Menge von n-Tupeln Aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Eine Relation (lateinischrelatio „Beziehung“, „Verhältnis“) ist allgemein eine Beziehung, die zwischen Dingen bestehen kann. Bei Relationen im Sinne der Mathematik ist stets klar, ob sie bestehen oder nicht, sodass Objekte nicht „bis zu einem gewissen Grade“ in einer Relation zueinander stehen. Damit ist eine einfache mengentheoretische Definition des Begriffs möglich: Eine Relation ist eine Menge von -Tupeln. In der Relation zueinander stehende Dinge bilden -Tupel, die Element von sind.
Wird nicht ausdrücklich etwas anderes angegeben, versteht man unter einer Relation gemeinhin eine zweistellige oder binäre Relation. Bei einer solchen Beziehung bilden dann jeweils zwei Elemente und ein geordnetes Paar Stammen dabei und aus verschiedenen Grundmengen und , so heißt die Relation heterogen oder „Relation zwischen den Mengen und .“ Stimmen die Grundmengen überein (), dann heißt die Relation homogen oder „Relation in bzw. auf der Menge .“
Heute sehen manche Autoren den Begriff Relation nicht unbedingt als auf Mengen beschränkt an, sondern lassen jede aus geordneten Paaren bestehende Klasse als Relation gelten.
Die Menge wird als Quellmenge (englisch: set of departure) der Relation bezeichnet, die Menge als Zielmenge (englisch: set of destination).[5]
Manchmal ist diese Definition jedoch nicht präzise genug und man bezieht die Quell- und Zielmenge in die Definition mit ein, obige Teilmenge wird dann der Graph der Relation genannt. Eine zweistellige Relation ist dann definiert als Tripel
mit .
Die Kenntnis von Quelle und Zielmenge ist insbesondere dann von Bedeutung, wenn man Funktionen als spezielle (sogenannte funktionale) Relationen betrachtet.
Als Urbild-, Argument- oder Definitions- oder Vorbereich[6][7] einer gegebenen zweistelligen Relation wird der kleinstmögliche Vorbereich zum Graphen verstanden, dessen Elemente alle in den geordneten Paaren von tatsächlich auf der linken Seite auftreten, in Zeichen
Der Wertevorrat, Werte- oder Bild- oder Nachbereich[6][7] bezeichnet in diesem Sinne den kleinsten Nachbereich zu bei gegebenem , dessen Elemente also alle in den Paaren von auf der rechten Seite auftreten, in Zeichen
Darüber hinaus finden sich folgende Bezeichnungen:
Domäne (englisch domain) entweder für die (im Prinzip beliebig große) Quellmenge oder für die (durch den Graphen festgelegte) Urbildmenge (Definitionsbereich),
Co-Domäne (englisch codomain, range) entweder für die Zielmenge oder für die Bildmenge,[14]
Stimmen zwei Relationen in ihren Graphen überein, so sagt man auch, sie seien im Wesentlichen gleich. Beispiel: Jede Relation ist im Wesentlichen gleich mit und mit der homogenen Relation.
n-stellige Relation
Allgemeiner ist eine -stellige Relation eine Teilmenge des kartesischen Produkts von Mengen :
mit .
Dabei bezeichnet die endliche Folge der Mengen, und das kartesische Produkt.
Die ausführlichere Definition lässt sich auch auf -stellige Relationen verallgemeinern und man erhält dann das -Tupel
mit .
Die Mengen heißen Trägermengen der Relation mit den minimalen Trägermengen zum Graphen , nämlich
.
Das Feld einer -stelligen Relation ist gegeben durch
.
Wesentliche Gleichheit ist analog definiert wie für zweistellige Relationen durch Übereinstimmung der Graphen, insbesondere ist jede -stellige Relation im Wesentlichen gleich mit und mit der homogenen Relation .
Einstellige und nullstellige Relation
Eine einstellige Relation auf einer Menge ist somit einfach eine Teilmenge , in der ausführlichen Definition mit .
Die nullstelligen Relationen sind demnach die Teilmengen des leeren kartesischen Produkts bzw. , also und , ausführlich und .
