From Wikipedia, the free encyclopedia
Y gangen o fathemateg sy'n ymwneud â siâp, maint a lleoliad rhifau, a nodweddion gofod yw geometreg (Groeg: γεωμετρία; geo- "daear", -metron "measuriad").
 | |
| Enghraifft o'r canlynol | maes o fewn mathemateg  |
|---|---|
| Rhan o | mathemateg |
 Ffeiliau perthnasol ar Gomin Wicimedia | |
Tarddodd geometreg mewn sawl lle gwahanol drwy'r byd, yn annibynnol i'w gilydd, mewn ymgais ymarferol i ateb problemau'n ymwneud â hyd, arwynebedd a chyfaint gyda pheth disgyblaeth gwyddonol, ffurfiol i'w gael erbyn oes Thales yn y 6g CC. Erbyn y 3g roedd Euclid wedi'u ffurfioli ymhellach a cheir ei enw o fewn isddosbarth a adnabyddir heddiw fel geometreg Euclidaidd; dyma'r safon am ganrifoedd wedi hynny.[1] Datblygodd Archimedes dechneg wych i gyfrifo arwynebedd a chyfaint yr hyn a enwir heddiw yn calcwlws cyfannol (neu integrol).[2] Am y pymtheg cant o flynyddoedd dilynol, defnyddiwyd llawer o'i waith i ateb problemau'n ymwneud â mapio lleoliad y sêr a'r planedau. Ystyriwyd, felly, geometreg a seryddiaeth (yn y byd clasurol) yn rhan o'r un gangen (y Quadrivium) o'r saith celfyddyd bwysicaf i berson rhydd.
René Descartes a gyflwynodd y cysyniad o gyfesurynnau i'r astudiaeth ac ar yr un pryd datblygwyd algebra; mae'r ddau hyn yn ffurfio un o gerrig milltir pwysicaf y ddisgyblaeth gan y gellid, bellach, gynrychioli ffurfiau geometrig gyda ffwythiannau a hafaliadau. Yn ei dro (yn y 17g), chwaraeodd hyn ran eithriadol o bwysig yn yr hyn a elwir yn geometreg anfeidraidd. Dangosodd geometreg perspectif, hefyd, fod llawer mwy i geometreg, fel disgyblaeth, na jyglo rhifau. Ac yn sgil hyn, datblygwyd geometreg gwrthrychau gan Euler a Gauss gan arwain at isddosbarthiadau eraill o fewn geometreg a elwir yn dopograffi a geometreg gwahaniaethol.
Mae geometreg yn un disgyblaeth oddi fewn i Ofod:
 |  |  |  |  |  |
| Geometreg | Trigonometreg | Geometreg gwahaniaethol | Topoloeg | Geometreg ffractalaidd | Theori mesuredd |
Gellir olrhain dechreuad cynharaf a gofnodwyd o geometreg i Mesopotamia hynafol a'r Aifft yn yr 2il fileniwm CC.[3][4] Roedd geometreg gynnar yn gasgliad o egwyddorion a ddarganfuwyd yn empirig yn ymwneud â hyd, onglau, arwynebedd a chyfaint, a ddatblygwyd i ddiwallu rhywfaint o angen ymarferol wrth arolygu tir, adeiladu, seryddiaeth, ac amrywiol grefftau. Y testunau geometreg cynharaf y gwyddys amdanynt yw'r Papyrus Rhind o'r Aifft (2000-1800 CC) a Papyrus Moscow (tua 1890 CC), a'r tabledi clai Babilonaidd, megis Plimpton 322 (1900 CC). Er enghraifft, mae Papyrus Moscow yn rhoi fformiwla ar gyfer cyfrifo cyfaint pyramid cwtog, neu'r 'rhwystwm'.[5] Mae tabledi clai diweddarach (350-50 CC) yn dangos bod seryddwyr Babilonaidd wedi gweithredu gweithdrefnau trapesiwm ar gyfer cyfrifo safle a symudiad Iau o fewn gofod cyflymder-amser. Roedd y gweithdrefnau geometrig hyn yn rhagweld Cyfrifianellau Rhydychen, gan gynnwys y theorem cyflymder cymedrig, y 14g.[6] I'r de o'r Aifft sefydlodd y Nubiaid hynafol system geometreg gan gynnwys fersiynau cynnar o glociau haul.[7][8]
