2i

${\displaystyle 2i}$是在虛數軸正向距離原點兩個單位的純虛數，屬於高斯整數^[2]:13，為虛數單位的兩倍^[2]:12，同時也是負四的平方根^{[2]:12[3][4]:ix[5][6][7][8]}，是方程式${\displaystyle x^{2}+4=0}$的正虛根^[3][9]:10。日常生活中通常不會用${\displaystyle 2i}$來計量事物，例如無法具體地描述何謂${\displaystyle 2i}$個人，邏輯上${\displaystyle 2i}$個人並沒有意義。^[10]部分書籍或教科書偶爾會使用${\displaystyle 2i}$來做虛數的例子或題目。^[11]

此条目页的主題是一個虛數。关于2i的其他意義和用法，請見「2I」。

2i

2i
數表 — 高斯整數 << −3i −2i −i 0  i  2i  3i >>
${\displaystyle 2i}$在高斯平面上的位置
命名
名稱	2i 負四的平方根 二虛數單位
性質
高斯整數分解	${\displaystyle (1+i)^{2}}$
絕對值	2[1]
以此為根的多項式或函數	${\displaystyle x^{2}+4=0}$
表示方式
值	2倍虛數單位 ${\displaystyle 2i}$
代數形式	${\displaystyle 2{\sqrt {-1}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {-4}}}$
十进制	2i
-1+i进制	1110100
2i进制	10
查 论 编

高斯整數導航
			↑
			2i
		−1+i	i	1+i
←	−2	−1	0	1	2	→
		−1−i	−i	1−i
			−2i
			↓

在高斯平面上，與${\displaystyle 2i}$相鄰的高斯整數有${\displaystyle i}$和${\displaystyle 3i}$（上下相鄰；純虛數）以及${\displaystyle 2i-1}$和${\displaystyle 2i+1}$（左右相鄰），然而複數不具備有序性，即無法判斷${\displaystyle 2i}$與${\displaystyle 3i}$間的大小關係，因此無法定義${\displaystyle i}$與${\displaystyle 3i}$何者為${\displaystyle 2i}$的前一個虛數、何者為${\displaystyle 2i}$的下一個虛數。

−1+3i	3i	1+3i
−1+2i	2i	1+2i
−1+i	i	1+i
與${\displaystyle 2i}$相鄰的高斯整數示意圖

性質

• ${\displaystyle 2i}$不屬於實數，是一個純虛數，同時也是複數位於複數平面，其實部為0、虛部為2^[12]，輻角為90度（${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$弧度）^[13]，其也能表達為${\displaystyle 2e^{i\pi /2}}$^[14]:7或${\displaystyle 2\left(\cos {\frac {\pi }{2}}+i\sin {\frac {\pi }{2}}\right)}$^[15]。
• ${\displaystyle 2i}$是一個高斯整數^[16][17][18]，高斯整數分解為${\displaystyle (1+i)^{2}}$^[19]:711，或${\displaystyle (1+i)(1+i)}$^[20]:433，其中，1+i為2i的高斯質因數。^{[19]:711[21][22]:247}
• 所有複數的可以表達為${\displaystyle 2i}$之冪的線性組合。^[23]換句話說若進位制以${\displaystyle 2i}$為底數，則可獨一無二地表示全體複數^[24]。該進制稱為2i進制，由高德納於1955年發現。^[25]
• 複數的虛數部可以定義為複數與其共軛複數之差除以${\displaystyle 2i}$的商，^[26]換言之，則${\displaystyle z-z^{*}=2i\,Im(z)}$。^[2]:32

  ${\displaystyle Im(z)={\frac {z-z^{*}}{2i}}}$

• 正弦函數可以定義為純虛指數函數與其倒數之差除以${\displaystyle 2i}$的商。^{[27][28]:41[2]:64}

  ${\displaystyle \sin(z)={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}}$

• ${\displaystyle 2i}$等於最小的質數和虛數單位的積，即${\displaystyle p_{_{1}}\times i=2i}$^[15]，其中${\displaystyle p_{n}}$為第${\displaystyle n}$個質數。
• 虛數單位和虛數單位的倒數相差${\displaystyle 2i}$。
• 任意數與${\displaystyle 2i}$相乘的意義為模放大兩倍並在複平面上以原點為中心逆時針旋轉90度。^{[14]:7[2]:20-21}

