ממד גלפנד-קירילוב

בתורת החוגים, ממד גלפנד-קירילוב הוא מספר ממשי אי-שלילי המותאם למודול מעל אלגברה. הממד הוא מדד לקצב הגידול של המודול ומכליל את המונח ממד קרול של מודול מעל אלגברה קומוטטיבית, תוך שהוא מקיים חלק מהתכונות שלו. במקור, הממד הוגדר בהקשר של מעלת טרנסצנדנטיות לא-קומוטטיבית, שאפשרה להוכיח כי חוגי השברים של אלגברות וייל שונות אינם איזומורפיים זה לזה.

מקרה פרטי וחשוב שבו נחוץ ממד זה הוא כשרואים את האלגברה כמודול מעל עצמה (לזה קוראים 'ממד גלפנד-קירילוב של האלגברה'). עבור אלגברה אפינית, ניתן לחשב את הממד באמצעות בחירת קבוצת יוצרים (סופית) וחישוב ממדי המרחבים הווקטוריים הנפרשים באמצעות מילים (מונומים) באותם יוצרים. כך בא לביטוי אופייה הקומבינטורי של האלגברה בחישוב הממד. ממד גלפנד-קירילוב שימושי בגאומטריה לא קומוטטיבית, שם משתמשים בו כדי למיין יריעות לא קומוטטיביות.

הגדרה

יהי ${\displaystyle k}$ שדה ו ${\displaystyle R}$ אלגברה מעליו. יהי ${\displaystyle M}$ מודול מעל ${\displaystyle R}$. ממד גלפנד-קירילוב של ${\displaystyle M}$ מעל ${\displaystyle R}$ מוגדר בתור:

${\displaystyle \operatorname {GKdim} _{R}(M)=\sup \limsup _{n\to \infty }{\frac {\log \dim _{k}M_{0}V^{n}}{\log n}}}$

כאשר הסופרמום עובר על כל תתי המרחבים ממד סופי ${\displaystyle V\subset R}$ ו-${\displaystyle M_{0}\subset M}$.

הממד נדון בהרחבה במקרה שבו רואים את האלגברה ${\displaystyle R}$ כמודול מעל עצמה, במקרה כזה הוא נקרא ממד גלפנד-קירילוב של האלגברה. לעיתים אומרים כי אלגברה בעלת ממד גלפנד-קירילוב סופי היא בעלת גידול חסום פולינומית.^[1]

תכונות

• הערכים האפשריים לממד גלפנד-קירילוב הם ${\displaystyle \{0,1\}\cup [2,\infty ]}$.^[2]
• הממד מונוטוני לאלגברות מנה (מעל שדה הבסיס), ומתקיים: ${\displaystyle \operatorname {GKdim} (A\times B)=\max\{\operatorname {GKdim} (A),\operatorname {GKdim} (B)\},\ \operatorname {GKdim} (A\otimes _{F}B)\leq \operatorname {GKdim} (A)+\operatorname {GKdim} (B)}$ (הממד אינו חיבורי ביחס למכפלה טנזורית).
• ממד גלפנד-קירילוב של אלגברה נוצרת סופית הוא אפס אם ורק אם הממד שלה (כמרחב וקטורי) סופי. אם האלגברה אינה אפינית הטענה איננה נכונה (דוגמה נגדית היא הגבול הישר של כל חוגי המטריצות מעל שדה קבוע).
• לפי משפט של סמול, סטאפורד ווארפילד^[3] כל אלגברה נוצרת סופית מממד גלפנד-קירילוב 1 היא אלגברה עם זהויות.
• במקרה הקומוטטיבי, ממד גלפנד-קירילוב של אלגברה נוצרת סופית מתלכד עם ממד קרול (האורך המקסימלי של שרשרת אידיאלים ראשוניים), ולכן עם דרגת הטרנסצנדנטיות של שדה השברים. בפרט, הוא תמיד שלם. לכל אלגברת-PI נוצרת סופית יש ממד גלפנד-קירילוב סופי (זו תוצאה ממשפט הבסיס של שירשוב). הממד של אלגברת-PI ניתנת להצגה (כלומר, כזו המשוכנת בחוג מטריצות מעל חוג קומוטטיבי, למשל אלגברה ראשונית עם זהויות), וכן של כל אלגברת-PI נותרית הוא שלם, אך קיימות אלגברות-PI (נוצרות סופית) עם ממד לא שלם.
• לפי משפט של Smoktunowicz אין תחומים מדורגים עם ממד לא שלם בין 2 ל־3.
• האי-שוויון של ברנשטיין קובע כי ממד גלפנד-קירילוב של כל מודול נוצר סופית (לא אפסי) מעל אלגברת וייל מסדר n מעל שדה ממאפיין אפס אינו קטן מ-n.