Yn y 7g CC, defnyddiodd y mathemategydd Groegaidd Thales of Miletus geometreg i ddatrys problemau fel cyfrifo uchder pyramidiau a phellter llongau o'r lan. Dyma'r defnydd cyntaf o resymu diddwythol (deductive reasoning) a gymhwysir i geometreg, trwy ddeillio pedwar corollaries i theorem Thales.[9] Sefydlodd Pythagoras yr Ysgol Pythagoraidd o feddwl, sy'n cael y clod am y prawf cyntaf o theorem Pythagoras,[10] er bod datganiad y theorem wedi'i wyntyllu llawer iawn cyn ei oes ef.[11][12] Datblygodd Eudoxus (408 - c. 355 CC) y dull parhaus (method of exhaustion), a oedd yn caniatáu cyfrifo arwynebedd a chyfeintiau ffigurau cromliniol,[13] yn ogystal â theori cymarebau a oedd yn osgoi problem meintiau anghymarebol, a alluogodd geometregwyr dilynol i wneud datblygiadau sylweddol yn y maes hwn.
Tua 300 CC, chwyldroadwyd geometreg gan Euclid, ac ystyrir ei Elfennau, yn eang fel y llyfr testun mwyaf llwyddiannus a dylanwadol erioed;[13] yn y gyfrol, cyflwynir trylwyredd mathemategol trwy ddefnyddio'r dull gwirebol a dyma'r enghraifft gynharaf o'r fformat hwn, sy'n dal i gael ei defnyddio mewn mathemateg heddiw. Hynny yw: diffiniad, gwireb, theorem, a phrawf. Er bod y rhan fwyaf o gynnwys yr Elfennau eisoes yn hysbys, trefnodd Euclid nhw yn un fframwaith rhesymegol cydlynol.[14] Roedd yr Elfennau yn hysbys i bawb addysgedig yn y Gorllewin tan ganol yr 20g ac mae ei chynnwys yn dal i gael ei ddysgu mewn dosbarthiadau geometreg heddiw.[15] Defnyddiodd Archimedes (c. 287–212 CC) o Syracuse y dull parhaus i gyfrifo'r arwynebedd o dan fwa parabola â chrynhoad y gyfres anfeidrol, a brasamcanodd pi yn hynod o gywir.[16] Astudiodd hefyd y Sbiral Archimedes sy'n dwyn ei enw, a llwyddodd i gael fformiwlâu ar gyfer cyfeintiau arwynebau tro.
Cyfrannodd y mathemategwyr Indiaidd yn helaeth mewn geometreg hefyd. Mae'r Satapatha Brahmana (3g CC) yn cynnwys rheolau ar gyfer cystrawennau geometrig defodol sy'n debyg i'r Sulba Sutras.[17] Yn ôl (Hayashi 2005) mae'r Śulba Sūtras yn cynnwys "yr ymadrodd llafar cynharaf sy'n bodoli o'r Theorem Pythagorean yn y byd, er ei fod eisoes yn hysbys i'r Hen Fabiloniaid. Maent yn cynnwys rhestrau o driawdau Pythagoraidd,[18] sy'n achosion penodol o hafaliadau Diophantine.[19] Yn llawysgrif Bakhshali, mae llond llaw o broblemau geometrig (gan gynnwys problemau ynghylch cyfeintiau solidau afreolaidd). Mae llawysgrif Bakhshali hefyd yn "gweithredu system gwerth lle degol gyda dot ar gyfer sero."[20] Mae Aryabhatiya Aryabhata (499) yn cynnwys cyfrifiant o arwynebedd a chyfeintiau.
