaystyle \mathbb {F} }$ המסומן ${\displaystyle \operatorname {GL_{n}} (\mathbb {F} )}$ (General linear group) מהווה חבורה ביחס לכפל מטריצות. אוסף כל המטריצות ההפיכות מסדר ${\displaystyle \ n\times n}$ מעל שדה ${\displaystyle \mathbb {F} }$, שהדטרמיננטה שלהן היא אחד, המסומן ${\displaystyle \operatorname {SL_{n}} (\mathbb {F} )}$ (Special linear group) הוא תת-חבורה חשובה שלו.

מטריצה משוחלפת

ערך מורחב – מטריצה משוחלפת

מטריצה משוחלפת (Transposed Matrix) היא מטריצה שהתקבלה ממטריצה אחרת על ידי הפיכת כל שורה לעמודה (שחלוף).

הגדרה

תהא ${\displaystyle \!\,A}$ מטריצה מסדר ${\displaystyle \!\,n\times m}$. המטריצה המשוחלפת שלה, שתסומן ${\displaystyle \!\,A^{t}}$ (מקובלים גם הסימונים A^tr, ^tA, A^T או ′A) ,

היא מטריצה מסדר ${\displaystyle \!\,m\times n}$ שמוגדרת כך: ${\displaystyle \!\,(A^{t})_{ij}=(A)_{ji}}$, עבור כל ${\displaystyle \!\,1\leq i\leq m,1\leq j\leq n}$.

דוגמאות

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}^{t}\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3\\2&4\end{bmatrix}}\quad \quad {\mbox{and}}\quad \quad {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix}}^{t}\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{bmatrix}}\;}$

מטריצה ריבועית

ערך מורחב – מטריצה ריבועית

מטריצה ריבועית היא מטריצה שמספר העמודות שלה שווה למספר השורות. בניגוד לסתם מטריצות, המייצגות העתקות ליניאריות ממרחב אחד למרחב אחר, מטריצות ריבועיות יכולות לייצג העתקות ממרחב אל עצמו, ולכן האוסף ${\displaystyle \ M_{n}(F)}$ של מטריצות ריבועיות מסדר n על n מעל שדה F, סגור לכפל, ומהווה אלגברה, הקרויה אלגברת המטריצות.

הדיון במטריצות ריבועיות עשיר במיוחד, וכולל התייחסות לסוגים מיוחדים אחדים של מטריצות ריבועיות, ובהן מטריצת היחידה, מטריצה הפיכה, מטריצה סינגולרית, מטריצה משוחלפת, מטריצה סימטרית, מטריצה אנטי-סימטרית, מטריצה הרמיטית, מטריצה אוניטרית, מטריצה נילפוטנטית ומטריצה סטוכסטית, וכמו כן למטריצה ריבועית מוגדרת הדטרמיננטה שלה, שהיא כלי חשוב במספר תחומים.

מטריצה אלמנטרית

ערך מורחב – מטריצה אלמנטרית

מטריצה אלמנטרית היא מטריצה המתקבלת ממטריצת היחידה על ידי פעולת שורה אלמנטרית אחת. המטריצות האלמנטריות יוצרות את החבורה הליניארית הכללית של מטריצות הפיכות. הכפלה משמאל במטריצה אלמנטרית מייצגת פעולת שורה אלמנטרית, בעוד הכפלה מימין במטריצה אלמנטרית מייצגת פעולת עמודה אלמנטרית.

בדרך זו, ביצוע פעולת שורה אלמנטרית על מטריצה ריבועית שרירותית A שקול למעשה לכפל משמאל במטריצה אלמנטרית מסוימת – מטריצה המתקבלת ממטריצת הזהות על ידי פעולה שורה אלמנטרית זהה לזו שאנו רוצים לבצע על המטריצה המקורית A. כל מטריצה הפיכה ניתן להציג כמכפלה של מטריצות אלמנטריות.

שפות תכנות

בשפות תכנות מיוצגת מטריצה באמצעות מערך דו-ממדי. חבילות תוכנה לתכנות מדעי כוללות גם פונקציות לפעולות על מטריצות, כגון שחלוף, כפל וחיבור מטריצות.

ראו גם

• חיבור מטריצות
• שיטת הלכסון של גאוס
• מטריצת מעבר
• פונקציה מטריציאלית
• ספקטרום של מטריצה
• מטריצה מצורפת המשמשת להיפוך מטריצה

קישורים חיצוניים

מיזמי קרן ויקימדיה
ערך מילוני בוויקימילון: מטריצה
תמונות ומדיה בוויקישיתוף: מטריצה

• מטריצה, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)
• מטריצה, באתר MathWorld (באנגלית)
• מטריצות, דף שער בספרייה הלאומית