Relationen zwischen oder auf echten Klassen
Häufig sind die Trägerbereiche einer Relation keine Mengen, sondern echte Klassen, man spricht dann von Klassenrelationen. Gelegentlich kann man mengentheoretische Probleme, die sich daraus ergeben, vermeiden, indem man nur noch den Graph der entsprechenden Relation betrachtet. Die (minimalen) Trägermengen (, im zweistelligen Fall Definitions- und Wertemenge ) sind tatsächlich Mengen, aber es ist nicht nötig, sich von vornherein auf Quellmenge, Zielmenge,… () festzulegen, wenn die Relationen im Wesentlichen gleich sind. Nicht immer ist das möglich, beispielsweise für die Äquivalenzrelation der Gleichmächtigkeit, siehe auch: Kardinalzahlen §Definition. Gleichheit von Relationen im Wesentlichen ist ein weiteres Beispiel.
Eine zweistellige Klassenrelation mit Quellklasse und Zielklasse heißt vorgängerklein,[15][16]
wenn für alle die Klasse der Vorgänger (Urbildfaser von , s.u.) eine Menge (d.h. keine echte Klasse) ist.[17]
Die Relation heißt englisch right-narrow (deutsch in etwa nachfolgerklein),[18]
wenn für alle die Klasse der Nachfolger (Bildfaser von ) eine Menge ist. Im Fall der Rechtseindeutigkeit (partielle Abbildungen, Abbildungen, s.u.) ist eine Klassenrelation stets klein, da es zu jedem Urbild (genau oder höchstens) einen Bildwert gibt, die Klasse der Nachfolger also eine Einermenge (oder die Leermenge) ist. Jede injektive Klassenabbildung ist beides, klein und vorgängerklein. Die Enthaltenseinsrelation ist für jede Klasse vorgängerklein, da die keine echten Klassen sein können, sondern Mengen sind und damit ebenfalls eine Menge ist.[19][20] Die Begriffe Vorgänger und Nachfolger selbst werden üblicherweise im Kontext von Ordnungsrelationen verwendet, siehe Ordnungsrelation §Vorgänger und Nachfolger.
Das kartesische Produkt zweier Mengen und ist die Menge aller geordneten Paare von und wobei irgendein Element aus der Menge und eines aus darstellt. Bei dem geordneten Paar ist die Reihenfolge wichtig, d.h. unterscheidet sich von im Gegensatz zum ungeordneten Paar das identisch ist mit Für schreibt man auch , um zu verdeutlichen, dass jene Beziehung zwischen den Objekten besteht (wie in ).
Die Leermenge als Teilmenge des kartesischen Mengenprodukts als Relation aufgefasst heißt Nullrelation:=\emptyset =\{\}}
,
das volle Produkt heißt Allrelation (auch Universalrelation) (auch als bezeichnet).[21]
Eine partielle Funktion ist eine (im Allgemeinen nicht linkstotale) rechtseindeutige Relation .
In allen Fällen ist (beziehungsweise wenn die ausführliche Definition zugrunde gelegt wird).
Für Funktionen und Multifunktionen gilt:
Bei der ausführlicheren Definition kann, weil durch eindeutig bestimmt ist (linkstotal), auch weggelassen und einfacher genommen werden.
Für Funktionen und partielle Funktionen gilt:
Für bzw. wird auch (englisch: maplet), oder geschrieben.
Allgemein gilt:
Die nullstelligen Relationen (als nullstellige Nullrelation) und (als nullstellige Vollrelation) haben als charakteristische Funktionen die booleschen oder logischen Konstanten und , wie immer für Nullrelation und Allrelation.[22]
Der Fall einstelliger Relationen ist trivial.
Eine Relation (bzw. ) entspricht auf eindeutige Weise einer Wahrheitsfunktion. Diese Funktion ist auch als Indikatorfunktion oder charakteristische Funktion der Teilmenge (bzw. ) bekannt, wobei durch ersetzbar ist.
