kokonaisuuden eri osien yhdenmukaisuus From Wikipedia, the free encyclopedia
Symmetria merkitsee tasasuhtaisuutta, kokonaisuuden eri osien välistä yhdenmukaisuutta.[1] Laajemmassa merkityksessä symmetria voi tarkoittaa sopusuhtaista ja kaunista suhdetta ja tasapainoa.[2][3] Täsmällisemmässä matemaattisessa merkityksessä symmetrialla tarkoitetaan jonkin kokonaisuuden eri osien yhtäläisyyttä, joka voidaan osoittaa jossakin muodollisessa järjestelmässä kuten geometriassa tai fysiikassa.
.svg)
Sana symmetria johtuu kreikan kielen sanoista συμμετρεῖν (symmetrein), joka merkitsee yhteismitallisuutta.[1]
Vaikka nämä kaksi merkitystä voidaan erottaa toisistaan, ne liittyvät läheisesti toisiinsa, minkä vuoksi tässä artikkelissa käsitellään molempia.[3][4]
Matemaattinen symmetria voidaan havaita
Tämä artikkeli käsittelee symmetriakäsitteitä neljältä näkökannalta. Ensimmäinen on symmetria geometriassa, joka on monille henkilöille tutuin symmetrian muoto. Toinen on symmetrian yleisempi merkitys koko matematiikassa. Kolmas käsittelee symmetriaa sellaisena kuin se esiintyy tieteessä ja teknologiassa. Tässä mielessä symmetria liittyy modernin fysiikan syvällisimpiin tuloksiin, myös käsityksiin ajasta ja avaruudesta. Neljäs näkökohta liittyy symmetriaan humanistisilla aloilla ja käsittelee sen rikasta ja monimuotoista käyttöä historiassa, arkkitehtuurissa, taiteessa ja uskonnossa.
Symmetrian vastakohta on asymmetria.
Monille ihmisille tutuin symmetrian muoto on geometrinen symmetria. Kuvion tai kappaleen geometrinen symmetria merkitsee sitä, että on olemassa joukko geometrisia kuvauksia, jotka säilyttävät kuvion kappaleen ennallaan. Nämä kuvaukset muodostavat aina jonkin algebrallisen ryhmän, jota sanotaan kuvion tai kappaleen symmetriaryhmäksi. Kappaleen symmetriaryhmän määrittelee se, missä eri muunnoksissa se säilyy muuttumattomana.
Tärkeitä geometrisia kuvauksia ovat erityisesti yhtenevyyskuvaukset eli isometriat, joita ovat peilaukset, rotaatiot, translaatiot ja näistä yhdistetyt kuvaukset.[7]
Usein symmetrialla tarkoitetaan nimenomaan peilisymmetria eli bilateraalista symmetriaa, joka merkitsee symmetriaa peilauksen suhteen.
Kohdetta, joka on yhtäläinen peilikuvansa kanssa, sanotaan peilisymmetriseksi. Yksiulotteisella peilisymmetrisellä kohteella on symmetriakeskus, kaksiulotteisella symmetria-akseli ja kolmiulotteisella symmetriataso.
Kaksiulotteisen kuvion symmetria-akseli on sellainen suora, että jos sille piirretään normaali, mitkä tahansa kaksi pistettä, jotka ovat tällä normaalilla yhtä etäällä symmetria-akselista, joko kuuluvat molemmat kyseiseen kuvioon tai kumpikaan ei siihen kuulu. Toinen tapa käsittää asia on, että jos kuvio taitetaan akselia pitkin, molemmat puoliskot ovat samanlaiset; ne ovat toistensa peilikuvia. Niinpä neliöllä on neljä symmetria-akselia, koska on neljä tapaa taittaa se niin, että kaikki sivut sattuvat kohdalleen. Ympyrällä on vastaavasta syystä äärettömän monta symmetria-akselia; jokainen sen keskipisteen kautta kulkeva suora on sen symmetria-akseli. Jos kolmiolla on symmetria-akseli, se on tasakylkinen.
Tasokuvio voidaan siirtää tasossa translaatioiden ja rotaatioiden avulla peilikuvansa päälle, jos ja vain jos sillä on ainakin yksi symmetria-akseli.[8] Samoin jokainen kolmiulotteinen kappale, jolla on ainakin yksi symmetriataso, voidaan siirtää kolmiulotteisessa avaruudessa peilikuvansa päälle. On kuitenkin olemassa myös kolmiulotteisia kappaleita, joilla ei ole symmetriatasoa, mutta jotka kuitenkin voidaan siirtää peilikuvansa päälle. Sellaisilla kappaleilla on rotorefleksiosymmetria (katso jäljempää).[9]
Peilisymmetrian yleistyksinä voidaan pitää muita mm-ulotteisen avaruuden isometrioita, jotka ovat involuutioita, kuten
jossakin karteesisessa koordinaatistossa. Tämä peilaa avaruuden jonkin m-k -ulotteisen affiinin aliavaruuden suhteen. Jos k=m, tällaista muunnosta sanotaan peilaukseksi pisteen suhteen, joka tasossa (m=2) on sama kuin 180 asteen rotaatio.
Tällainen "peilaus" säilyttää orientaation, jos ja vain jos k on parillinen. Tästä seuraa, että kolmiulotteisen avaruuden peilauksessa pisteen suhteen orientaatio ei säily, vaan vasen ja oikea vaihtuvat saman tapaan kuin peilikuvassa. Tästä syystä fysiikassa termiä P-symmetria käytetään viittaamaan sekä symmetriaa pisteen että tason suhteen; P tulee sanasta pariteetti.
