מודול חופשי

באלגברה, מודול חופשי הוא מודול שיש לו בסיס. מודולים חופשיים משקפים את מבנה החוג הבסיסי באופן הטהור ביותר, ומכלילים באופן הפשוט ביותר את התורה הליניארית של מרחבים וקטוריים. כל מודול חופשי הוא פרויקטיבי, אבל ההפך אינו נכון, אלא בחוגים מיוחדים.

קבוצה פורשת ובסיס

מודול שמאלי ${\displaystyle M}$ מעל חוג ${\displaystyle R}$, נפרש על ידי תת-קבוצה ${\displaystyle S\subseteq M}$ אם כל איבר ${\displaystyle m\in M}$ אפשר לכתוב כסכום ${\displaystyle m=r_{1}e_{1}+r_{2}e_{2}+r_{3}e_{3}+...+r_{n}e_{n}}$ שבו ${\displaystyle r_{1},r_{2},r_{3},...,r_{n}\in R}$ הם מקדמים מהחוג ו-${\displaystyle e_{1},\dots ,e_{n}\in S}$ הם איברי הקבוצה. אם ההצגה של כל איבר של ${\displaystyle M}$ באופן הזה היא יחידה, אז ${\displaystyle S}$ מהווה בסיס של ${\displaystyle M}$. בניגוד למצב במרחבים וקטוריים, לא לכל מודול יש בסיס (לדוגמה: חבורה אבלית סופית היא מודול מעל חוג השלמים, אבל לא יכולה להיות בה הצגה יחידה, משום שבחוג יש אינסוף סקלרים). מודול שיש לו בסיס נקרא מודול חופשי.

הדרגה

עוצמת הבסיס של מודול חופשי נקראת הדרגה של המודול. כל המודולים החופשיים מאותה דרגה הם איזומורפיים. הדרגה של מודול מעל חוג קומוטטיבי מוגדרת היטב (כלומר: כל שני בסיסים של מודול חופשי מעל חוג קומוטטיבי הם בעלי אותה עוצמה). מאידך, יש דוגמאות למודולים מעל חוגים לא קומוטטיביים עם בסיסים בגדלים שונים. כל חוג אפשר לראות כמודול (שמאלי) מעל עצמו. כאשר יש לחוג יחידה, הוא חופשי מדרגה ${\displaystyle 1}$, וכך הסכום הישר של ${\displaystyle n}$ עותקים, ${\displaystyle R^{n}}$, הוא מודול חופשי מדרגה ${\displaystyle n}$.

פעולות במודולים חופשיים

סכום ישר של מודולים חופשיים הוא חופשי (גם כאשר אין מדובר בסכום סופי). מאידך, המכפלה הישרה בדרך-כלל אינה חופשית. לדוגמה, המכפלה הישרה של מספר בן מניה של עותקים של החבורה ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{\mathbb {N} }}$, אינה חופשית.

גם המכפלה הטנזורית של מודולים חופשיים היא מודול חופשי.

חוגי אידיאלים חופשיים

חוג שבו כל אידיאל שמאלי הוא חופשי בעל דרגה מוגדרת היטב, נקרא חוג אידיאלים חופשיים.

קישורים חיצוניים

• מודול חופשי, באתר MathWorld (באנגלית)