אלגברה עם חזקה אסוציאטיבית

באלגברה, אלגברה עם חזקה אסוציאטיבית היא אלגברה לא אסוציאטיבית, שבה החזקות ${\displaystyle x^{n}}$ מוגדרות היטב, ללא צורך בסוגריים; למשל ${\displaystyle x((xx)x)=(xx)(xx)}$, וכן הלאה. למחלקה זו שייכת המשפחה הרחבה של אלגברות ז'ורדן לא קומוטטיביות, הכוללת את כל האלגברות האלטרנטיביות (ובכללן האלגברות האסוציאטיביות), אלגברות ז'ורדן, ואלגברות לי.

הגדרה אקסיומטית

בכל אלגברה לא אסוציאטיבית אפשר להגדיר את החזקות באינדוקציה: ${\displaystyle x^{n+1}=x\cdot x^{n}}$, כאשר ${\displaystyle x^{1}=x}$. לאלגברה יש חזקה אסוציאטיבית (ח"א) אם מתקיים ${\displaystyle x^{i}\cdot x^{j}=x^{i+j}}$ לכל ${\displaystyle i,j}$.

בפרט, הקומוטטור ${\displaystyle [x,x^{2}]}$ והאסוציאטור ${\displaystyle (x,x,x^{2})=x^{2}\cdot x^{2}-x\cdot x^{3}}$ מתאפסים. במאפיין אפס, הזהות הכללית נובעת משתי הנחות אלה. במאפיין שאינו 2, 3 או 5, כל אלגברה קומוטטיבית המקיימת את הזהות ${\displaystyle x^{2}\cdot x^{2}=x\cdot x^{3}}$ היא אלגברה (קומוטטיבית) עם חזקות אסוציאטיביות; במאפיין 3 ו-5 יש צורך גם בזהויות מדרגה 5 או 6 כדי להגיע לאותה מסקנה.

באלגברה יש חזקה אסוציאטיבית אם כל תת-אלגברה הנוצרת על ידי איבר אחד היא אסוציאטיבית. לשם השוואה, אלגברה היא אלטרנטיבית אם כל תת-אלגברה הנוצרת על ידי שני איברים היא אסוציאטיבית.

חזקה אסוציאטיבית בהחלט

לאלגברה ${\displaystyle A}$ יש חזקה אסוציאטיבית בהחלט (strictly power-associative) אם יש לה חזקה אסוציאטיבית לאחר כל הרחבת סקלרים, כלומר כל האלגברות ${\displaystyle A\otimes _{F}K}$ הן בעלות חזקה אסוציאטיבית (כאשר ${\displaystyle K/F}$ הרחבת שדות כלשהי). במאפיין שאינו 2, 3 או 5, כל אלגברה קומוטטיבית בעלת חזקה אסוציאטיבית היא בעלת חזקה אסוציאטיבית בהחלט.

המעטפת הקומוטטיבית

במאפיין שונה מ-2, אפשר להגדיר פעולה חדשה על המרחב הווקטורי של האלגברה ${\displaystyle A}$, לפי ${\displaystyle x*y={\frac {1}{2}}(xy+yx)}$. באלגברה בעלת חזקה אסוציאטיבית, האלגברה המתקבלת, המסומנת ב-${\displaystyle A^{+}}$, היא קומוטטיבית ובעלת חזקה אסוציאטיבית. מכיוון שלשתי האלגברות אותו מבנה חיבורי, אפשר להעביר תכונות שונות של ${\displaystyle A^{+}}$ גם ל-${\displaystyle A}$.

תורת מבנה

לאלגברות בעלות חזקה אסוציאטיבית מממד סופי יש רדיקל נילי (היינו, אידיאל נילי מקסימלי יחיד), ${\displaystyle N}$; הרדיקל הנילי הוא נילפוטנטי. הרדיקל הנילי מכיל את הרדיקל הפתיר של האלגברה. בעיית אלברט שואלת האם הרדיקל הנילי שווה לרדיקל הפתיר בכל אלגברה קומוטטיבית עם חזקה אסוציאטיבית. אלגברה קומוטטיבית פתירה ונילית עם חזקה אסוציאטיבית אינה בהכרח נילפוטנטית (Suttles, 1972).

אם ${\displaystyle N=0}$, האלגברה היא פשוטה למחצה, ואם ${\displaystyle N=A}$ הוא האלגברה כולה, זוהי אלגברה נילית. לדוגמה, כל אלגברת לי היא אלגברה נילית. במאפיין אפס, כל אלגברה קומוטטיבית בעלת ח"א שהיא פשוטה למחצה, היא אלגברת ז'ורדן. בכל מאפיין שאינו שתיים, אלגברה קומוטטיבית בעלת ח"א בהחלט, שהיא פשוטה ואינה נילית, ושקיימת לה הרחבת סקלרים עם שלושה אידמפוטנטים אורתוגונליים, היא אלגברת ז'ורדן.