Piste, jonka suhteen peilattaessa jokin kuvio pysyy ennallaan, on tämän kuvion symmetriakeskus. Esimerkiksi suunnikkailla on symmetriakeskus, joka on sen lävistäjien leikkauspiste. Esimerkkeinä tasokuvioista, joilla on symmetriakeskus, mutta ei symmetria-akselia, voidaan mainita S-kirjain ja hakaristi.
Pyörähdyssymmetria on symmetriaa kaikkien tai joidenkin rotaatioiden suhteen m-ulotteisessa euklidisessa avaruudessa. Rotaatiot ovat suoria isometrioita, toisin sanoen niissä orientaatio säilyy. Tämän vuoksi rotaatiosymmetrian symmetriaryhmä on jokin E+(m):n aliryhmä.
Pyörähdyskappale on kappale, joka on symmetrinen kaikkien tietyn akselin ympäri tehtyjen rotaatioiden suhteen. Esimerkiksi kartio ja lieriö ovat pyörähdyskappaleita.
Tasokuviosta ympyrä on symmetrinen kaikkien sen keskipisteen ympäri tehtyjen rotaatioiden suhteen. Jokainen säännöllinen n-kulmio on symmetrinen sellaisten sen keskipisteen ympäri rotaatioiden suhteen, joissa kiertokulma on 360°/n tai jokin tämän monikerta.
Jos jokin asia on symmetrinen kaikkien, minkä tahansa pisteen ympäri tehtyjen rotaatioiden suhteen, se on myös symmetrinen kaikkien siirtojen suhteen, minkä vuoksi symmetriaryhmä on koko E+(m). Tällaisia kappaleita ei ole, koska ne täyttäisivät koko avaruuden, mutta tällainen symmetria on monilla fysikaalisilla laeilla.
Kun kohde on symmetrinen jonkin pisteen ympäri tehtyjen rotaatioiden suhteen, tämä piste voidaan valita origoksi. Nämä rotaatiot muodostavat spesiaalisen ortogonaalisen ryhmän SO(m), joka on isomorfinen sellaisten ortogonaalisten m × m-matriisien ryhmän kanssa, joiden determinantti on 1. Kun m=3, kyseessä on rotaatioryhmä SO(3).
Fysiikan lait ovat SO(3)-symmetrisiä, jos ne eivät tee eroa avaruuden eri suuntien välillä. Noetherin teoreeman mukaan fysikaalisen systeemin pyörähdyssymmetria on yhtäpitävä pyörimismäärän säilymislain kanssa.
Siirtosymmetria eli translationaalinen symmetria merkitsee sitä, että kohde pysyy ennallaan joko kaikissa tai joissakin avaruuden translaatioissa
.
Liukuheijastussymmetria (kolmessa ulottuvuudessa liukutasosymmetria) merkitsee sitä, että peilaus suoran tai tason suhteen yhdistettynä siirtoon tätä suoraa tai tasoa pitkin tuottaa tuloksena alkuperäisen kohteen. Jos kohteella on tällainen symmetria, se on myös siirtosymmetrinen sellaisen translaation suhteen, jossa siirtovektori on kaksinkertainen. Symmetriaryhmä on isomorfinen kokonaislukujen joukon kanssa.
Kolmessa ulottuvuudessa rotorefleksio eli epäaito rotaatio merkitsee rotaatiota jonkin akselin ympäri yhdistettynä peilaukseen jonkin sitä vastaan kohtisuoran tason suhteen, johon tämä akseli sisältyy. Tällaisen rotorefleksion symmetriaryhmä on eri tapauksissa erilainen: se voi olla joko:
Jos taas n on parillinen, tämä ei ole perustava symmetria vaan yhdistelmä.
Rotorefleksiosymmetrisillä kappaleilla ei yleensä ole symmetriatasoa, mutta siitä huolimatta ne voidaan siirtää kolmiulotteisessa avaruudessa peilikuvansa päälle. Yksinkertaisin sellainen kappale voidaan helposti tehdä taittelemalla neliönmuotoisen paperipalan reunoja. Tällaista symmetriaa esiintyy myös kiderakenteissa.[9]
Kierteinen eli helikaalinen symmetria on monilla tutuilla esineillä kuten kierrejousilla, poranterillä ja ruuveilla. Symmetriaoperaation muodostaa tällöin rotaatio akselin ympäri yhdistettynä tietyn suuruiseen siirtoon tätä akselia pitkin. Tämä voidaan ajatella saatavan aikaan kun se siirtyy tätä akselia pitkin tasaisella nopeudella. Joka hetki näiden liikkeiden välillä on vakiona pysyvä kulma, kiertokulma, jonka mukaan kohteen ominaisuudet tarkemmin määräytyvät. Jos kulmanopeus on suuri ja etenemisnopeus pieni, kiertokulma on lähellä nollaa, Jos taas pyöriminen on hidasta ja eteneminen nopeaa, kiertokulma on lähellä 90 astetta.
Kiertokulman ja akselin suuntaisten siirtosymmetrioiden perusteella voidaan erottaa kolme erityyppistä kierteistä symmetriaa:
Geometrisen symmetrian määritelmää voidaan laajentaa niin, että se käsittää muitakin kuin euklidiset isometriat. Esimerkkejä laajemmista geometrisista symmetriaryhmistä ovat;
Felix Kleinin Erlangenin ohjelmassa jokainen mahdollinen symmetriaryhmä määrittelee geometrian, jossa kohteet, jotka jokin symmetriaryhmän alkio yhdistää toisiinsa, katsotaan yhtäläisiksi. Esimerkiksi euklidinen ryhmä määrittelee euklidisen geometrian, kun taas Möbius-kuvausten ryhmä määrittelee projektiivisen geometrian.
