虛數單位

在數學、物理及工程學裏，虛數單位是指二次方程${\displaystyle x^{2}+1=0}$的解。虽然沒有這樣的实数可以滿足這個二次方程，但可以通過虛數單位将實數系統${\displaystyle \mathbb {R} }$延伸至复数系統${\displaystyle \mathbb {C} }$。延伸的主要動機為有很多實係數多項式方程式無實數解。例如剛才提到的方程式${\displaystyle x^{2}+1=0}$就無實數解。可是倘若我們允許解答為虛數，那麼這方程式以及所有的多項式方程式都有解。虛數單位標記為${\displaystyle i}$，在电机工程和相关领域中则标记为${\displaystyle j}$，这是为了避免与电流（记为${\displaystyle i(t)}$或${\displaystyle i}$）混淆。

虛數單位${\displaystyle i}$在複平面的位置。橫軸是實數，豎軸是虛數

高斯整數導航
			↑
			2i
		−1+i	i	1+i
←	−2	−1	0	1	2	→
		−1−i	−i	1−i
			−2i
			↓

各种各样的数

基本

${\displaystyle \mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C} }$ 正數 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ 自然数 ${\displaystyle \mathbb {N} }$ 正整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}$ 小数 有限小数 无限小数 循环小数 有理数 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 代數數 ${\displaystyle \mathbb {A} }$ 实数 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 複數 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 高斯整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ 负数 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{-}}$ 整数 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 负整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{-}}$ 分數 單位分數 二进分数 規矩數 無理數 超越數 虚数 ${\displaystyle \mathbb {I} }$ 二次無理數 艾森斯坦整数 ${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$

延伸

二元数 四元數 ${\displaystyle \mathbb {H} }$ 八元数 ${\displaystyle \mathbb {O} }$ 十六元數 ${\displaystyle \mathbb {S} }$ 超實數 ${\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }$ 大實數 上超實數 雙曲複數 雙複數 複四元數 共四元數（英语：Dual quaternion） 超复数 超數 超現實數

其他

質數 ${\displaystyle \mathbb {P} }$ 可計算數 基數 阿列夫數 同餘 整數數列 公稱值 規矩數 可定义数 序数 超限数 p進數 数学常数 圓周率 ${\displaystyle \pi =3.14159265}$… 自然對數的底 ${\displaystyle e=2.718281828}$… 虛數單位 ${\displaystyle i={\sqrt {-{1}}}}$ 無限大 ${\displaystyle \infty }$

查 论 编

定義

${\displaystyle \ldots }$

${\displaystyle {{i}^{-{3}}}=i}$

${\displaystyle {{i}^{-{2}}}=-1}$

${\displaystyle {{i}^{-{1}}}=-i}$

${\displaystyle {{i}^{0}}=1}$

${\displaystyle {{i}^{1}}=i}$

${\displaystyle {{i}^{2}}=-1}$

${\displaystyle {{i}^{3}}=-i}$

${\displaystyle {{i}^{4}}=1}$

${\displaystyle {{i}^{5}}=i}$

${\displaystyle {{i}^{6}}=-1}$

${\displaystyle \ldots }$

虛數單位${\displaystyle i}$定義為二次方程式${\displaystyle x^{2}+1=0}$的兩個根中的一個。這方程式又可等價表達為：

${\displaystyle {{x}^{2}}=-1}$。

由於實數的平方絕不可能是負數，我們假設有這麼一個數目解答，給它設定一個符號${\displaystyle i}$。很重要的一點是，${\displaystyle i}$是一個良定義的數學構造。

另外，虛數單位同樣可以表示為：

${\displaystyle i={\sqrt {-{1}}}}$

然而${\displaystyle i={\sqrt {-{1}}}}$往往被誤認為是錯的，他們的證明的方法是：

因為${\displaystyle -1=i\cdot i=\left({\sqrt {-1}}\right)\times \left({\sqrt {-1}}\right)={\sqrt {\left(-1\right)\times \left(-1\right)}}={\sqrt {1}}=1}$，但是-1不等於1。

但請注意：${\displaystyle {\sqrt {a\cdot b}}={\sqrt {a}}\cdot {\sqrt {b}}}$成立的條件有${\displaystyle a}$,${\displaystyle b}$不能為負數。

實數運算可以延伸至虛數與複數。當計算一個表達式時，我們只需要假設${\displaystyle i}$是一個未知數，然後依照${\displaystyle i}$的定義，替代任何${\displaystyle i^{2}}$的出現為-1。${\displaystyle i}$的更高整數冪數也可以替代為${\displaystyle -i}$，${\displaystyle 1}$，或${\displaystyle i}$，根據下述方程式：

${\displaystyle i^{3}=i^{2}i=(-1)i=-i}$，

${\displaystyle i^{4}=i^{3}i=(-i)i=-(i^{2})=-(-1)=1}$，

${\displaystyle i^{5}=i^{4}i=(1)i=i}$。

一般地，有以下的公式：

${\displaystyle i^{4n}=1}$

${\displaystyle i^{4n+1}=i}$

${\displaystyle i^{4n+2}=-1}$

${\displaystyle i^{4n+3}=-i}$

${\displaystyle i^{n}=i^{n{\bmod {4}}}}$

其中${\displaystyle {\bmod {4}}}$表示被4除的余数。

i和-i

方程${\displaystyle x^{2}=-1}$有两个不同的解，它们都是有效的，且互为共轭虚数及倒數。更加确切地，一旦固定了方程的一个解${\displaystyle i}$，那么${\displaystyle -i}$（不等于${\displaystyle i}$）也是一个解，由于这个方程是${\displaystyle i}$的唯一的定义，因此这个定义表面上有歧义。然而，只要把其中一个解选定，并固定为${\displaystyle i}$，那么实际上是没有歧义的。这是因为，虽然${\displaystyle -i}$和${\displaystyle i}$在数量上不是相等的（它们是一对共轭虚数），但是${\displaystyle i}$和${\displaystyle -i}$之间没有质量上的区别（-1和+1就不是这样的）。在任何的等式中同時將所有i替換為-i，該等式仍成立。