במאפיין שונה מ-5, לאלגברה ${\displaystyle A}$ עם חזקה אסוציאטיבית שיש לה תבנית ביליניארית סימטרית אסוציאטיבית (בדומה לאלגברות פרובניוס) כך ש-${\displaystyle (e,e)\neq 0}$ אם ${\displaystyle e\neq 0}$ הוא אידמפוטנט ו-${\displaystyle (x,y)=0}$ אם ${\displaystyle xy}$ נילפוטנט, ${\displaystyle A/\operatorname {Nil} A}$ אלגברת ז'ורדן לא קומוטטיבית, כאשר ${\displaystyle \operatorname {Nil} A}$ הוא הרדיקל של התבנית.

פירוק פירס

בכל אלגברה עם ח"א מממד סופי, שאינה נילית (ואפילו אם אין מניחים שיש בה איבר יחידה), יש אידמפוטנטים (איברים המקיימים את השוויון ${\displaystyle e^{2}=e}$). קיומם של אלה מאפשר לפרק את האלגברה למעין מרחבים עצמיים, כמו במקרה האסוציאטיבי, כפי שיוסבר להלן.

כל אידמפוטנט של ${\displaystyle A}$ הוא גם אידמפוטנט של ${\displaystyle A^{+}}$, והפירוק של ${\displaystyle A}$ מתקבל מפירוק מקביל של ${\displaystyle A^{+}}$. על-כן נניח בהמשך הסעיף שהמאפיין של שדה הבסיס שונה מ-2. אם ${\displaystyle e}$ אידמפוטנט, אז אפשר לפרק את האלגברה לסכום ישר ${\displaystyle A=A_{0}\oplus A_{1/2}\oplus A_{1}}$, כאשר ${\displaystyle A_{i}=\{x:xe+ex=2ix\}}$; למעשה ${\displaystyle A_{0}=\{x:xe=ex=0\}}$ בעוד ש-${\displaystyle A_{1}=\{x:xe=ex=x\}}$ (ולכן ${\displaystyle e\in A_{1}}$ הוא איבר יחידה שם).

במקרה הקומוטטיבי, מרכיבי הפירוק מקיימים את היחסים הבאים: ${\displaystyle A_{0}A_{1}=0}$, ${\displaystyle A_{1/2}A_{1/2}\subseteq A_{0}+A_{1}}$, ו-${\displaystyle A_{i}A_{1/2}\subseteq A_{1/2}+A_{1-i}}$ עבור ${\displaystyle i=0,1}$. לשם השוואה, בפירוק פירס של אלגברת ז'ורדן (שהיא תמיד קומוטטיבית ובעלת חזקה אסוציאטיבית) מתקיים היחס החזק יותר, ${\displaystyle A_{i}A_{1/2}\subseteq A_{1/2}}$ עבור ${\displaystyle i=0,1}$.

בנוסף לזה, אם מסמנים ב-${\displaystyle h:A\rightarrow A_{1/2}}$ את ההיטל על המרכיב המתאים בפירוק לעיל, אז ${\displaystyle x\mapsto 2\cdot h\circ L_{x}}$ מגדיר הומומורפיזמים של אלגברות, מ-${\displaystyle A_{0},A_{1}}$ לאלגברת ז'ורדן המיוחדת ${\displaystyle H^{+}}$, כאשר ${\displaystyle H=\operatorname {Hom} (A_{1/2})}$.

אלגברות חילוק

באלגברת חילוק מממד סופי שהיא בעלת ח"א בהחלט, יש איבר יחידה.

במאפיין שונה מ-2, 3 ו-5, לא קיימת אלגברת חילוק סופית בעלת ח"א, שאינה שדה. תוצאה זו נכונה גם במאפיין 3 או 5 אם מניחים ח"א בהחלט^[1]

מקורות

• An Introduction to Nonassociative Algebra, R. D. Schafer.
• L.A. Kokoris, New Results on Power-Associative Algebras, Transactions of the American Mathematical Society 77(3), 363-373 (1954).

קישורים חיצוניים

• אלגברה עם חזקה אסוציאטיבית, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים

1. זו הכללה של המשפט הקטן של ודרברן, שהוכיח A.A.Albert ב-1958; ראה Finite Power-associative division rings, K. McCrimmon, 1966.