Skaalasymmetria viittaa käsitykseen, että jos kappaleen kokoa suurennetaan tai pienennetään, tuloksena saadulla kappaleella on samat ominaisuudet kuin alkuperäisellä. Skaalasymmetriasta on huomattava, että useimmilla fysikaalilla systeemeillä sitä ei ole, mihin ensimmäisenä kiinnitti huomionsa Galileo Galilei. Esimerkkinä skaalasymmetrian puuttumisesta voidaan mainita, että erikokoisilla eläimillä, esimerkiksi norsuilla ja hiirillä raajojen suhteellinen osuus eläimen massasta ja niiden voimakkuus on aivan erilainen, samoin se seikka, että jos pehmeästä vahasta valmistettu kynttilä tehtäisiin suuren puun kokoiseksi, se luhistuisi välittömästi oman painonsa vuoksi. Tämä johtuu siitä, että pituus skaalautuu skaalaustekijän ensimmäiseen potenssiin, pinta-ala toiseen ja tilavuus skaalan kolmanteen potenssiin. Jos tiheys pysyy vakiona niin myös paino skaalautuu mittakaavan kolmanteen potenssiin.
Skaalasymmetriaa kuitenkin voidaan havainnollistaa fraktaaleilla. Benoit Mandelbrot määritteli fraktaalin matemaattiseksi olioksi, joka näyttää samankaltaiselta tai jopa täysin samanlaiselta riippumatta siitä, kuinka suurella suurennuksella sitä katsotaan. Rantaviiva on usein mainittu esimerkki luonnossa esiintyvästä fraktaalista, sillä se näyttää jokseenkin yhtä mutkikkaalta kaikilla tasoilla, katsottinpa sitä satelliittikuvasta tai tutkimalla mikroskoopilla, miten vesi työntyy yksittäisten hiekanjyvästen väliin. Samaan tapaan puiden pienet oksat ovat muodoltaan usein ikään kuin kokonaisen puun pienoismalleja. Matemaattisesti merkittävämpi esimerkki fraktaalista on Mandelbrotin joukko. Fraktaalit ovat saaneet huomattavan merkityksen myös tietokonegrafiikassa.
Matemaattisen objektin sanotaan olevan symmetrinen jonkin matemaattisen operaation suhteen, jos tässä operaatiossa jokin objektin ominaisuus säilyy. Operaatiot, jotka säilyttävät jonkin tietyn ominaisuuden, muodostavat aina ryhmän. Kaksi eri objektia ovat keskenään symmetrisiä jonkin operaatioiden ryhmän suhteen, jos kumpikin niistä saadaan toisistaan jollakin näistä operaatioista.
Symmetriaryhmiä käytetään erityisesti kvanttikemian, spektroskopian, kristallografian ja hiukkasfysiikan tutkimuksessa. Symmetrian matemaattisia ominaisuuksia käsitellään ryhmäteoriassa.
Annetun joukon X kaikkiin alkioihin kohdistuvien kaikkien symmetriaoperaatioiden joukkoa voidaan mallintaa ryhmäoperaatiolla g : G × X → X, missä g on ryhmään G kuuluva operaatio, ja x:n kuva X:ssä merkitään g•x. Jos jollakin g:llä pätee g•x = y, sanotaan x:n ja y:n olevan symmetrisiä toisiinsa nähden. Jokaista alkiota x kohti ne operaatiot g, joille pätee g•x = x, muodostavat ryhmän, alkion symmetriaryhmän, joka on G:n aliryhmä. Jos symmetriaryhmä x on triviaali ryhmä, jossa on vain neutraalialkio, x:n sanotaan olevan asymmetrinen, muussa tapauksessa symmetrinen.
Annetussa symmetriaryhmässä kohteen osan ominaisuudet määrittävä koko kohteen. Jos katsotaan ekvivalenteiksi ne pisteet, joilla on symmetrian vuoksi samat ominaisuudet, ekvivalenssiluokkia ovat koko avaruuden ryhmäoperaation radat. Koko kohteen määrittämiseksi on vain tiedettävä x:n arvo jokaisen radan yhdessä pisteessä. Vektoriavaruuden tapauksessa translationaalinen symmetria ei kuitenkaan merkitse heijastussymmetriaa: funktion arvo on vakio, mutta jos siihen sisältyy muitakin kuin nollavektori, ei ole heijastussymmetriaa. Jos myös heijastussymmetria esiintyy, vakiofunktio ei sisällä muita vektoreita kuin nollavektorin, mutta sillä voi olla nollasta poikkeavia pseudovektoreita. Tällaisen kolmiulotteisen esimerkin muodostaa ääretön lieriö, jossa on sen akselia vastaan kohtisuora sähkövirta; magneettikenttä, joka on pseudovektori, on lieriön suuntainen ja vakio, mutta ei nolla. Vektorit, erityisesti virrantiheys, ovat symmetrisiä jokaisen tason suhteen, joka on kohtisuorassa lieriötä vastaan, ja myös sylinterisymmetriset. Tämä sylinterisymmetria ilman symmetriatasoja on ainoa mahdollinen tämän symmetriaominaisuuden määrittämässä vektorikentässä. Vastaavanlaisen esimerkin muodostaa akselinsa ympäri pyörivä sylinteri, jolloin magneettikenttää ja virrantieheyttä vastaavat kulmanopeus ja nopeus.
Symmetriaryhmän sanotaan vaikuttavan johonkin kohteen toistuvaan ominaisuuteen transitiivisesti, jos jokaista tämän ominaisuuden esiintymien paria kohti on olemassa symmetriaoperaatio, joka kuvaa näistä ensimmäisen toiselle. Esimerkiksi yhdessä ulottuvuudessa joukon {…, 1, 2, 5, 6, 9, 10, 13, 14, …} symmetriaryhmä vaikuttaa transitiivisesti kaikkiin tämän joukon pisteisiin, kun taas joukossa {…, 1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 13, 14, 15, …} näin ei ole asian laita.
