איבר (תורת הקבוצות)

בתורת הקבוצות, איבר הוא פריט מתוך קבוצה. קבוצה מוגדרת באמצעות האיברים השייכים אליה. בתורת הקבוצות הנאיבית איבר יכול להיות כל עצם גשמי או מופשט, אך בדרך כלל איבר הוא אובייקט מתמטי. ניתן להציג קבוצה באמצעות סוגריים מסולסלים, שביניהם מפורטים כל איברי הקבוצה (כל האיברים שונים זה מזה, ואין חשיבות לסדר הופעת האיברים), למשל הנוסחה ${\displaystyle A=\{a,19,7\}}$ אומרת שקבוצה בשם ${\displaystyle A}$ מכילה שלושה איברים: האות האנגלית ${\displaystyle a}$ והמספרים 19 ו־7. ניתן גם להגדיר קבוצה באמצעות כלל המגדיר את תכונות איברי הקבוצה. למשל הנוסחה ${\displaystyle z\}}$ הוא מספר שלם חיובי זוגי ${\displaystyle A=\{z:}$, מגדירה את הקבוצה שאבריה הם כל המספרים הטבעיים הזוגיים (ורק הם).

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

היחס הבסיסי בין איבר לקבוצה הוא השייכות ביניהם. כאשר איבר ${\displaystyle \ x}$ שייך לקבוצה ${\displaystyle \ A}$ מסמנים זאת בצורה ${\displaystyle x\in A}$ ונאמר ש־${\displaystyle \ A}$ כוללת את ${\displaystyle \ x}$ או ש־${\displaystyle \ x}$ שייך ל־${\displaystyle \ A}$, אם אינו שייך נסמן זאת ${\displaystyle x\not \in A}$. קבוצה שאין בה איברים קרויה הקבוצה הריקה, שסימנה ${\displaystyle \emptyset }$.

מקובל לחלק קבוצות לפי גודלן, או עוצמתן:

• קבוצה בעלת עוצמה סופית, או קבוצה סופית, היא קבוצה שבה מספר סופי של איברים (גם הקבוצה הריקה היא קבוצה סופית).
• קבוצה שמכילה אינסוף איברים היא בעלת עוצמה אינסופית, או קבוצה אינסופית.

קבוצות אינסופיות ניתן להגדיר רק על ידי כלל המגדיר את אברי הקבוצה – אך יש כללים שהשימוש בהם יוצר פרדוקסים. כדי להימנע מפרדוקסים כאלו, נוצרה תורת הקבוצות האקסיומטית. בתורה זו כל האובייקטים באשר הם, הם קבוצות, ולכן כל איבר הוא בעצמו קבוצה.

דוגמאות

• כלב הוא איבר בקבוצה {כלב, חתול, צרצר} ולכן נסמן {כלב, חתול, צרצר} ${\displaystyle \in }$ כלב. פיל איננו איבר בקבוצה זו ולכן נסמן {כלב, חתול, צרצר} ${\displaystyle \notin }$ פיל. זוהי קבוצה סופית בעלת שלושה איברים.
• תהי S הקבוצה {x הוא\היא אזרח.ית סין בתאריך 5.2.2024: x}${\displaystyle S=}$: כל אזרח של סין בתאריך המצוין הוא איבר ב־${\displaystyle S}$. בפרט ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \in }$ חו ג'ינטאו. זוהי קבוצה סופית שמספר איבריה גדול מאוד, וייתכן שמספר זה אינו ידוע.
• 3 הוא איבר בקבוצת כל המספרים החיוביים השלמים שהיא קבוצה אינסופית. נסמן את השיוך כך: {כל המספרים החיוביים השלמים} ${\displaystyle \in }$ 3.

קישורים חיצוניים

• איבר, באתר MathWorld (באנגלית)
• איבר, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)