Ysgrifennodd Brahmagupta ei waith seryddol Brāhma Sphuṭa Siddhānta yn 628. Rhannwyd Pennod 12, yn cynnwys 66 o benillion Sansgrit, yn ddwy adran: "gweithrediadau sylfaenol", gan gynnwys y trydydd isradd, ffracsiynau, cymhareb a chyfran, a chyfnewid (barter) a "mathemateg ymarferol" (gan gynnwys cymysgedd, cyfresi mathemategol, ffigurau plân, pentyrru briciau, llifio pren, a phentyrru grawn).[21] Yn yr adran olaf, nododd ei theorem enwog ar groeslinau pedrochrog cylchol. Roedd Pennod 12 hefyd yn cynnwys fformiwla ar gyfer arwynebedd pedrochrog cylchol, ynghyd â disgrifiad cyflawn o drionglau cymarebol (hy trionglau ag ochrau cymarebol ac arwynebedd cymarebol).[21]
Yn Islam ganoloesol yr Oesoedd Canol, cyfrannodd mathemategwyr at ddatblygiad geometreg, yn enwedig geometreg algebraidd.[22][23] Esgorodd Al-Mahani (ganwyd 853) ar y syniad o leihau problemau geometregol o fewn algebra. Gweithiodd Thābit ibn Qurra (a elwir yn Thebit yn Lladin; 836-901) â gweithrediadau rhifyddeg a gymhwyswyd i gymarebau meintiau geometregol, a chyfrannodd at ddatblygiad geometreg ddadansoddol. Daeth Omar Khayyám (1048–1131) o hyd i atebion geometrig i hafaliadau ciwbig. Roedd theoremau Ibn al-Haytham (Alhazen), Omar Khayyam a Nasir al-Din al-Tusi ar bedrochrau, gan gynnwys pedrochrog Lambert a phedrochrog Saccheri, yn ganlyniadau cynnar mewn geometreg hyperbolig, ac ynghyd â'u cynosodiadau amgen, fel gwireb Playfair, cafodd y gweithiau hyn gryn ddylanwad ar ddatblygiad geometreg nad yw'n Ewclidaidd ymhlith geometrau Ewropeaidd diweddarach, gan gynnwys Witelo (c. 1230 - c. 1314), Gersonides (1288–1344), Alfonso, John Wallis, a Giovanni Girolamo Saccheri.
Yn gynnar yn yr 17g, cafwyd dau ddatblygiad pwysig mewn geometreg. Y cyntaf oedd creu geometreg ddadansoddol, neu geometreg gyda chyfesurynnau a hafaliadau, gan René Descartes (1596–1650) a Pierre de Fermat (1601–1665).[24] Roedd hyn yn rhagflaenydd angenrheidiol i ddatblygiad calcwlws a gwyddoniaeth feintiol ffiseg.[25] Yr ail ddatblygiad pwysig oedd yr astudiaeth systematig o Geometreg dafluniol gan Girard Desargues (1591–1661).[26] Dyma astudiaeth o briodweddau siapiau sy'n ddigyfnewid gan dafluniadau a thoriadau, yn enwedig gan eu bod yn ymwneud â phersbectif artistig.[27]
Cafwyd dau ddatblygiad mewn geometreg yn y 19g hefyd:[28] y cyntaf oedd darganfod geometregau an-Ewclidaidd, gan Nikolai Ivanovich Lobachevsky, János Bolyai a Carl Friedrich Gauss ac o lunio cymesuredd fel yr ystyriaeth ganolog yn Rhaglen Erlangen Felix Klein (a oedd yn cyffredinoli'r geometregau Ewclidaidd ac an-Ewclidaidd). Dau o brif geometregwyr oes oedd Bernhard Riemann (1826-1866), gan weithio'n bennaf gydag offer o ddadansoddiad mathemategol, a chyflwyno wyneb Riemann, a Henri Poincaré, sylfaenydd topoleg algebraidd a theori geometrig systemau deinamig. O ganlyniad i'r newidiadau mawr hyn yng nghysyniad geometreg, daeth y cysyniad o "ofod" yn rhywbeth cyfoethog ac amrywiol, a'r cefndir naturiol ar gyfer damcaniaethau mor wahanol â dadansoddi cymhlyg a mecaneg glasurol.[29]