Symmetrinen funktio on funktio, joka pysyy ennallaan kaikissa sen muuttujien permutaatioissa. Esimerkiksi x + y + z ja xy + yz + xz ovat symmetrisiä funktioita, kun taas x2 − yz ei ole. Kokonais- tai reaalilukujen yhteen- ja kertolasku samoin kuin muutkin eri algebrallisissa struktuureissa määritellyt vaihdannaiset laskutoimitukset ovat symmetrisiä funktioita.
Funktio saattaa myös pysyä ennalleen niissä muunnoksissa, jotka kuuluvat johonkin sen argumenttien permutaatioryhmän aliryhmään. Esimerkiksi ac + 3ab + bc pysyy ennallaan, jos a ja b vaihdetaan keskenään; sen symmetriaryhmä on isomorfinen C2:n kanssa.
Kaksipaikkaista relaatiota eli binäärirelaatiota R sanotaan symmetriseksi, jos ja vain jos se toteuttaa seuraavan ehdon:
aina jos Rab, on myös Rba, eli jos a on relaatiossa b:n kanssa, on myös b relaatiossa a:n kanssa.
Esimerkiksi relaatio "on saman ikäinen kuin" on symmetrinen, sillä jos Pauli on samanikäinen kuin Mari, on myös Mari samanikäinen kuin Pauli. Sen sijaan relaatio "on vanhempi kuin" ei ole symmetrinen, sillä henkilöt eivät voi molemmat olla toisiaan vanhempia.
Symmetrisiä binäärisiä loogisia konnektiiveja ovat konjunktio ("ja"), disjunktio (tai), looginen ekvivalenssi ("jos ja vain jos"), "ei molemmat" (NAND), poissulkeva tai (XOR) ja "ei.. eikä.." (NOR).
Fysiikassa symmetrian käsitettä on yleistetty merkitsemään invarianssia eli kohteen pysymistä muuttumattomina tietyn tyyppisissä muunnoksissa, esimerkiksi yleisissä koordinaatiston muunnoksissa. Käsite on tullut yhdeksi fysiikan käyttökelpoisimmista työkaluista, sillä on käynyt ilmi, että lähes kaikki luonnonlait perustuvat symmetrioihin. Itse asiassa tämä seikka sai Nobelin palkinnon saaneen Philip Warren Andersonin vuonna 1972 kirjoittamaan lajaalti luetussa artikkelissaan More is Different, että "on vain vähän liioiteltua sanoa, että fysiikka on oppi symmetriasta." Noetherin teoreema osoittaa yksinkertaistetusti sanottuna, että jokaista jatkuvaa matemaattista symmetriaa kohti on olemassa jotakin fysikaalista suuretta koskeva säilymislaki. Samaan tapaan Wignerin mukaan jokainen fysiikan lakien symmetria määrittelee jonkin luonnossa esiintyvän hiukkasen ominaisuudet.
Vaikka jokin tavanomainen kappale saattaa näyttää aivan samanlaiselta jonkin symmetriaoperaation kuten rotaation tai kahden identtisen osan keskenään vaihtamisen jälkeen, on kuitenkin ilmeistä, että sellainen symmetria pätee vain likimäärin, olipa kyseessä mikä kappale tahansa.
Jos esimerkiksi koneen tarkasti valmistamaa alumiinista tasasivuista kolmiota kierretään 120 astetta keskipisteensä ympäri, tavallinen havaitsija, joka saapuu paikalle ennen kiertoa ja uudestaan sen jälkeen, ei voisi havaita, onko kierto suoritettu vai ei. Todellisuudessa sen kukin kulma on kuitenkin aina ainutlaatuinen, jos sitä tutkitaan riittävän tarkasti. Havaitsija, jolla olisi mukanaan tarpeeksi tarkka mittausväline kuten optinen tai elektronimikroskooppi toteaisi asian helposti; hän havaitsi heti, että esineen asentoa on vaihdettu tarkkailemalla sen yksityiskohtia kuten kiderakennetta ja pieniä muodon epäsäännöllisyyksiä.
Tällainen ajatuskoe osoittaa, että tavanomaisten fyysisten esineiden symmetrioissa on aina kysymys likimääräisestä samankaltaisuudesta eikä tarkasta matemaattisesta yhtäläisyydestä. Tärkein seuraus tästä symmetrioiden likimääräisestä luonteesta on, että niillä on vain vähän tai ei lainkaan vaikutusta sellaisten kappaleiden fysiikkaan. Näin ollen vain syvällisemmällä avaruuden ja ajan symmetrialla on oleellista merkitystä klassisessa fysiikassa, tosin sanoen suurten, tavanomaisten kappaleiden fysiikassa.
Huomattavaa kuitenkin on, että on olemassa fysiikan osa-alue, jossa todellisten kappaleiden yksinkertaiset matemaattiset symmetriat eivät ole vain likimääräisiä. Näin on laita kvanttifysiikassa, joka pääasiassa on hyvin pienten ja hyvin yksinkertaisten kohteiden kuten elektronien, protonien, valon ja atomien fysiikkaa.