2i的冪

${\displaystyle 2i}$的前幾次冪為1、 2i、 −4、 −8i、 16、 32i、 −64...^[29]，其會在實部和虛部交錯變換，其單位會在1、i、−1、−i中變化。其中，實數項為−4的冪^[30] ，虛數的正值項為16的冪的2倍^[31] 、虛數的負值項為16的冪的−8倍^[32]，因此這種特性使得${\displaystyle 2i}$作為底數可以不將複數表達為實部與虛部就能表示全體複數，^[29]並且有研究以此特性設計複數運算電路^[33]。

2i的平方根

${\displaystyle 2i}$的平方根正好是實數單位與虛數單位的和，即${\displaystyle {\sqrt {2i}}=1+i}$^[28]:3，反過來說${\displaystyle 2i}$正好是實數單位與虛數單位相加的平方，${\displaystyle (1+i)^{2}=2i}$^[34][35]:388。若考慮平方根的正負，則1+i和−1−i都是${\displaystyle 2i}$的平方根。

相關數字

−2i

${\displaystyle -2i}$是${\displaystyle 2i}$的相反數，其平方根曾提議作為複數進位制的底數。^[36]

1+i

${\displaystyle 1+i}$是${\displaystyle 2i}$的平方根^[28]，同時也是高斯質數^[37]。由於其冪次為1+i、 2i、 −2+2i、 −4、 −4−4i、 −8i...，在正負、虛實交替變化，因此若作為進位制底數可以表達全體複數。但其組合變化相較於${\displaystyle -1+i}$為底數的進位制，${\displaystyle -1+i}$做為底數更為適合。^[38]亦有另外一個數也為${\displaystyle 2i}$的平方根，即${\displaystyle -1-i}$，但這個數較少出現於探討進位制底數的文章中，也沒有其他特殊的性質。此外，${\displaystyle -1-i}$也不是第一象限高斯質數，因此鮮少被拿出來討論。

−1+i

−1+i

−1+i
命名
名稱	−1+i
性質
高斯整數分解	${\displaystyle }$${\displaystyle i\times \left(1+i\right)}$
絕對值	${\displaystyle {\sqrt {2}}}$
表示方式
值	${\displaystyle -1+i}$
代數形式	${\displaystyle {\sqrt {-2i}}}$
十进制	−1+i
2i进制	113.2
查 论 编

在−1+i進位制系統中整數部分全為零的複數

参见：-1±i进制

${\displaystyle -1+i}$是${\displaystyle -2i}$的平方根。距離原點${\displaystyle {\sqrt {2}}}$單位，輻角為135度（${\displaystyle {\frac {3\pi }{4}}}$弧度^[39]），其實部為負一、虛部為1。${\displaystyle -1+i}$不是高斯質數，其可以分解為i和1+i的乘積。由於其冪次為−1+i、 −2i、 2+2i、 −4、 4−4i、 8i...，其在正負、虛實交替變化，因此其可以構建一個以${\displaystyle -1+i}$為底數並用1和0表達複數的進位制^[36][40]。其他複數雖然也可以，如${\displaystyle 1-i}$，但對高斯整數而言，以${\displaystyle 1-i}$為底並不是一個優良的選擇。^[38]雖然${\displaystyle 1-i}$也是${\displaystyle -2i}$的平方根，但因為上述原因，所以${\displaystyle 1-i}$這個數字通不會用來作為進制的底數來使用。

除了${\displaystyle -1+i}$外，其他${\displaystyle -n+i}$形式的複數也能作為進位制底數，但其在表達數的範圍不同，以${\displaystyle -1+i}$為例，其表達的範圍較為均勻，而${\displaystyle -2+i}$、${\displaystyle -3+i}$等則會越來越狹長。^[41]

−1+i進制與相關進制比較

十進制	二進制	2i進制	−1+i進制	−2+i進制
0	0	0	0	0
1	1	1	1	1
2	10	2	1100	2
−1	−1	103	11101	144
−2	−10	102	11100	143
i	i	10.2	11	12
2i	10i	10	1110100	24
3i	11i	20.2	1110111	1341
−i	−i	0.2	111	133
−2i	−10i	1030	100	121
−3i	−11i	1030.2	110011	13304
1+i	1+i	11.2	1110	13
1−i	1−i	1.2	111010	134
−1+i	−1+i	113.2	10	11
−1−i	−1−i	103.2	110	132
2+i	10+i	12.2	1111	14
2−i	10−i	2.2	111011	1440
−2+i	−10+i	112.2	11111	10
−2−i	−10−i	102.2	11101011	131