חבורות

ממד גלפנד-קירילוב של חבורה נוצרת סופית מוגדר בתור הממד של אלגברת החבורה שלה (מעל שדה שרירותי; ממד גלפנד-קירילוב של החבורה אינו תלוי בשדה הבסיס). בפרט, הגידול של חבורה הוא פולינומי אם ורק אם ממד גלפנד-קירילוב שלה סופי. משפט גרומוב קובע כי חבורה היא מגידול פולינומי אם ורק אם היא מכילה תת-חבורה נילפוטנטית מאינקס סופי.

בניות

• יש דוגמות לאלגברות אפיניות מממד שרירותי (גדול מ־2 או שווה לו). יתרה מזאת, ישנן דוגמות כאלה לאלגברות אפיניות פרימיטיביות^[4] מעל כל שדה^[5] ואף לאלגברות פשוטות.
• יש דוגמה^[6] לאלגברה אפינית, נילית (ובפרט אלגברית) מממד גלפנד קירילוב 3 (בפרט, זוהי דוגמה נגדית לבעיית קורוש בעלת גידול פולינומי).
• לכל מספר ממשי הגדול או שווה ל-8, קיימת אלגברה אפינית נילית עם מספר זה בתור ממד גלפנד-קירילוב שלה.

בגאומטריה לא קומוטטיבית

הממד של סכמה פרויקטיבית לא קומוטטיבית

כתחליף לממד קרול השווה לממד הטופולוגי של סכמות קומוטטיביות, מגדירים ממדים של סכמות לא קומוטטיביות (הגדרת הסכמה עצמה איננה עניין של מה בכך) באמצעות התאמת תחום אפיני נותרי (מעל שדה סגור אלגברית) לסכמה (למעשה הסכמה 'באה' מחוג כזה) והתבוננות בממד גלפנד קירילוב ובממד הגלובלי שלו. כך, ניתן להגדיר עקומים לא קומוטטיביים, משטחים לא קומוטטיביים וכן הלאה. ניתן לומר כי מיון העקומים הלא קומוטטיביים הושלם בידי מייקל ארטין וסטאפורד. הדבר נעשה בהסתמך על עבודות קודמות, שמבטיחות שתחום אפיני מעל שדה סגור אלגברית מממד אחד הוא קומוטטיבי.^[7] באשר למשטחים לא קומוטטיביים (או ליריעות לא קומוטטיביות מממדים גבוהים יותר) המצב שונה.

דרגת טרנסצנדנטיות לא קומוטטיבית

כל תחום שאינו מכיל תת-אלגברה חופשית משוכן בחוג עם חילוק, וממילא כל תחום מממד גלפנד-קירילוב סופי משוכן בחוג עם חילוק. עם זאת, פעמים רבות חוג השברים מכיל תת-אלגברה חופשית (אף שהחוג המקורי לא הכיל), ולכן ממד גלפנד-קירילוב שלו הוא אינסוף; לפיכך נחוץ אינווריאנט עדין יותר. בדומה למצב בגאומטריה אלגברית קומוטטיבית, ניתן להגדיר דרגת טרנסצנדנטיות^[8] לחוג עם חילוק באופן הבא: $${\displaystyle \operatorname {Tdeg} (D)=\sup _{V}\inf _{b\in D\setminus \{0\}}\limsup _{n\rightarrow \infty }\log _{n}\dim _{F}(F+bV)^{n}}$$ כאשר הסופרמום עובר על כל תתי-המרחבים הסוף-ממדיים של האלגברה. הגדרה זו, הנראית מעט מסורבלת במבט ראשון, מתבררת כמכשיר נוח וטבעי למדידת דרגת הטרנסצנדנטיות של אלגברות חילוק. ואמנם, גלפנד וקירילוב חישבו כי ${\displaystyle \operatorname {Tdeg} (D_{n})=2n}$ עבור חוגי השברים של אלגברות וייל; מכאן נובע שחוגי שברים אלו אינם איזומורפיים זה לזה. הדבר נעשה כחלק מעבודתם על מה שכונה השערת גלפנד-קירילוב. עבור חוגי שברים ${\displaystyle D=Q(A)}$ ניתן לבטא את דרגת הטרנסצנדנטיות באמצעות הנוסחה הקומפקטית יותר הבאה: $${\displaystyle \operatorname {Tdeg} (D)=\inf _{b\in D\setminus \{0\}}\operatorname {GKdim} (F[bV])}$$ כאשר האינפימום עובר על תתי-מרחבים המכילים את 1 ומקיימים ${\displaystyle Q(F[V])=D}$ (כלומר יוצרים אלגברה שחוג השברים שלה הוא כל החוג הנתון).