Toisin kuin jokapäiväisestä elämästä tutuilla kohteilla, esimerkiksi elektroneilla on vain hyvin rajoitettu määrä mahdollisia olotiloja, joita sanotaan kvanttitiloiksi. Tämä merkitsee, että jos niihin kohdistetaan symmetriaoperaatioita kuten kahden elektronin paikkojen vaihtaminen keskenään, tuloksena saatua olotilaa ei voida erottaa alkuperäisestä, tutkittiinpa sitä kuinka tarkkaan tahansa. Tämän vuoksi tarpeeksi pienille ja yksinkertaisille kohteille yleinen matemaattinen symmetriaoletus F(x) = x ei enää ole likimääräinen vaan kokeellisesti tarkka ja täsmällinen kuvaus todellisesta tilanteesta.
Vaikka on järkevää olettaa, että symmetriat ovat eksakteja, kun on kysymys hyvin yksinkertaisista kohteista, välitön intuitio on, että tämän seikan ei pitäisi vaikuttaa kohteiden fysiikkaan millään merkittävällä tavalla. Tämä johtuu osittain siitä, että on hyvin vaikea käsittää todellisten fyysisten kappaleiden täydellistä yhtäläisyyttä. Intuitiivinen mielikuvamme sellaisista tilanteista on säännöllisesti sama, jota sovellamme suurempiin kohteisiin: kuvittelemme kappaleet tai rakenteet hyvin, hyvin samanlaisiksi, kuitenkin siten, että jos voisimme tarkatella vielä lähempää, voisimme lopulta havaita eroja.
Kuitenkin oletus, että hyvin pienten kohteiden täydellinen symmetria ei vaikuttaisi niiden fysiikkaan, osoittautui 1900-luvun alkupuolella täysin vääräksi. Tilanteesta teki hyvän yhteenvedon Richard Feynman luentosarjansa Feynman Lectures on Physics III osan kohdassa 3.4, Identical particles, joka kuitenkin jätettiin pois, kun luennot julkaistiin kirjana.
»… jos jossakin fysikaalisessa tilanteessa on mahdotonta tietää, mitä kautta se tapahtui, se aina interferoi; tämä ei koskaan jää tapahtumatta.»
Interferenssillä tarkoitetaan tässä sitä, että sellaiset kohteet kuuluvat kvanttimekaniikan alaan, jossa ne muistuttavat enemmänkin interferoivia aaltoja kuin tavanomaisia suuria kappaleita.
Lyhyesti, jos kohde on niin yksinkertainen, että jokin symmetriaoletus muotoa F(x) = x pitää täsmällisesti paikkansa, x ei enää noudata klassisen fysiikan sääntöjä, vaan sitä on mallinnettava kvanttimekaniikan monimutkaisemmilla ja yleensä enemmän intuition vastaisilla säännöillä.
Tämä siirtymä tarjoaa samalla merkittävän näkymän siihen, miksi symmetrian matematiikka kytkeytyy niin syvällisellä tavalla kvanttimekaniikan matematiikkaan. Kun fysikaaliset systeemit siirtyvät likimääräisten symmetrioiden alueelta täsmällisten symmetrioiden alueelle, symmetrioiden matemaattiset ilmaisut lakkaavat olemasta likiarvoja ja muuttuvat kyseisten kohdeiden luonteen täsmällisiksi määritelmiksi. Tästä eteenpäin kohteet liittyvät niin läheisesti matemaattisiin kuvauksiinsa, että näitä kahta on vaikea erottaa toisistaan.
Pitkään oletettiin, että kaikki fysiikan lait ovat bilateraalisesti symmetrisiä siinä mielessä, että jos jokin fysikaalinen ilmiö on mahdollinen, myös saman ilmiön peilikuva on mahdollinen. Kaikki klassisen mekaniikan ja myös sähkömagnetismin lait ovat tässä mielessä symmetrisiä; on tosin huomattava, että magneettikenttä on luonteeltaan pseudovektori. Tämä luonnonlakien symmetrisyys on yhtäpitävää sen kanssa, että pariteetti säilyy.
Vuonna 1957 kuitenkin osoittautui, että pariteetti ei säily kaikissa heikon vuorovaikutuksen aikaansaamissa hiukkasreaktioissa. Ensimmäiseksi tämä havaittiin tutkittaessa koboltti-60:n beetahajoamista matalissa lämpötiloissa. Sen sijaan kaikissa tunnetuissa ilmiöissä pätee CPT-symmetria: jokainen luonnonlakien mukainen ilmiö on mahdollinen myös siten muunnettuna, että tapahtuman paikallinen ympäristö käännetään peilikuvakseen, kaikki ilmiöön osallistuvat hiukkaset korvataan antihiukkasillaan ja ilmiö tapahtuu ajallisesti takaperin.[10]
Kaikki klassisen mekaniikan ja sähkömagnetismin peruslait ovat symmetrisiä myös ajan suhteen siten, että jos jokin ilmiö on niiden mukaan mahdollinen, se on mahdollinen myös käänteiseen suuntaan. Niinpä mikään fysiikan laki ei estäisi esimerkiksi planeettoja kiertämästä Auringon ympäri päinvastaiseen suuntaan.