相鄰的高斯整數

−1+3i	3i	1+3i
−1+2i	2i	1+2i
−1+i	i	1+i
與${\displaystyle 2i}$相鄰的高斯整數示意圖

3i

「3i」重定向至此。關於与本條目同名之其他主题，請見「3I」。

${\displaystyle 3i}$是在虛數軸正向距離原點3個單位的純虛數，是虛數單位的三倍，同時也是負九（−9）的平方根，與純虛數2i和4i相鄰、並與高斯整數−1+3i和1+3i相鄰。

${\displaystyle 3i}$的為虛數單位與質數3的乘積，其中，3也是高斯質數，因此${\displaystyle 3i}$的高斯整數分解為${\displaystyle }$${\displaystyle i\times 3}$。

−1+2i

${\displaystyle -1+2i}$是在虛數軸正向距離原點${\displaystyle {\sqrt {5}}}$個單位的高斯整數，其實部為負一、虛部為2i，與純虛數2i相鄰、並與高斯整數−1+3i、−1+i和−2+2i相鄰。

${\displaystyle -1+2i}$不是高斯質數，其具有高斯質因數${\displaystyle 2+i}$。${\displaystyle -1+2i}$的高斯整數分解為${\displaystyle }$${\displaystyle i\times \left(2+i\right)}$。

1+2i

${\displaystyle 1+2i}$是一個高斯質數 ^[37]，在虛數軸正向距離原點${\displaystyle {\sqrt {5}}}$個單位，其實部為一、虛部為2i，與純虛數2i相鄰、並與高斯整數1+3i、1+i和3+2i相鄰。