Eine -stellige Relation (bzw. ) entspricht der charakteristischen Funktion
Eine Relation lässt sich ebenso als eine Abbildung von in die Potenzmenge von auffassen, man spricht dann oft von einer Korrespondenz, und für von einer Transitionsrelation.
Verkettung von Relationen
Die Vorwärtsverkettung[24] zweier zweistelliger Relationen ist wie folgt definiert:
Manche Autoren (W. v.O.Quine) verwenden hierfür alternativ die Notation .[30]
Die Reihenfolge ist bei der Rückwärtsverkettung dieselbe wie bei der Verkettung von Funktionen (die als spezielle Relationen aufgefasst werden können).
Die Verkettung zweistelliger Relationen wird auch als relatives Produkt bezeichnet. Bei der Verkettung kann auch die einfachste Relation, die in jedem kartesischen Produkt enthaltene leere Relation (leere Menge) auftreten, nämlich wenn und disjunkt sind, in Zeichen: .
Beispiel: Die Relation „Schwägerin sein von“ ist die Vereinigungsmenge
des relativen Produktes der Relation „Bruder sein von“ und der Relation „Ehefrau sein von“ und
des relativen Produktes der Relation „Ehepartner(in) sein von“ und der Relation „Schwester sein von“.
Umkehrrelation
Die Umkehrrelation (auch konverse Relation, Konverse oder inverse Relation genannt) ist für eine zweistellige Relation definiert als
Gelegentlich findet sich hierfür auch die Bezeichnung transponierte Relation, in Zeichen .[31]
Beispiel 1: Die Umkehrrelation der Relation „ist Nachkomme von“ ist die Relation „ist Vorfahre von“.
Beispiel 2: Die Umkehrrelation der Relation „ist kleiner als“ ist die Relation „ist größer als“.
Beispiel 3: Die Umkehrrelation der Relation „liefert an“ ist die Relation „wird beliefert von“.
Die Verallgemeinerung der Umkehrrelation (Konverse) auf -stellige Relationen ist die Permutation der Koordinaten der in ihr enthaltenen -Tupel, speziell
die Vertauschungen von lediglich 2 Koordinaten (Transpositionen) und
Sei eine Permutation (d.h. eine bijektive Abbildung von auf sich selbst),[32] und sei eine -stellige Relation, dann ist die nach Anwenden der Permutation sich ergebende Relation (man verstehe als Familie). Im Fall der Spiegelung
ist .
Bild und Urbild
Bei einer zweistelligen Relation bezeichnet man als das Bild einer Menge oder Klasse die Menge bzw. Klasse
:=\{y\mid \exists x\in X\colon \;(x,y)\in R\}}
.
Das Urbild einer Menge oder Klasse ist die Menge bzw. Klasse
Gelegentlich findet sich hierfür auch die Bezeichnung (sic!),[30][36]
oft auch mit eckigen Klammern als notiert. Bei Korrespondenzen ist für die Bildfaser einer Einermenge (Singleton) auch die Schreibweise im Gebrauch, wofür teilweise ebenfalls die Notation mit eckigen Klammern verwendet wird, d.h. ;[37] im Fall symmetrischer Relationen, d.h. (ggf. partieller) Äquivalenz- bzw. Verträglichkeitsrelationen ist die Notation und spricht von Äquivalenz- bzw. Verträglichkeits- oder Toleranzklassen.
Einschränkung
Relationen lassen sich auf verschiedene Art und Weise auf Teilmengen der Trägermengen einschränken, Näheres siehe Einschränkung einer Relation.
Komplementäre Relation
Für zweistellige Relationen bei festem Vor- und Nachbereich ist die komplementäre Relation gegeben durch[38]
,
analog für -stellige Relationen bei festen Trägerbereichen . Auf den reellen Zahlen ist beispielsweise die komplementäre Relation zu .
Wird die komplexe Notation zugrunde gelegt, so ist
,
wobei jetzt keine äußeren Zugaben mehr sind, sondern Bestandteile der Relation; analog für -stellige Relationen in dieser Notation.
Wie für alle Mengen ist das Komplement auch für Relationen involutiv:
.