Jokapäiväisen kokemuksemme perusteella aika vaikuttaa kuitenkin perustavalla tavalla epäsymmetriseltä: menneisyydellä ja tulevaisuudella näyttää olevan ratkaiseva ero. Tämä ilmenee erityisesti siinä, että muistamme menneisyyden mutta emme tulevaisuutta,[11] toisaalta voimme vaikuttaa tulevaisuuteen mutta emme menneisyyteen, ja yleensäkin syy on aina ennen seurausta. Viimeksi mainittu seikka ilmaistaan suppeassa suhteellisuusteoriassa kausaliteetin invarianssina. Lisäksi useimmat ympärillämme havaitsemamme ilmiöt ovat selvästi irreversiibelejä eli ne eivät voi tapahtua päinvastaiseen suuntaan: esimerkiksi pöydältä lattialle pudonnut astia saattaa särkyä, mutta sen sirpaleet eivät itsestään kokoonnu takaisin ehjäksi astiaksi. Niinpä jos mitä elokuvaa näytetään takaperin, katsojat huomaavat asian yleensä heti.[11]. Arthur Eddington antoi tälle ajan epäsymmetrisyydelle nimen ajan nuoli. Kosmologisella tasolla ajan epäsymmetrisyys ilmenee maailmankaikkeuden metrisenä laajenemisena.[11]
On osoittautunut, että arkielämän ilmiöiden ajallinen epäsymmetria eli irreversiibeliys perustuu kaikissa tapauksissa viime kädessä termodymaniikan toiseen pääsääntöön jonka mukaan minkä tahansa fysikaalisen systeemin epäjärjestys tai sitä mittaava suure, entropia, pyrkii kasvamaan.[11]
Symmetrialla on merkitys myös biologiassa. Monet eläimet, myös ihmiset, ovat ainakin likipitäen bilateraalisesti symmetrisiä eli vasen-oikea-symmetrisiä. Esimerkiksi kädellisillä on tutkittu symmetrian merkitystä parinvalinnassa.[12] Toisaalta esimerkiksi meritähtien symmetria saattaa olla viisi- tai kahdeksanparista.
Useimpien kasvien lehdet ovat myös bilateraalisesti symmetrisiä. Monet kukat ovat likipitäen säteittäisesti symmetrisiä, toisin sanoen symmetrisiä sellaisten rotaatioiden suhteen, joissa kiertokulma on 360° jaettuna kukan terälehtien lukumäärällä tai jokin tämän kulman monikerta.
Symmetria on tärkeä myös kemiassa, koska se selittää monet spektroskopian, kvanttikemian ja kiderakenteiden tutkimuksen havainnot.
Useimmat epäorgaaniset ja monet orgaanisetkin molekyylit ovat ainakin bilateraalisesti symmetrisiä; joillakin, esimerkiksi metaanimolekyylillä on useampiakin symmetriatasoja. On kuitenkin olemassa runsaasti myös epäsymmetrisiä molekyylejä. Tällaisissa tapauksissa yhdisteellä on kaksi optista isomeeria, ja aine, joka sisältää vain toista isomeeria, on optisesti aktiivista.[13] Optisten isomeerien fysikaaliset ja kemialliset ovat muutoin samat paitsi että ne kiertävät polarisoitunutta valoa vastakkaisiin suuntiin.[13] Sitä vastoin niiden fysiologiset vaikutukset ovat yleensä erilaiset, mikä johtuu soluissa ennestään olevista optisesti aktiivisista aineista.[13]
Esimerkkejä biologisesti merkittävistä optisesti aktiivisista aineista ovat sokerit[14] sekä glysiiniä lukuun ottamatta kaikki aminohapot ja proteiinit.[15]
Kvartsin kiderakenne on myös epäsymmetrinen, minkä vuoksi kvartsi on optisesti aktiivista. On siis olemassa kahdenlaisia kvartsikiteitä, jotka rakenteeltaan ovat toistensa peilikuvia ja kiertävät polarisoitunutta valoa vastakkaisiin suuntiin.[16]
Jokaisessa inhimillisessä pyrimyksessä, jossa tavoitellaan vaikuttavaa näkyvää tulosta, symmetrialla on syvällinen merkitys. Synnynnäinen mieltymys symmetriaan voidaan havaita reaktioistamme suuresti symmetrisiin luonnon kohteisiin kuten täydellisesti muodostuneisiin kiteisiin tai kauniisti kiertyneisiin simpukankuoriin. Ensimmäinen reaktiomme löytäessämme sellaisen kohteen on usein olettaa, että kyseessä on toisen ihmisen aikaansaannos, mikä pian vaihtuu yllättävään toteamukseen, että huomiota herättävät symmetriat ovatkin luonnon tuotteita.
Ihmiset havaitsevat monissa tilanteissa sosiaalisen vuorovaikutuksen symmetrisen luonteen, johon usein kuitenkin liittyy myös epäsymmetristä tasapainoa. Esimerkkeinä ovat arviot vastavuoroisuudesta, empatiasta, anteeksipyynnöstä, dialogista, kunnioituksesta, oikeudesta ja kostosta. Symmetriset vuorovaikutukset lähettävät viestin "olemme kaikki samaa", kun taas asymmetriset vuorovaikutukset lähettävät viestin "Minä olen erikoinen, parempi kuin sinä." Tasavertaiset ihmissuhteet perustuvat symmetriaan, valtasuhteet asymmetriaan.[17]
.JPG)
Toinen inhimillinen toiminta, jossa tuloksen ulkonäöllä on suuri merkitys, on arkkitehtuuri. Sekä entisinä että nykyaikana suurten rakenteiden tarkoitus on usein tehdä vaikutus ne näkeviin ihmisiin tai jopa säikähdyttää heitä, ja tällaisen tavoitteen saavuttaminen edellyttää yleensä symmetrian käyttöä.
Muutamia esimerkkejä muinaisajan arkkitehtuurista, jossa symmetriaa käytettiin voimakkaan vaikutuksen aikaansaamiseksi, ovat Egyptin pyramidit, Ateenan Parthenon, ensimmäinen ja toinen Jerusalemin temppeli, Kiinan Kielletty kaupunki, Kamputseamn Angkor Wat -rakennusryhmä sekä esikolumbiaanisten kulttuurien monet temppelit ja pyramidit. Myöhäisemmältä ajalta voidaan mainita goottilaiset katedraalit sekä Yhdysvaltain presidentti Thomas Jeffersonin auintalo Monticello. Taj Mahal on myös hyvä esimerkki symmetriasta arkkitehtuurissa.[18]
Mielenkiintoinen esimerkki rikkoutuneesta symmetriasta arkkitehtuurissa on Pisan kalteva torni, jonka kuuluisuus ei johdu mistään sen pienestä osasta eikä sen alun perin tarkoitetusta symmetriasta vaan symmetrian rikkoutumisesta sen kääntyessä kallelleen jo rakennusvaiheessaan. Nykyaikaisia esimerkkejä arkkitehtuurista, joka tekee vaikutuksen mutkikaalla erilaisten symmetrioiden käytöstä, ovat Sydneyn oopperatalo Australiassa ja yksinkertaisempi Astrodome Houstonissa, Texasissa.