${\displaystyle -i^{2}=1}$

${\displaystyle -i=i^{-1}={\frac {1}{i}}}$

正当的使用

虚数单位有时记为${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$。但是，使用这种记法时需要非常谨慎，这是因为有些在实数范围内成立的公式在复数范围内并不成立。例如，公式${\displaystyle {\sqrt {a}}\cdot {\sqrt {b}}={\sqrt {a\cdot b}}}$仅对于非负的实数${\displaystyle a}$和${\displaystyle b}$才成立。

假若這個關係在虚数仍成立，則會出現以下情況：

${\displaystyle -1=i\cdot i={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}={\sqrt {(-1)\cdot (-1)}}={\sqrt {1}}=1}$（不正确）

${\displaystyle -1=i\cdot i=\pm {\sqrt {-1}}\cdot \pm {\sqrt {-1}}=\pm {\sqrt {(-1)\cdot (-1)}}=\pm {\sqrt {1}}=\pm 1}$（不正确）

${\displaystyle {\frac {1}{i}}={\frac {\sqrt {1}}{\sqrt {-1}}}={\sqrt {\frac {1}{-1}}}={\sqrt {-1}}=i}$（不正确）

i的运算

虛數單位${\displaystyle i}$的平方根在複平面的位置

许多实数的运算都可以推广到${\displaystyle i}$，例如平方根、冪、对数和三角函数。以下运算除第一项外，均为与${\displaystyle i}$有关的多值函数，在实际应用时必须指明函数的定义选择在黎曼面的哪一支。下面列出的仅仅是最常采用的黎曼面分支的计算结果。

• ${\displaystyle i}$的平方根为：

${\displaystyle \pm \left({\frac {\sqrt {2}}{2}}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}i\right)=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)}$

这是因为：

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\right]^{2}&=\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{2}(1+i)^{2}\ \\&={\frac {1}{2}}(1+2i+i^{2})\\&={\frac {1}{2}}(1+2i-1)\\&=i\end{aligned}}}$

使用算术平方根符号表示：

${\displaystyle {\sqrt {i}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)}$

其解法為先假設兩實數${\displaystyle x}$及${\displaystyle y}$，使得${\displaystyle (x+iy)^{2}=i}$，求解${\displaystyle x,y}$^[1]

• 一个数的${\displaystyle ni}$次幂为：

${\displaystyle x^{ni}=\cos \ln x^{n}+i\sin \ln x^{n}}$

一个数的${\displaystyle ni}$次方根为：

${\displaystyle {\sqrt[{ni}]{x}}=\cos \ln {\sqrt[{n}]{x}}-i\sin \ln {\sqrt[{n}]{x}}}$

利用歐拉公式

${\displaystyle i^{i}=\left[e^{i({\frac {\pi }{2}}+2k\pi )}\right]^{i}=e^{i^{2}({\frac {\pi }{2}}+2k\pi )}=e^{-({\frac {\pi }{2}}+2k\pi )}}$，${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$

代入不同的${\displaystyle k}$值，可計算出無限多的解。当${\displaystyle k=0}$最小的解是${\displaystyle e^{-{\frac {\pi }{2}}}\approx }$0.20787957635076...^[2]

• 以${\displaystyle i}$为底的对数为：

${\displaystyle \log _{i}x={{2\ln x} \over i\pi }}$

• ${\displaystyle i}$的余弦是一个实数：

${\displaystyle \cos i=\cosh 1={{e+{\frac {1}{e}}} \over 2}={{e^{2}+1} \over 2e}\approx }$1.5430806348152...

• ${\displaystyle i}$的正弦是纯虚数：

${\displaystyle \sin i=i\sinh 1={{e-{\frac {1}{e}}} \over 2}i={{e^{2}-1} \over 2e}i\approx }$1.1752011936438...${\displaystyle i}$

在程式語言

• 大部分的程式語言都不提供虛數單位，且平方根函數(大多為sqrt()或Math.Sqrt())的引數不可以是負數，因此，必須自行建立類別後方可使用。
• 但Lisp的许多实现与方言，如Common Lisp，内建虚数和複數的支持。不少动态语言受其影响，也在语言本身或标准库中支持虚数和複數，如Python、Ruby。
• 一些传统编程语言，如C语言，也从C99开始支持虚数和複數。
• 在Matlab，虛數單位的表示方法為i或j，但i和j在for迴圈可以有其他用途。
• 在Mathematica，虛數單位的表示方法為I、𝕚或𝕛。
• 在Maple，必須啟用虛數功能，並選擇用i還是j表示虛數單位。
• Go語言於第 1.0 版就内建虚数和複數的支持，變數類型為 complex64和complex128^[3]。

註解

1. University of Toronto Mathematics Network: What is the square root of i? （页面存档备份，存于互联网档案馆） URL retrieved March 26, 2007.
2. "The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers" by David Wells, Page 26.
3. Rob Pike. Constants. The Go Blog. 2014-08-25 [2022-05-27]. （原始内容存档于2022-06-28）.

参见

• 代數基本定理
• 虚数
• 复平面
• 单位根
• i

参考文献

• Paul J. Nahin, An Imaginary Tale, The Story of √-1, Princeton University Press, 1998

外部链接

• 欧拉对多项式的复数根的研究
• i作為-1的平方根（英文視頻）^{[永久失效連結]}
• ${\displaystyle i^{7321}}$的計算方法舉例（英文視頻）