Mae'r canlynol yn rhai o'r cysyniadau pwysicaf mewn geometreg.[30][31][32]
Cymerodd Euclid agwedd haniaethol at geometreg yn ei Elfennau,[33] un o'r llyfrau mwyaf dylanwadol a ysgrifennwyd erioed.[34] Cyflwynodd rai wirebau, neu cynosodiadau, gan fynegi priodweddau sylfaenol, hunan-amlwg pwyntiau, llinellau a planau.[35] Aeth ymlaen i dynnu priodweddau eraill yn drwyadl trwy resymu mathemategol. Un o nodweddion Euclid tuag at geometreg oedd ei drylwyredd, ac fe’i gelwir yn geometreg gwirebol neu synthetig.[36] Ar ddechrau'r 19g, arweiniodd darganfyddiad o geometregau an-Ewclidaidd gan Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1792-1856), János Bolyai (1802-1860), Carl Friedrich Gauss (1777-1855) ac eraill [37] o ddiddordeb yn y ddisgyblaeth hon, ac yn yr 20g, defnyddiodd David Hilbert (1862–1943) ymresymu gwirebol mewn ymgais i ddarparu sylfaen fodern i geometreg.[38]
Yn gyffredinol, ystyrir pwyntiau yn wrthrychau sylfaenol ar gyfer adeiladu geometreg. Gellir eu diffinio gan y priodweddau sydd ganddynt, fel yn niffiniad Euclid fel "yr hyn nad oes ganddo ran",[39] neu mewn geometreg synthetig. Mewn mathemateg fodern, fe'u diffinnir yn gyffredinol fel elfennau o set o'r enw gofod, sydd ei hun wedi'i ddiffinio'n wirebol.
Gyda'r diffiniadau modern hyn, diffinnir pob siâp geometrig fel set o bwyntiau; nid yw hyn yn wir mewn geometreg synthetig, lle mae llinell yn wrthrych sylfaenol arall nad yw'n cael ei ystyried fel set y pwyntiau y mae'n mynd drwyddynt.
Mewn mathemateg fodern, o ystyried y llu o geometregau, mae'r cysyniad o linell wedi'i glymu'n agos â'r ffordd y disgrifir y geometreg. Er enghraifft, mewn geometreg ddadansoddol, diffinnir llinell yn y plân yn aml fel y set o bwyntiau y mae eu cyfesurynnau'n bodloni hafaliad llinol penodol,[40] ond mewn lleoliad mwy haniaethol, fel geometreg mynychder, gall llinell fod yn wrthrych annibynnol, ar wahân i'r set o bwyntiau sydd arno.[41] Mewn geometreg wahaniaethol, mae geodesig yn cyffredinoli'r syniad o linell i fannau crwm.[42]
Mae'r plân yn arwyneb fflat, dau ddimensiwn sy'n ymestyn yr anfeidraidd ymhell. Plân yw'r analog dau ddimensiwn o bwynt (heb ddimensiwn), llinell (un dimensiwn) a lle (neu 'ofod') tri dimensiwn. Gall planau fodoli fel is-blanau (subspaces) hefyd, is-blanau o ryw ddimensiwn uwch, fel ystafell o fewn tŷ gada'i waliau'n cael eu hymestyn am byth, y tu allan i'r dyluniad. Dyma a wneir mewn geometreg Ewclidaidd.
