אופרטור

במתמטיקה, אוֹפֵּרָטוֹר (Operator) הוא פעולה אלגברית על מספר קבוע או משתנה של איברים במבנה אלגברי, ותוצאתה היא איבר באותו מבנה (או לעתים מבנה אחר). האיברים שעליהם פועל האופרטור נקראים אופרנדים. לעיתים משתמשים במילה כשם נרדף לפעולה מתמטית. לעתים קרובות אופרטור מציין פעולה על וקטורים במרחב וקטורי.

ערך זה עוסק באופרטור במתמטיקה. אם התכוונתם לאופרטור במדעי המחשב, ראו אופרטור (תכנות).

סוגי אופרטורים

נהוג להבחין בין אופרטורים לפי מספר האופרנדים שהם פועלים עליהם:

• אופרטור אונארי או פעולה אונארית: אופרטור הפועל על איבר בקבוצה, ותוצאתו היא איבר בקבוצה. בניסוח פורמלי יותר: פעולה אונארית היא פונקציה מהקבוצה אל עצמה. דהיינו, בהינתן קבוצה ${\displaystyle S}$, פעולה אונארית עליה היא פונקציה ${\displaystyle f\colon S\to S}$.
• אופרטור בינארי או פעולה בינארית: אופרטור הפועל על שני איברים בקבוצה (לא בהכרח שונים זה מזה), ותוצאתו היא איבר בקבוצה. בניסוח פורמלי יותר: פעולה בינארית היא פונקציה מזוגות סדורים של אברי הקבוצה, אל הקבוצה. דהיינו, בהינתן קבוצה ${\displaystyle S}$, פעולה בינארית עליה היא פונקציה: ${\displaystyle f\colon S\times S\to S}$.
• אופרטור טרנארי הפועל על שלושה איברים בקבוצה, וכך הלאה.

מקובלות שלוש שיטות לכתיבתם של אופרטורים:

• פרפיקס: תחילה נכתב האופרטור ואחריו האופרנדים.

תבנית: ${\displaystyle Q(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}$.

כאשר לאופרטור מספר קבוע של אופרנדים, מושמטים לעיתים הסוגריים בעת כתיבתו.

דוגמה: האופרטור קוסינוס נכתב בצורה ${\displaystyle \cos x}$.

• פוסטפיקס: תחילה נכתבים האופרנדים ואחריהם האופרטור.

תבנית: ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})Q}$.

כאשר לאופרטור מספר קבוע של אופרנדים, מושמטים לעיתים הסוגריים בעת כתיבתו.

דוגמה: האופרטור עצרת נכתב בצורה ${\displaystyle n!}$.

• אינפיקס: האופרטור נכתב בין שני האופרנדים.

תבנית: ${\displaystyle x_{1}Qx_{2}}$.

דוגמה: האופרטור חיבור נכתב בצורה ${\displaystyle 3+4}$.

זוהי צורת הכתיב המקובלת לאופרטורים בינאריים נפוצים, כגון ארבע פעולות החשבון.

בכתיב המקובל נהוג שילוב של השיטות, בהתאם לצורת הרישום המקובלת של כל אופרטור. הנוסחה ${\displaystyle \log(x)+n!}$, למשל, משלבת את שלוש השיטות. כתיב פולני הוא טכניקת רישום שבמסגרתה נכתבות כל הנוסחאות בשיטת פרפיקס. למשל, במקום לכתוב ${\displaystyle 2+3}$ נכתוב בכתיב פולני ${\displaystyle +2,3}$.

ביטוי הכולל אופרטורים אחדים יש לפרש ולחשב בהתאם לכללי קדימות אופרטורים.

אופרטור ליניארי

בענפי המתמטיקה של אנליזה מתמטית ואלגברה ליניארית, המונח אופרטור מציין העתקה ליניארית בין מרחבים וקטוריים, לעיתים קרובות ממרחב אל עצמו. בשימוש הנפוץ באנליזה, אופרטור הוא התאמה שמקבלת פונקציה (בדרך כלל ממשית או מרוכבת) ומחזירה במקומה פונקציה אחרת.

אופרטור דיפרנציאלי

אופרטור דיפרנציאלי הוא אופרטור שמערב נגזרות. לדוגמה, האופרטור ${\displaystyle A={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}+g(x)}$ הוא אופרטור דיפרנציאלי ופעולתו על פונקציה כלשהי ${\displaystyle f}$ היא ${\displaystyle Af(x)=f'(x)+g(x)f(x)}$.

השימוש באופרטורים כאלה נפוץ במיוחד באנליזה מתמטית של מרחבי בנך ושל מרחבי הילברט. על מרחבים אלה אפשר להגדיר תכונות כגון חסימות, רציפות, סגירות ושלמות של אופרטור. על מרחבי הילברט אפשר להגדיר אופרטורים הדומים לאלו של מטריצות כגון הפיכות, סימטריות, הרמיטיות ועוד.

במכניקת הקוונטים, כל הגדלים המדידים מוגדרים באמצעות אופרטורים הרמיטיים.

קישורים חיצוניים

• אופרטור, באתר MathWorld (באנגלית)