Ist , also , dann nennt man die Relation homogen. Manche Autoren definieren eine allgemeine Relation bereits als homogene Relation, denn eine allgemeine Relation kann immer auch als Einschränkung einer homogenen betrachtet werden: .
Spezielle homogene Relationen und Operationen auf homogenen Relationen
Eine spezielle homogene Relation in einer Menge ist die Gleichheits- oder Identitätsrelation oder Diagonale
Alternative Notationen für die Diagonale sind oder ; wenn bereits bekannt ist, wird sie einfach mit , oder bezeichnet.[39]
Eine weitere spezielle homogene Relation ist die Allrelation oder Universalrelation
(auch mit Nabla als bezeichnet).
Wenn bereits bekannt ist, wird wie bei der Identitätsrelation auch hier der Index weggelassen.[40]
Die Allrelation spielt eine Rolle in der Graphentheorie (siehe unten). Ein Anwendungsbeispiel ist folgender Satz:
Die Bildung der Umkehrrelation (konversen Relation) einer homogenen zweistelligen Relation liefert wieder eine homogene zweistellige Relation (Abgeschlossenheit), zweimalige Ausführung ergibt wieder die Ausgangsrelation (Involutivität). Die Verknüpfung einer beliebigen (auch nicht-homogenen) Relation mit der dazu konversen Relation ist symmetrisch und reflexiv, also eine Äquivalenzrelation, aber im Allgemeinen nicht gleich der Identitätsrelation.[29]
Im Fall einer homogenen Relation ist die Verkettung ebenfalls eine homogene Relation, sodass die homogenen Relationen in ein Monoid mit der multiplikativen Verknüpfung und dem neutralen Element bilden. Somit kann und können allgemeiner Potenzen für definiert werden, wobei ist.[41] wird daher auch Einsrelation auf der Menge genannt.
In Erweiterung der Notation anstelle von für die Umkehrrelation bezeichnet man deren Potenzen mit negativen Exponenten:[42]
.
Damit sind beliebige ganze Zahlen als Exponent zulässig.
Zudem besitzt jedes Monoid homogener Relationen mit der leeren Relation (Nullrelation)
Homogene mehrstellige Relationen sind (mit ihrem Graphen) Teilmengen von . Für festes sind die Allrelation (auch ) und die Identitätsrelation (Diagonale) (auch ) gegeben durch
.
Die als Verallgemeinerung der Konversenbildung beschriebene Anwendung von Permutationen auf ihre -Tupel sind hier von besonderer Bedeutung, da man auf diese Weise immer innerhalb der Teilmengen von bleibt (Abgeschlossenheit). M.a.W. sind diese Operationen bijektive Abbildungen in . Auch weitere von zweistelligen Relationen bekannte Begriffe wie Reflexivität und Symmetrie etc. lassen sich in kanonischer (natürlicher) Weise auf beliebig mehrstellige Relationen ausdehnen.
Die Graphentheorie beschreibt Mengen mit einer Relation darauf zusammen mit gewissen Verallgemeinerungen unter einem gemeinsamen Oberbegriff, dem Graphen.[48] Die in der Graphentheorie betrachteten Fälle sind (wenn nicht anders angegeben) üblicherweise endlich (finit).
1. Eine relationale Struktur bestehend aus einer Menge zusammen mit einer Relation darauf wird als gerichteter (auch orientierter) Graph bezeichnet. wird Knotenmenge des Graphen genannt, ihre Elemente heißen Knoten. wird als Teilmenge von als Kantenmenge bezeichnet, ihre Elemente (geordnete Paare aus ) heißen gerichtete (d.h. orientierte) Kanten.
2. Symmetrische Graphen , d.h. Mengen mit einer symmetrischen Relation , sind äquivalent einem ungerichteten Graphen, dessen Kantenmenge aus (ungerichteten) Kanten, nämlich den (ungeordnete) Mengen mit (hier äquivalent zu ) besteht.