Wrth weithio'n gyfan gwbl mewn gofod Ewclidaidd dau ddimensiwn, defnyddir y fannod (y plân), felly mae'r plân yn cyfeirio at y gofod cyfan. Mae llawer o dasgau sylfaenol mewn mathemateg, geometreg, trigonometreg, theori graff, a graffio yn cael eu gwneud mewn lle dau ddimensiwn, neu, mewn geiriau eraill, yn y plân.[43]
Y ffigur a ffurfir gan ddwy linell sy'n cwrdd ar fertig (cornel) yw ongl.[44] Mae'r ongl hefyd yn fesuriad o gylchdroad, y gymhareb o hyd arc i'w radiws. Mesurir onglau yn aml mewn graddau (°), ond y radian yw'r uned safonol. Ceir 360° mewn un troad cylch, a 2π radian mewn un troad cylch.[45] Gellir mesur onglau gydag onglydd. Defnyddir y llythyren Roeg theta (θ) fel symbol mathemategol am ongl.[39]
Mewn geometreg Ewclidaidd, defnyddir onglau i astudio polygonau a thrionglau, yn ogystal â ffurfio gwrthrych a asudir ar wahân.[39] Mae astudio onglau triongl neu onglau mewn cylch yn sail i drigonometreg.[46]
Mae cromlin yn wrthrych 1 dimensiwn a all fod yn syth (fel llinell) ai peidio; gelwir cromliniau mewn gofod dau ddimensiwn yn gromliniau plân a gelwir y rhai mewn gofod 3 dimensiwn yn gromliniau gofod.[47]
Mae arwyneb yn wrthrych dau ddimensiwn, fel sffêr neu baraboloid.[48] Mewn geometreg wahaniaethol [49] a thopoleg,[50] gan 'glytiau' (patches) dau ddimensiwn (neu gymdogaethau) sy'n cael eu cydosod gan differomorffiaethau neu homeomorffadau, yn y drefn honno. Mewn geometreg algebraidd, disgrifir arwynebau gan hafaliadau polynomial.[51]
Felly, mewn geometreg solat, mae ochr (face) yn blân fflat, dau ddimensiwn, sy'n ffurfio rhan o ffin gwrthrych solat. Mae gan wrthrych solat tri dimensiwn sawl ochr, a gelwir y gwrthrych hwn yn bolyhedron e.e. mae'r ciwb yn bolyhedron ac mae ganddo 6 ochr. Mae gan bob ochr "arwyneb" (surface).[52][53]
Mae maniffold yn cyffredinoli'r cysyniadau o gromlin ac arwyneb. Mewn topoleg, mae maniffold yn ofod topolegol lle mae gan bob pwynt gymdogaeth sy'n homeomorffedd i ofod Ewclidaidd.[50] Mewn geometreg wahaniaethol, mae maniffold gwahaniaethol yn ofod lle mae pob cymdogaeth yn wahanol i ofod Ewclidaidd.[49]
Defnyddir maniffoldiau yn helaeth mewn ffiseg, gan gynnwys mewn perthnasedd cyffredinol a theori llinyn.[54]
Mae hyd, arwynebedd a chyfaint yn disgrifio maint neu faint gwrthrych mewn un dimensiwn, dau ddimensiwn, a thri dimensiwn.[55]
Mewn geometreg Ewclidaidd a geometreg ddadansoddol, yn aml gellir cyfrifo hyd segment llinell gan y theorem Pythagorean .[56]
Gellir cyffredinoli'r cysyniad o hyd neu bellter, gan arwain at y syniad o fetrigau. Er enghraifft, mae'r metrig Ewclidaidd yn mesur y pellter rhwng pwyntiau yn y plân geometraidd, tra bod y metrig hyperbolig yn mesur y pellter yn y plân hyperbolig. Mae enghreifftiau pwysig eraill o fetrigau yn cynnwys metrig Lorentz perthnasedd arbennig a metrigau lled-Riemannian perthnasedd cyffredinol.[57]
I gyfeiriad gwahanol, mae cysyniadau hyd, arwynebedd a chyfaint yn cael eu hymestyn gan theori mesur, sy'n astudio dulliau o neilltuo maint neu fesur i setiau, lle mae'r mesurau yn dilyn rheolau tebyg i rai arwynebedd a chyfaint glasurol.[58]
Mae cyfathiant a chyflunedd yn gysyniadau sy'n disgrifio pan fydd gan ddau siâp nodweddion tebyg.[59] Mewn geometreg Ewclidaidd, defnyddir cyflunedd i ddisgrifio gwrthrychau sydd â'r un siâp, tra bod cyfathiant yn cael ei ddefnyddio i ddisgrifio gwrthrychau sydd yr un fath o ran maint a siâp.[60] Roedd Hilbert, yn ei waith ar greu sylfaen fwy trylwyr ar gyfer geometreg, yn trin cyfathiant fel term heb ei ddiffinio y mae ei briodweddau wedi'u diffinio gan wirebau.