參見

• 虛數單位
• -2

參考文獻

1. What is 2i equal to?. geeksforgeeks.org. [2022-09-15]. （原始内容存档于2022-09-15）.
2. Mokhithi, Mashudu and Shock, Jonathan, Introduction to Complex Numbers (PDF), Jonathan Shock, 2020 [2022-06-23], （原始内容存档 (PDF)于2022-07-04）
3. Complex or Imaginary Numbers. themathpage.com. [2022-06-23]. （原始内容存档于2022-07-13）.
4. Hart, P. The Book of Imaginary Indians: Ancient Traditions and Modern Caricatures in the White Man's Quest for Meaning. iUniverse. 2008 [2022-06-23]. ISBN 9780595435036. （原始内容存档于2022-08-20）.
5. A brief history to imaginary numbers. sciencefocus.com. 2019-06-21 [2022-06-23]. （原始内容存档于2022-07-12）.
6. Williams, Travis D. King Lear, Without the Mathematics: From Reading Mathematics to Reading Mathematically. The Palgrave Handbook of Literature and Mathematics (Springer). 2021: 399–418.
7. Neuman, Yrsa. Moore’s Paradox and Limits in Language Use. Wittgenstein and the Limits of Language (Routledge). 2019: 159–171.
8. Parker, Barry. Fractals. Chaos in the Cosmos (Springer). 1996: 129–154.
9. Complex Numbers and the Complex Exponential (PDF). people.math.wisc.edu. [2022-06-23]. （原始内容存档 (PDF)于2022-01-21）.
10. Abubakr, Mohammed. On logical extension of algebraic division. arXiv preprint arXiv:1101.2798. 2011 [2022-06-23]. doi:10.48550/ARXIV.1101.2798. （原始内容存档于2022-07-04）.
11. 中學數學實用詞典, 九章出版社, 孫文先, P.22 中的示範其解為2i, ISBN 957-603-093-5
12. Complex Numbers 2i (PDF). ichthyosapiens.com. [2022-06-23]. （原始内容存档 (PDF)于2017-08-29）.
13. All Complex Number Solutions z=2i. mathway.com. [2022-06-23]. （原始内容存档于2022-06-25）.
14. Jeremy Orloff. Complex algebra and the complex plane (PDF). math.mit.edu. [2022-06-23]. （原始内容存档 (PDF)于2021-11-03）.
15. Wolfram, Stephen. "(smallest prime number) * (imaginary unit)". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research （英语）.
16. C. F. Gauss, Theoria residuorum biquadraticorum. Commentatio secunda., Comm. Soc. Reg. Sci. Gottingen 7 (1832) 1-­34; reprinted in Werke, Georg Olms Verlag, Hildesheim, 1973, pp. 93-­148.
17. 从数到环：环论的早期历史 （页面存档备份，存于互联网档案馆），由Israel Kleiner所作 (Elem. Math. 53 (1998) 18 – 35)
18. Ribenboim, Paulo, The New Book of Prime Number Records, New York: Springer, 1996, ISBN 0-387-94457-5
19. Banerjee, Ashmi and Mukherjee, Shaunak and Datta, Somjit and Majumder, Subhashis. Computational search for Gaussian perfect integers. 2015 International Conference on Control Communication & Computing India (ICCC) (IEEE). 2015: 710–715 [2022-08-15]. （原始内容存档于2022-08-15）.
20. Briggs, WE. Factorization in Integral Domains. The Mathematics Teacher (National Council of Teachers of Mathematics). 1966, 59 (5): 432–436.
21. Kerins, Bowen. Delving Deeper: Gauss, Pythagoras, and Heron. The Mathematics Teacher (National Council of Teachers of Mathematics). 2003, 96 (5): 350–357.
22. Gallian, Joseph A and Jungreis, Douglas S. Homomorphisms from Z_m[i] into Z_n[i] and Z_m[ρ] into Z_n[ρ], Where i² + 1 = 0 and ρ² + ρ + 1 = 0. The American Mathematical Monthly (Taylor & Francis). 1988, 95 (3): 247–249.
23. Blest, David C and Jamil, Tariq. Division in a binary representation for complex numbers. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology (Taylor & Francis). 2003, 34 (4): 561–574.
24. Donald Knuth. An imaginary number system. Communications of the ACM. April 1960, 3 (4).
25. D. Knuth. The Art of Computer Programming. Volume 2, 3rd Edition. Addison-Wesley. pp. 205, "Positional Number Systems"
26. Complex Numbers (PDF), hawaii.edu, [2022-06-23], （原始内容存档 (PDF)于2022-06-26）
27. Weisstein, Eric W. (编). Sine. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
28. Bak, Joseph and Newman, Donald J and Newman, Donald J, Complex analysis (PDF) 8, Springer, 2010 [2022-06-23], （原始内容存档 (PDF)于2022-06-25）
29. Robert Braunwart. Negative and Imaginary Radices. School Science and Mathematics. 1965-04, 65 (4): 292–295 [2022-06-23]. doi:10.1111/j.1949-8594.1965.tb13422.x. （原始内容存档于2022-06-27） （英语）.
30. Sloane, N.J.A. (编). Sequence A262710 (Powers of -4). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
31. Sloane, N.J.A. (编). Sequence A013776 (a(n) = a(n) = 2^(4*n+1)). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
32. Sloane, N.J.A. (编). Sequence A013777 (a(n) = 2^(4*n + 3)). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
33. Sarkar, Souradip and Gomony, Manil Dev. Quater-imaginary base for complex number arithmetic circuits. 2018 Design, Automation & Test in Europe Conference & Exhibition (DATE) (IEEE). 2018: 1481–1483 [2022-08-15]. （原始内容存档于2022-08-20）.
34. Dujella, Andrej. The problem of Diophantus and Davenport for Gaussian integer. Glasnik Matematicki (HRVATSKO MATEMATICKO DRUSTVO). 1997, 32: 1–10.
35. Collins, George E. A fast Euclidean algorithm for Gaussian integers. Journal of Symbolic Computation (Elsevier). 2002, 33 (4): 385–392.
36. Penney, Walter. A``Binary System for Complex Numbers (PDF). J. ACM. 1965, 12 (2): 247–248 [2022-06-23]. （原始内容存档 (PDF)于2022-07-04）.
37. Sven Simon. List with Gaussian primes (extended) of A103431/A103432. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. [2023-12-29]. （原始内容存档于2023-12-29）.
38. Gilbert, William J. Fractal geometry derived from complex bases (PDF). The Mathematical Intelligencer (Springer). 1982, 4 (2): 78–86 [2022-06-23]. （原始内容存档 (PDF)于2022-01-02）.
39. arg(-1+i). from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research. [2023-12-29]. （原始内容存档于2023-12-29）.
40. Gilbert, William J. Arithmetic in complex bases. Mathematics Magazine (Taylor & Francis). 1984, 57 (2): 77–81.
41. Gilbert, William J. The fractal dimension of sets derived from complex bases (PDF). Canadian mathematical bulletin (Cambridge University Press). 1986, 29 (4): 495–500 [2022-08-20]. （原始内容存档 (PDF)于2022-08-20）.