חוג מנה

במתמטיקה, חוג מנה הוא בניה בתורת החוגים הדומה לבניה של חבורות מנה בתורת החבורות. בהינתן חוג ${\displaystyle R}$ ואידיאל דו-צדדי ${\displaystyle I}$, ב-${\displaystyle R}$ בונים את חוג המנה ${\displaystyle R/I}$. מבחינה אינטואיטיבית, ${\displaystyle R/I}$ מתקבל מ-${\displaystyle R}$ על ידי איפוס של כל איברי ${\displaystyle I}$.

בניית חוג המנה

בהינתן חוג ${\displaystyle R}$ ואידיאל דו-צדדי ${\displaystyle I}$, ניתן להגדיר יחס שקילות ${\displaystyle \sim }$ על ${\displaystyle R}$ על ידי: ${\displaystyle a\sim b}$ אם ורק אם ${\displaystyle b-a\in I}$, ואומרים כי ${\displaystyle a}$ שקול ל-${\displaystyle b}$ מודולו ${\displaystyle I}$. מחלקת השקילות של איבר ${\displaystyle a}$ ב-${\displaystyle R}$ נתונה על ידי: ${\displaystyle [a]=a+I=\{a+r:r\in I\}}$. מחלקה זו נקראת מחלקת השקילות של ${\displaystyle a}$ מודולו ${\displaystyle I}$. את אוסף מחלקות השקילות מסמנים ב-${\displaystyle R/I}$. קבוצה זו הופכת לחוג, חוג המנה ${\displaystyle R}$ מודולו ${\displaystyle I}$ על ידי הפעולות:

${\displaystyle [a]+[b]=(a+I)+(b+I)=(a+b)+I=[a+b]}$

${\displaystyle [a]\cdot [b]=(a+I)\cdot (b+I)=a\cdot b+I=[a\cdot b]}$

מתכונת הבליעה של אידיאל דו-צדדי נובע כי פעולות אלה מוגדרות היטב (כלומר – הן אינן תלויות בנציגים אשר נבחרים למחלקות השקילות). איבר האפס של ${\displaystyle R/I}$ מוגדר להיות ${\displaystyle [0]=0+I=I}$ ואיבר היחידה (ביחס לכפל) מוגדר להיות ${\displaystyle [1]=1+I}$. ביחס לפעולות ואיברים אלו, ${\displaystyle R/I}$ הוא חוג. ההעתקה ${\displaystyle \rho :R\rightarrow R/I}$ המוגדרת על ידי ${\displaystyle \rho (x)=[x]=x+I}$ היא הומומורפיזם של חוגים, ומההגדרה של ${\displaystyle R/I}$ נובע כי זהו הומומורפיזם על.

תכונות

• אם ${\displaystyle R}$ הוא חוג חילופי, ו-${\displaystyle I}$ הוא אידיאל ב-${\displaystyle R}$, אז גם ${\displaystyle R/I}$ הוא חוג חילופי; ייתכן כי ${\displaystyle R/I}$ הוא חילופי בעוד ש-${\displaystyle R}$ אינו.

• הגרעין של ההעתקה הטבעית ${\displaystyle \rho :R\rightarrow R/I}$ שווה ל-${\displaystyle I}$. כיוון שהגרעין של הומומורפיזם של חוגים הוא תמיד אידיאל (דו-צדדי), ניתן לומר כי אידיאלים הם בדיוק גרעינים של הומומורפיזמים. ביתר כלליות, ההומומורפיזמים המוגדרים על חוג המנה ${\displaystyle R/I}$ שקולים להומומורפיזמים של חוגים המוגדרים על ${\displaystyle R}$ ואשר מתאפסים על ${\displaystyle I}$. ליתר דיוק, בהינתן אידיאל דו-צדדי ${\displaystyle I}$ בחוג ${\displaystyle R}$ והומומורפיזם של חוגים ${\displaystyle f:R\rightarrow S}$ אשר גרעינו מכיל את ${\displaystyle I}$, קיים הומומורפיזם יחיד ${\displaystyle g:R/I\rightarrow S}$ כך ש-${\displaystyle g\circ \rho =f}$. ההעתקה ${\displaystyle g}$ מוגדרת על ידי הכלל ${\displaystyle g([a])=f(a)}$.

• כמסקנה מכך מתקבל משפט האיזומורפיזם עבור חוגים: כל הומומורפיזם של חוגים ${\displaystyle f:R\rightarrow S}$ משרה איזומורפיזם בין חוג המנה ${\displaystyle R/\ker(f)}$ לתמונה ${\displaystyle Im(f)}$.

• בחוג חילופי ${\displaystyle R}$ מתקיים שאידיאל ${\displaystyle I}$ הוא ראשוני אם ורק אם חוג המנה ${\displaystyle R/I}$ הוא תחום שלמות. יתר על כן, ${\displaystyle I}$ הוא אידיאל מקסימלי אם ורק אם ${\displaystyle R/I}$ הוא חוג פשוט, ובמקרה הקומוטטיבי זה שקול להיותו שדה.

• באמצעות ההעתקה הטבעית מ-${\displaystyle R}$ ל-${\displaystyle R/I}$ ניתן להוכיח כי ישנם קשרים רבים בין האידיאלים בחוגים אלו: ישנה התאמה חד-חד-ערכית בין האידיאלים ב-${\displaystyle R}$ המכילים את ${\displaystyle I}$ לבין האידיאלים של ${\displaystyle R/I}$. יתר על כן, אם ${\displaystyle J}$ הוא אידיאל ב-${\displaystyle R}$ המכיל את ${\displaystyle I}$, ו-${\displaystyle J/I}$ היא התמונה שלו ב-${\displaystyle R/I}$, אז חוגי המנה ${\displaystyle R/J}$ ו-${\displaystyle (R/I)/(J/I)}$ איזומורפיים. ולכן מתקיים ש-${\displaystyle J}$ ראשוני/מקסימלי אם ורק אם ${\displaystyle J/I}$ מקסימלי/ראשוני.