3. Weitere Verallgemeinerungen betreffen sogenannte gerichtete Graphen mit zusammengefassten Mehrfachkanten, bei denen jede Kante eine natürliche Zahl als Multiplizität hat. Die Kanten solcher Graphen können durch eine Multimenge dargestellt werden: eine Abbildung mit einer Menge und einer Abbildung , die jedem Knoten eine Farbe genannte positive Zahl zuordnet. Ähnlich sind Graphen mit gefärbte Knoten und/oder Kanten.[49]
4. Von gewichteten Knoten und/oder Kanten: Von Gewichten anstelle von Farben spricht man, wenn die Abbildung reellwertig ist. Bei gewichteten Knoten entspricht dies einer Fuzzymenge, bei ist ein real valued multiset.[50]
Entsprechendes gilt für gewichtete Kanten. Für orientierte Graphen bedeutet dies insbesondere, dass die Kantenmenge (eine Relation, d.h. Menge geordneter Knotenpaare) in einer Erweiterung des Relationsbegriffs zu einer Multimenge oder Fuzzymenge wird.
Alle möglichen geordneten Paare mit und sowie eine zwischen und definierte Relation
Beispiel einer Relation „Eine Person x studiert das Fach y“.
Beispiel einer Relation „Person x liebt Person y“. Diese zweistellige Relation wird über eine Menge von geordneten Paaren modelliert.
Die einstellige Relation „Person x ist weiblich“ wird als Teilmenge der Grundmenge modelliert.
Die dreistellige Relation „Person x lernt das Fach y beim Lehrer z“ wird über eine Menge von 3-Tupeln realisiert.
Allgemeine Relationen
Die folgenden Relationen sind für Funktionen (dargestellt als spezielle Relationen) wichtig. Im Allgemeinen besteht hier die Relation zwischen zwei verschiedenen Mengen der Fall ist natürlich auch möglich.
Übersicht über Funktionseigenschaften bei Relationen
Eine Relation ist also genau dann eine (totale) Funktion, wenn sie linkstotal und rechtseindeutig ist. Das heißt, dass jedes Element in A genau einen Partner in B hat. Die Eigenschaften surjektiv, injektiv und bijektiv werden in der Regel für Funktionen gebraucht und spezifizieren bestimmte zusätzliche Eigenschaften. Z.B. ist eine Funktion (und auch eine beliebige Relation) genau dann bijektiv, wenn sie surjektiv und injektiv ist, also wenn ihre Umkehrrelation eine Funktion ist.
Weitere Informationen Die Relation ...
Die Relation heißt
genau dann, wenn sie eine
ist oder gleichwertig (Mengenschreibweise)
und das bedeutet:
Surjektion
surjektive Funktion
Jedes Element aus hat genau einen Partner in und jedes Element aus hat mindestens einen Partner in
Injektion
injektive Funktion
Jedes Element aus hat genau einen Partner in und jedes Element aus hat höchstens einen Partner in
Bijektion
bijektive Funktion
Jedes Element aus hat genau einen Partner in und umgekehrt.
Schließen
Umkehrfunktion
Eine Abbildung bzw. Funktion nennt man auch
umkehrbar eindeutig oder umkehrbar, falls sie bijektiv ist.
Eine Funktion ist als Relation immer umkehrbar, als Funktion ist sie dagegen genau dann umkehrbar, wenn ihre Umkehrrelation auch wieder eine Funktion ist, also wenn es eine Umkehrfunktion von ihr gibt.
Homogene Relationen
Die in den folgenden Tabellen gegebenen Beispiele beziehen sich bei Verwendung von Gleichheitszeichen „=“, Kleinerzeichen „<“ und Kleinergleich-Zeichen „≤“ auf die gewöhnliche Anordnung reeller Zahlen.