Roedd mathemategwyr geometraidd, clasurol yn canolbwyntio ar adeiladu gwrthrychau geometrig a oedd wedi'u disgrifio mewn rhyw ffordd arall. Yn glasurol, yr unig offerynnau a ganiateir mewn cystrawennau geometrig yw'r cwmpawd a'r pren mesur. Hefyd, roedd yn rhaid i bob lluniad fod yn gyflawn mewn nifer gyfyngedig o gamau. Fodd bynnag, roedd rhai problemau'n anodd neu'n amhosibl eu datrys trwy'r dulliau hyn yn unig, a darganfuwyd lluniadau dyfeisgar gan ddefnyddio parabolas a chromliniau eraill, yn ogystal â dyfeisiau mecanyddol.
Lle roedd y geometreg draddodiadol yn caniatáu dimensiynau 1 ( llinell), 2 (plân) a 3 (ein byd amgylchynol a genhedlwyd fel gofod tri dimensiwn), mae mathemategwyr a ffisegwyr wedi defnyddio dimensiynau uwch ers bron i ddwy ganrif.[61] Un enghraifft o ddefnydd mathemategol ar gyfer dimensiynau uwch yw gofod cyfluniad (configuration space) o system real, sydd â dimensiwn sy'n hafal i 'raddfeydd o ryddid' y system. Er enghraifft, gall pum cyfesuryn ddisgrifio cyfluniad sgriw.[62]
Mewn topoleg gyffredinol, mae'r cysyniad o ddimensiwn wedi'i ymestyn o rifau naturiol, i ddimensiwn anfeidrol ( e.e. gofodau Hilbert) a rhifau real, positif (mewn geometreg ffractal).[63] Mewn geometreg algebraidd, mae dimensiwn yr amrywyn algebraidd (dimension of an algebraic variety) wedi derbyn nifer o ddiffiniadau sy'n ymddangos yn wahanol, sydd i gyd yn gyfwerth yn yr achosion mwyaf cyffredin.[64]
Mewn cymesuredd, mae gwrthrych yn sefydlog i drawsnewidiad, megis adlewyrchiad, ond hefyd mathau eraill o drawsnewdiad. Ceir sawl math elfennol o gymersuredd gan gynnwys cymersuredd drwy: raddfa, adlewyrchiad, cylchdro a chymesuredd ffwythiannol. Ceir mathau gwahanol o gymesuredd hefyd mewn cerddoriaeth, iaith, gwrthrychau haniaethol, modelu mathemategol theori a hyd yn oed gwybodaeth.[65] Gellir ei ganfod o fewn gwrthrychau pob dydd megis person, crisialau, cwilt ar wely, teils ar lawr, adeiladau, moleciwlau neu o fewn y byd natur ac o fewn gwrthrychau haniaethol megis fformiwlâu mathemategol. Mae thema cymesuredd mewn geometreg bron mor hen â gwyddoniaeth geometreg ei hun.[66] Roedd gan siapiau cymesur fel y cylch, polygonau rheolaidd a solidau platonig arwyddocâd dwfn i lawer o athronwyr hynafol[67] ac ymchwiliwyd iddynt yn fanwl cyn amser Euclid.[35] Mae patrymau cymesur yn digwydd o ran eu natur ac fe'u rendrwyd yn artistig mewn llu o ffurfiau, gan gynnwys graffeg Leonardo da Vinci, M. C. Escher, ac eraill.[68] Yn ail hanner y 19g, daeth y berthynas rhwng cymesuredd a geometreg o dan y chydd wydr. Cyhoeddodd rhaglen Erlangen Felix Klein fod cymesuredd, a fynegir trwy'r syniad o grŵp trawsnewid, mewn ystyr fanwl iawn, yn diffinio beth yw geometreg.[69]
Mae cymesureddau arwahanol a pharhaus yn chwarae rolau amlwg mewn geometreg, y cyntaf mewn topoleg a theori grŵp geometrig,[70][71] a'r ail mewn theori Lie a geometreg Riemannian.[72][73]
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.