Symmetria löytää tiensä arkkitehtuuriin niin suuressa kuin pienessäkin mittakaavassa, alkaen rakennusten yleisnäkymistä ulkoa päin katsottuna sekä pohjapiirroksista aina rakennusten pieniin yksityiskohtiin saakka kuten ovien peileihin, ikkunoiden lasimaalauksiin, lattialaatoituksiin, friiseihin, portaikkoihin ja balustereihin. Eritasoisten symmetrioiden käytössä islamilainen arkkitehtuuri, josta Taj Mahal on hyvä esimerkki, menee usein paljon pidemmälle kuin minkään muun kulttuurin ja aikakauden aikaansaannokset osittain siitä syystä, koska islam kieltää ihmisten ja eläinten kuvaamisen.[19][20]
Siitä lähtien, kun savenvalajan pyörää ensimmäisen kerran alettiin käyttää saviastioiden muotoilemiseen, symmetrialla on ollut keramiikassa tärkeä osuus. Ensinnäkin pyörällä valmistetut saviastiat väistämättä saavat pyörähdyssymmetrisen muodon, mutta jättävät suuren vapauden muotoilla esine pystysuorassa suunnassa halutulla tavalla. Tästä alkuperäisestä symmetrisestä lähtökohdasta kulttuureilla on muinaisista ajoista saakka ollut taipumus lisätä kuviointeja, jotka käyttävät hyväkseen tai monessa tapauksessa rajoittavat täydellistä pyörähdyssymmetriaa, kunnes jokin tietty ulkomuoto on saavutettu. Esimerkiksi persialaisissa saviastioissa neljänneltä vuosituhannelta eaa. ja aikaisemminkin käytettiin symmetrisiä siksak-kuvioita, neliöitä ja toistuvia kuvioita mutkikkaamman ja visuaalisesti hämmästyttävän kokonaismuotoilun aikaansaamiseksi.
Metallista valetuilla astioilla ei ole samaa valmistustavasta johtuvaa alkuperäistä pyörähdyssymmetriaa kuin pyörän avulla valmistetuilla saviastioilla, mutta muutoin nekin on varhaisista ajoista saakka koristeltu kuvioilla, jotka miellyttivät niiden käyttäjiä. Esimerkiksi muinaiset kiinalaiset käyttivät symmetrisiä kuviointeja pronssivalussa jo 1600-luvulla eaa. Pronssiastioissa esiintyy sekä bilateraalinen pääaihe että toistuvia kuvioita niiden reunoissa.[21][22][23]
Symmetrian käytöllä matoissa ja ryijyissä on monissa kulttuureissa pitkät perinteet. Navajot käyttivät sekä diagonaalisia että suorakulmaisia aiheita. Monissa itämaisissa matoissa on selvä symmetriakeskus ja niiden reunoilla toistuu säännöllinen kuviointi. Mattojen suorakulmaisen muodon vuoksi ei ole yllättävää, että niissä tyypillisesti käytetään kvadrilateraalista symmetriaa, toisin sanoen niiden kuviot ovat symmetriset sekä pitkittäisen että poikittaisen akselin suhteen.[24][25]
Symmetria ei rajoitu kuvataiteeseen. Sen merkitys musiikissa liittyy moniin näkökohtiin musiikin luomisessa ja kuuntelemisessa.
Monet säveltäjät ovat käyttäneet tietyllä tavalla symmetrisiä sävellysmuotoja, joita voidaan kuvata esimerkiksi kaaviolla ABCBA. Sellaista ovat käyttäneet Steve Reich, Béla Bartók ja James Tenney. Klassisessa musiikissa Bach käytti symmetriakäsitteitä kuten permutaatiota ja invarianssia.[26]
Symmetria liittyy huomattavalla tavalla myös musikaalisten sävelasteikkojen ja sointujen muodostumiseen. Perinteinen tonaalinen musiikki kuitenkin perustuu epäsymmetriseen diatoniseen asteikkoon ja niin ikään epäsymmetrisiin duuri- ja mollikolmisointuihin. Symmetristen asteikkojen ja sointujen kuten kokosävelasteikon, ylinousevan kolmisoinnun ja vähennetyn nelisoinnun sanotaan olevan vailla selvää suuntaa ja etenevää liikettä. Niistä ei ilmene sävellajin perussävel eli tonaalinen keskus. Kuitenkin säveltäjät kuten Alban Berg, Béla Bartók ja George Perle ovat käyttäneet symmetria-akseleita tai intervallien muodostamia syklejä.