Steht ein erstes Element jeweils zu einem zweiten und zu einem dritten Element in Relation, so stehen auch diese zueinander in Relation. Z.B. gilt mit und stets ebenso
Steht ein erstes Element zu einem zweiten Element und dieses wiederum zu einem dritten Element in Relation, so steht auch das erste Element zum dritten Element in Relation. Z.B. folgt aus und stets
Stehen zwei Elemente in Relation und zudem das zweite Element zu einem dritten Element in Relation, dann steht das erste Element zum dritten Element nicht in Relation. Z.B. ist jede natürliche Zahl die (unmittelbare) Vorgängerin von und die (unmittelbare) Vorgängerin von aber ist nicht (unmittelbare) Vorgängerin von
Zusammenhänge zwischen verschiedenen zweistelligen Relationen
Weitere wichtige Klassen von Relationen und ihre Eigenschaften:
Quasiordnung oder Präordnung: transitiv und reflexiv
Verträglichkeitsrelation oder Toleranzrelation: verträglich (reflexiv und symmetrisch)[56] (englisch: im finiten Fall dependency relation, im transfiniten Fall tolerance relation).
In der elementaren Mathematik gibt es drei grundlegende Vergleichsrelationen:
(Beispiel: „2 ist kleiner als 3“)
(Beispiel: „3 ist gleich 3“)
(Beispiel: „3 ist größer als 2“)
mit .
Zwei reelle Zahlen stehen immer in genau einer dieser Relationen zueinander. Mit diesen Relationszeichen lassen sich auch weitere bilden. Es gilt:
, falls oder (Beispiel: „4 ist nicht größer als 5“)
, falls oder (Beispiel: „5 ist nicht kleiner als 5“)
, falls oder (Beispiel: „4 ist nicht gleich 5“)
für alle .
Für komplexe Zahlen existieren obige Ordnungsrelationen nicht.
Mathematiker verwenden das Zeichen ≤ auch für abstrakte Ordnungsrelationen (und ≥ für die zugehörige Umkehrrelation),
während „<“ keine Ordnungsrelation im Sinne der mathematischen Definition ist.
Stefan Brass:Mathematische Logik mit Datenbank-Anwendungen. Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg, Institut für Informatik, Halle 2005, S.176 (informatik.uni-halle.de[PDF]).
Marcel Erné:Einführung in die Ordnungstheorie. Bibliographisches Institut, Mannheim 1982, ISBN 3-411-01638-8.
Helmuth Gericke:Theorie der Verbände. Bibliographisches Institut, Mannheim 1963.
Dieter Klaua:Mengenlehre. De Gruyter, Berlin / New York 1979, ISBN 3-11-007726-4 (Der Autor benutzt die Bezeichnung Korrespondenz im mengentheoretischen Sinn synonym zu Relation, verwendet dann aber das Zeichen anstelle von . Im Artikel hier wird jedoch durchgängig bzw. (Graph von ) geschrieben).
H.König:Entwurf und Strukturtheorie von Steuerungen für Fertigungseinrichtungen (=ISW Forschung und Praxis. Band13). Springer, Berlin/Heidelberg 1976, ISBN 3-540-07669-7, S.15–17, doi:10.1007/978-3-642-81027-5_1.
Ingmar Lehmann, Wolfgang Schulz:Mengen – Relationen – Funktionen. Eine anschauliche Einführung. 3., überarbeitete und erweiterte Auflage. Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2007, ISBN 978-3-8351-0162-3.
Heike Mildenberger:Axiomatische Mengenlehre. Universität Freiburg, 9.November 2015, S.58 (mathematik.uni-freiburg.de[PDF]).
Willard van Orman Quine:Mengenlehre und ihre Logik (=Logik und Grundlagen der Mathematik. Band10). Vieweg+Teubner, Wiesbaden 1973, ISBN 3-528-08294-1, S.264 (amerikanisches Englisch: Set Theory And Its Logic. Cambridge, MA 1963. Ullstein 1978 als Taschenbuch).
Gerard O’Regan:Guide to Discrete Mathematics. Sets, Relations and Functions (=Texts in Computer Science (TCS)). Springer, Schweiz 2016, S.25–51, doi:10.1007/978-3-319-44561-8_2 (springer.com[PDF; 1000kB]).
Fritz Reinhardt, Heinrich Soeder:dtv-Atlas Mathematik. 11. Auflage. Band1: Grundlagen, Algebra und Geometrie. Deutscher Taschenbuchverlag, München 1998, ISBN 3-423-03007-0, S.30–33,42–45.