דוגמאות

• הדוגמאות הקיצוניות ביותר של חוגי מנה מתקבלות מה"אידיאלים הקיצוניים ביותר" בחוג – אידיאל האפס והחוג כולו. לכל חוג ${\displaystyle R}$ מתקיים ${\displaystyle R/\{0\}\cong R}$ ו-${\displaystyle R/R\cong \{0\}}$. עובדות אלו מתאימות לכלל האצבע לפיו ככל שהאידיאל ${\displaystyle I}$ "גדול יותר" כך החוג ${\displaystyle R/I}$ "קטן יותר".

• בחוג המספרים השלמים ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, נסמן ב${\displaystyle n\mathbb {Z} }$ את האידיאל המכיל את כל הכפולות של מספר שלם נתון ${\displaystyle n}$. עבור ${\displaystyle x,y\in \mathbb {Z} }$ מתקיים ${\displaystyle x-y\in n\mathbb {Z} }$ אם ורק אם ל-${\displaystyle x,y}$ יש אותה שארית חלוקה ב-${\displaystyle n}$. לכן, חוג המנה ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ מכיל ${\displaystyle n}$ איברים – מחלקות השקילות תחת יחס החלוקה: ${\displaystyle \{[0],[1],\dots ,[n-1]\}}$. מבנה זה מקבל מבנה של חוג המנה מפעולות החיבור והכפל במספרים השלמים, והופך לחוג בפני עצמו – זהו חוג בסיסי במתמטיקה.

• בחוג הפולינומים מעל שדה המספרים הממשיים ${\displaystyle \mathbb {R} [x]}$, יהי ${\displaystyle I=\langle x^{2}+1\rangle }$, האידיאל המכיל את כל הכפולות של הפולינום ${\displaystyle x^{2}+1}$. חוג המנה ${\displaystyle \mathbb {R} [x]/\langle x^{2}+1\rangle }$ איזומורפי לשדה המספרים המרוכבים. הסיבה לכך היא שהמחלקה של האיבר ${\displaystyle [x]}$ מקיימת ש-${\displaystyle [x]^{2}+[1]=[x^{2}+1]=[0]}$, ולכן [x] הוא שורש ריבועי של מינוס אחד.

• באופן יותר כללי, חוגי מנה משמשים לבניית שדות הרחבה. נניח כי ${\displaystyle K}$ הוא שדה וכי ${\displaystyle f}$ הוא פולינום אי פריק ב-${\displaystyle K[x]}$. המנה ${\displaystyle L=K[x]/\langle f\rangle }$ היא שדה המכיל את ${\displaystyle K}$ ושהאיבר ${\displaystyle [x]}$ שבו מקיים שהפולינום המינימלי שלו מעל ${\displaystyle K}$ שווה ל-${\displaystyle f}$.

• שימוש חשוב בדוגמה האחרונה מתעורר בבעיית הבניה של שדות סופיים. לדוגמה, עבור ${\displaystyle F_{3}=\mathbb {Z} /3\mathbb {Z} }$, השדה בעל 3 איברים, הפולינום ${\displaystyle f(x)=x^{2}+1}$ הוא אי-פריק מעל ${\displaystyle F_{3}}$ (שכן אין לו שורשים), וניתן לבנות את חוג המנה ${\displaystyle F_{3}[x]/\langle f\rangle }$. זהו שדה עם ${\displaystyle 3^{2}=9}$ איברים. כל שדה סופי ניתן לבניה בדרך זו תוך שימוש בשדות מסדר ראשוני ופולינום אי פריק מכל מעלה.

• חוגי הקואורדינטות של יריעות אלגבריות מהווים דוגמה חשובה לחוגי מנה המופיעה בגאומטריה אלגברית. לדוגמה, עבור היריעה ${\displaystyle V=\{(x,y):x^{2}=y^{3}\}\subseteq \mathbb {R} ^{2}}$, ניתן לזהות את חוג הפונקציות הפולינומיות על היריעה עם חוג המנה ${\displaystyle \mathbb {R} [x,y]/(x^{2}-y^{3})}$, וזהו חוג הקואורדינטות של ${\displaystyle V}$. ניתן ללמוד על הגאומטריה של ${\displaystyle V}$ על ידי חקירה של חוג זה.

• נניח כי ${\displaystyle M}$ היא יריעה דיפרנציאלית וכי ${\displaystyle p}$ היא נקודה על ${\displaystyle M}$. בחוג ${\displaystyle R=C^{\infty }(M)}$ – חוג הפונקציות החלקות על ${\displaystyle M}$, יהי ${\displaystyle I}$ האידיאל של הפונקציות החלקות אשר מתאפסות בסביבה כלשהי של ${\displaystyle p}$. חוג המנה ${\displaystyle R/I}$ נקרא חוג הנבטים של ${\displaystyle M}$ ב-${\displaystyle p}$. באמצעות חוג זה ניתן ללמוד על הגאומטריה של ${\displaystyle M}$ קרוב ל-${\displaystyle p}$.

ראו גם

• משפט השאריות הסיני

קישורים חיצוניים

• חוג מנה, באתר MathWorld (באנגלית)