Perle selitti asian vuonna 1992 näin: "C-E, D-G ja Es-G ovat saman intervallin eri esiintymiä. … toisenalainen identeetti … liittyy symmetria-akseleihin. C-E kuuluu symmetrisessä suhteessa toisiinsa olevien dyadien perheeseen seuraavasti:"
| D | Dis | E | F | Fis | G | Gis | ||||||
| D | Cis | C | H | Ais | A | G? |
Niinpä sen lisäksi, että C-E kuuluu neljästä puoliaskelesta kuuluvien intervallien perheeseen, se kuuluu myös summa-4 -perheeseen (missä C on 0).
| + | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | ||||||
| 2 | 1 | 0 | 11 | 10 | 9 | 8 | |||||||
| 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 |
Intervallien syklit ovat symmetrisiiä ja näin ollen ei-diatonisia. Kuitenkin seitsemän sävelen osuus sarjasta C5, kvinttien sarjasta, muodostaa diatonisen duuriasteikon. Romantiikan musiikissa kuten Gustav Mahlerin ja Richard Wagnerin sävellyksissä sykliset tonaaliset sointukulut muodostavat linkin syklisestä sävelsarjasta modernistien kuten Bartókin, Alexander Scriabinin, Edgard Varèsen ja Wienin koulun atonaaliseen musiikkiin. Samaan aikaan tällaiset sointukulut merkitsivät luopumista tonaalisuudesta.
Ensimmäinen laajempi sävellys, joka johdonmukaisesti perustuu sävelten symmetrisiin suhteisiin, oli todennäköisesti Alban Bergin Kvartetti, opus 3 (1910).
Symmetrian ja estetiikan suhde on monimutkainen. Jotkin yksinkertaiset symmetriat, erityisesti bilateraalinen symmetria, näyttävät olevan syvällisesti juurtuneet ihmisten käsitykseen toisten elävien olentojen terveydestä ja kunnosta, minkä osoittaa yksinkertainen koe, jossa kauniiden kasvojen kuvaa vääristetään toiselta puolelta ja kysytään katsojilta, kuinka viehättävä tuloksena saatu kuva on. Näin ollen ihmisellä näyttää olevan synnynnäinen mieltymys sellaisiin symmetrioihin, jotka jäljittelevät biologiaa, mikä vuorostaan saa aikaan voimakkaan taipumuksen tehdä keinotekoiset esineet samaan tapaan symmetrisiksi. Biologisesti inspiroitujen symmetrioiden suuren merkityksen ymmärtämiseksi on vain kuviteltava, kuinka vaikea olisi markkinoida hyvin epäsymmetrisiä autoja tai muita kulkuneuvoja.
Toinen symmetrian erityispiirre on sen yksinkertaisuus, mikä vuorostaan viittaa turvallisuuteen ja tuttuuteen. Esimerkiksi hyvin symmetrinen huone on samalla sellainen, jossa mikä tahansa poissa paikoiltaan oleva tai potentiaalisesti uhkaava voidaan helposti ja välittömästi tunnistaa. Esimerkiksi henkilöt, jotka ovat kasvaneet täysin suorakulmaisissa taloissa, joissa on runsaasti keskenään täysin samanlaisia esineitä, voivat kokea ensimmäisen kokemuksensa oleskelusta ei-suorakulmaisessa huoneessa, jossa ei ole kahta samanlaista esinettä, varsin ärsyttäväksi. Symmetria voi näin ollen olla mukavuuden lähde, ei vain biologisen terveyden vaan myös turvallisen ja hyvin ymmärretyn elinympäristön osoittimena.
Toisaalta liiallinen symmetria vaikuttaa helposti kyllästyttävältä ja mielenkiinnottomalta. Erityisesti ihmisillä on voimakas taipumus käyttää hyväkseen tai tutkia uusia mahdollisuuksia, ja äärimmäisissä muodossaan symmetria voi muodostua esteeksi sellaisille mahdollisuuksille. Useimmat henkilöt suosivat kuvioita, joissa ilmenee tietty määrä yksinkertaisuutta ja symmetriaa, mutta kuitenkin tarpeeksi monimutkaisuutta tekemään ne mielenkiintoisiksi.[27]
Vielä yksi mahdollisuus on, että kun symmetriat muodostuvat kovin mutkikkaiksi tai haastaviksi, ihmismielellä on taipumus "virittää ne pois päältä" ja tulkita ne vielä toisella tavalla: kohinana, joka ei sisällä hyödyllistä informaatiota.
Lopuksi symmetrian havaitseminen ja arvostus riippuu myös kulttuurisesta taustasta. Esimerkiksi paljon suurempi mutkikkaiden geometristen symmetrioiden käyttö monissa islamilaisissa kulttuureissa tekee todennäköisemmäksi, että sellaisista kulttuureista peräisin olevat henkilöt arvostavat sellaisia taidemuotoja, tai päinvastoin kapinoivat niitä vastaan.
Kuten monissa inhimillisissä toiminnoissa, näiden monien tekijöiden yhteistulos on, että symmetrian tehokas käyttö taiteessa ja arkkitehtuurissa on monimutkainen, intuitiivinen asia ja riippuu suuresti niiden henkilöiden kyvistä, joiden on sovellettava sellaisia tekijöitä luovassa työssään. Rakenteen, värin, mittasuhteiden ja muiden tekijöiden tavoin symmetria on voimakas aines sellaisissa synteeseissä; tarvitsee vain tutkia Taj Mahalia sen toteamiseksi, kuinka suuri osuus symmetrialla on kohteiden esteettiseen puoleensavetävyyteen.
Modernistinen arkkitehtuuri hylkää symmetrian. Sen edustajat ovat sanoneet, että vain huono arkkitehti luottaa symmetriaan. Symmetristen muotojen, massojen ja rakenteiden sijasta modernistinen arkkitehtuuri perustuu siipirakennuksiin ja massojen tasapainoon. Jotkut ihmiset pitävät rakennusten ja rakennelmien epäsymmetrisiä muotoja vallankumouksellisina, toisten mielestä ne ovat levottomia, kyllästyttäviä ja luonnottomia.
Esimerkkejä symmetrian tietoisemmasta käytöstä on M. C. Escherin taiteessa.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.