Gunther Schmidt, Thomas Ströhlein:Relationen und Graphen. Springer, Berlin u.a. 1989, ISBN 3-540-50304-8.
Robert Wall:Einführung in die Logik und Mathematik für Linguisten. Band1: Logik und Mengenlehre. Scriptor, Kronberg/Ts. 1974, ISBN 3-589-00023-6.
In der Theorie algebraischer Strukturen benutzt man – besonders im Hinblick auf die Kategorientheorie die Begriffe domain und codomain meist im Sinn von Quell- und Zielmenge, während in einführenden Schriften zur Mengenlehre diese meist als Urbild- und Bildmenge definiert werden,
Die charakteristische Funktion als Wahrheitsfunktion entspricht daher einem logischen Prädikat, und in der Modelltheorie nennt man die Relationssymbole deswegen auch Prädikatsymbole, siehe Stefan Brass (2005) S. 16.
Gelegentlich findet sich auch der Strichpunkt in Konturdarstellung. wird in Wikipedia aber hardware- und einstellungsabhängig nicht immer korrekt dargestellt.
Zur Notation siehe Gary Hardegree: Set Theory, Chapter 2: Relations, University of Massachusetts, Amherst, Department of Philosophy, Herbst 2015, S.11: D16 und D17. Im Gegensatz zu den anderen Notationen referenzieren diese Symbole Abbildungen (Funktionen) zwischen den Potenzmengen .
Bei Ordnungsrelationen und ähnlichen sprechen manche Autoren auch von Vorgängermenge oder -klasse, siehe Heike Mildenberger 2015, S.6, Definition 1.12.
W. v. O. Quine: Mengenlehre und ihre Logik.Seite 17. Achtung: Der Ausdruck ist als Bild betitelt, definiert aber klar das Urbild (eine Menge von linksseitigen Koordinaten= Argumenten ). Man beachte, dass diese Notation hier im Vergleich zu Funktionen konträr verwendet wird, bei Funktionen steht diese für das Bild (eine Menge von rechtsseitigen Koordinaten= Funktionswerten ) einer Menge unter einer Funktion . Dabei sind Funktionen spezielle Relationen. Siehe Bild (Mathematik) §Alternative Notationen.
Der obigen ausführlichen Relationsdefinition folgend wird man in Analogie zur Diagonalen das Nabla als den Graphen der Allrelation verstehen: (Relation) mit (Graph)
Robin Hirsch, Ian Hodkinson: Relation algebras. S. 7, auf: Third Indian Conference on Logic and its Applications (ICLA). 7.–11. Januar 2009, Chennai, India.
C. Brink, K. Britz, R. A. Schmidt: Peirce Algebras. (1994), S. 163f. In: M. Nivat, C. Rattray, T. Rus, G. Scollo (Hrsg.): Algebraic Methodology and Software Technology (AMAST’93). Workshops in Computing. Springer, London.
Der Begriff Graph im graphentheoretischen Sinn ist zu unterscheiden vom Begriff Graph einer Relation entsprechend der eingangs erwähnten ausführlichen Definition von Relationen (wie auch Abbildungen), welche in der Graphentheorie nicht verwendet wird.
Der Begriff Farbe rührt daher, dass man die entsprechend der Multimengentheorie als Multiplizität verstandene Zahl in der bildlichen Darstellung als nummerncodierte Farbe der Kante wiedergibt, analog bei gefärbten Knoten . Ein Beispiel für Farbnummern wären etwa die RAL-Farben.
„Zwei Größen, die einer und derselben dritten gleich sind, sind untereinander gleich.“ Vgl. Henri Poincaré: Wissenschaft und Hypothese. Autor. dt. Ausg. m. erl. Anm. v. F. u. L. Lindemann. Teubner, Leipzig 1904, S. 36.
Man erkennt dies leicht anhand der obigen Tabellen (1. und 2. Spalte) unter Berücksichtigung von , d.h. und der prädikatenlogischen Regeln. Die Umkehrungen gelten wegen Involutivität .