דיכוטומיה בממד 2

מכיוון ש-2 הוא הערך המינימלי האפשרי לאלגברה אפינית, שאינו מבטיח בוודאות שהיא מקיימת זהות פולינומית, התנהגותה של אלגברה מממד כזה (ותורת המבנה שלה) מעניינות במיוחד. אומרים שלאלגברה יש גידול ריבועי אם פונקציית הגידול שלה חסומה על ידי פולינום ממעלה שנייה.

בראון וסמול שאלו האם אלגברה אפינית, ראשונית ונותרית מממד 2 היא בהכרח פרימיטיבית או מקיימת זהות פולינומית. בניסוחה זה השאלה נותרה פתוחה, אבל היא נפתרה (לחיוב או לשלילה) בכמה מקרים חשובים. לשאלה תשובה חיובית במקרים הבאים:

• אם שדה הבסיס אינו בן-מנייה והאלגברה בעלת גידול ריבועי (במקרה זה אין צורך להניח נותריות, ומספיק להניח כי האלגברה היא Goldie).
• אם האלגברה היא תחום מדורג.
• אם האלגברה כמעט-סוף ממדית (במובן שכל מנה אמיתית שלה היא סוף-ממדית) ופרימיטיבית למחצה.
• אם האלגברה מוצגת סופית מונומיאלית.
• אם האלגברה מדורגת (על ידי חבורת המספרים השלמים), נוצרת על ידי איברים מדרגות 0,1 ו-1- וכמעט כל רכיביה ההומוגניים אינם מתאפסים (במקרה זה מספיק להניח כי ממד האלגברה קטן ממש מ-3, ואף אין צורך בהנחת הנותריות).

עם זאת:

• התשובה שלילית אם אין מניחים נותריות, ואף קיימת דוגמה כזו, מונומיאלית מגידול ריבועי (ולכן הנחת האי-התאפסות של הרכיבים ההומוגניים בטענה האחרונה אכן הכרחית).

בנוסף, סמול שאל האם תיתכנה לאלגברה נוצרת סופית, ראשונית מממד 2 הצגות אי-פריקות מממדים סופיים אך לא חסומים. לשאלה זו דוגמה נגדית (מונומיאלית, על ידי Jason Bell וסמוקטונוביץ' שגם הוכיחו כי אם הגידול ריבועי אז אלגברה מונומיאלית אינה יכולה לשמש כדוגמה נגדית עוד).

לקריאה נוספת

• G. Krause, T.H. Lenagan Growth of algebras and Gelfand-Kirillov dimension

הערות שוליים

1. 'גידול פולינומי' הוא טיפוס גידול של פולינום, ואולם אלגברה בעלת פונקציית הגידול ${\displaystyle n^{2}\log n}$ היא בעלת גידול חסום פולינומית, שאינו פולינומי בעצמו.
2. Bergman, G. M., A note of growth functions of algebras and semigroups. Mimeographed notes, University of California, Berkeley 1978
3. L. W. Small, J. T. Stafford and R. B. Warfield, Affine algebras of Gelfand-Kirillov dimension one are PI
4. W. Borho, H. Kraft Über die Gelfand-Kirillov-Dimension Math. Ann., 220 (1976), pp. 1–24
5. Uzi Vishne, Primitive Algebras with Arbitrary Gelfand-Kirillov Dimension
6. T. H. LENAGAN AND AGATA SMOKTUNOWICZ, AN INFINITE DIMENSIONAL AFFINE NIL ALGEBRA WITH FINITE GELFAND-KIRILLOV DIMENSION
7. Stafford, J. T., Van den Bergh, M., Noncommutative curves and noncommutative surfaces, Bull. Amer. Math. Soc. 38 (2001) 171–216
8. J. Zhang, ON GELFAND-KIRILLOV TRANSCENDENCE DEGREE, Trans. AMS 348 (7), 1996.