李群

李群（英語：Lie group，/ˈliː/）是一個數學概念，指具有群結構的光滑微分流形，其群作用與微分結構相容。李群的名字源於挪威數學家索菲斯·李的姓氏，以其為連續變換群奠定基礎。1893年，法文名詞groupes de Lie首次出現在李的學生亞瑟·特雷斯（Arthur Tresse）的論文第三頁中。^[1]

關於與「李群」標題相近或相同的條目，請見「李群 (消歧義)」。

群論
群
基本概念 子群 · 正規子群 · 商群 · 群同態 · 像 · (半)直積 · 直和 單純群 · 有限群 · 無限群 · 拓撲群 · 群概形 · 循環群 · 冪零群 · 可解群 · 圈積 離散群 有限單群分類 循環群 Zn 交錯群 An 李型群 散在群 馬蒂厄群 M11..12,M22..24 康威群 Co1..3 揚科群 J1..4 費歇爾群（英語：Fischer group）F22..24 子魔群（英語：sub monster group） B 魔群 M 其他有限群 對稱群, Sn 二面體群, Dn 無限群 整數, Z 模群, PSL(2,Z) 和 SL(2,Z) 連續群 李群 一般線性群 GL(n) 特殊線性群 SL(n) 正交群 O(n) 特殊正交群 SO(n) 么正群 U(n) 特殊么正群 SU(n) 辛群 Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 勞侖茲群 龐加萊群 無限維群 共形群 微分同胚群 環路群 量子群 O(∞) SU(∞) Sp(∞) 代數群 橢圓曲線 線性代數群（英語：Linear algebraic group） 阿貝爾簇（英語：Abelian variety）
閱 論 編

粗略地說，李群是連續的群，也即其元素可由幾個實參數描述。因此，李群為連續對稱性的概念提供了一個自然的模型，例如三維旋轉對稱性。李群被廣泛應用於現代數學和物理學。索菲斯·李引入李群的最初動機是為微分方程式的連續對稱性建模，就像有限群被用於伽羅瓦理論對代數方程式的離散對稱性建模一樣。

總覽

絕對值為1的複數集（對應於複數平面上圓心在原點、半徑為1的單位圓）是一個在複數乘法下的李群，稱為圓群。

李群是光滑可微流形，因而可以用微分學來研究，這點與更一般的拓撲群不同。李群理論中的關鍵是替換掉「全局」的物件，也即群本身，而代之以其「局部」或線性化的版本。這個局部版本被索菲斯·李本人稱為該李群的「無窮小群」，而後來以「李代數」為人熟知。

李群在現代幾何學中在多個層面扮演了重要的角色。費利克斯·克萊因在他的愛爾蘭根綱領中認為，可以通過選定適當的保持某種幾何性質不變的轉換群來考察各種「幾何」。例如，歐氏幾何對應於歐式空間R³中保距轉換構成的歐幾里得群E(3)；共形幾何對應於把群擴大到共形群；而在射影幾何中引起人們興趣的是射影群的不變屬性。這個觀念後來發展為G-結構的概念，其中G是流形"局部"對稱性形成的李群。

李群（以及與之關聯的李代數）在現代物理學中起到了重要作用，並通常扮演了物理系統中的對稱性。這裡，李群表示或相應的李代數表示尤為重要。 表示理論在粒子物理中被頻繁使用。一些具有較為重要的表示的群包括旋轉群SO(3)（或其雙覆蓋特殊么正群SU(2))，特殊么正群SU(3)以及龐加萊群。

定義與樣例

• ${\displaystyle G}$為有限維實解析流形
• 兩個解析映射，二元運算${\displaystyle G\times {}G\rightarrow {}G}$，和逆映射${\displaystyle G\rightarrow {}G}$滿足群公理，從而具有群結構。

實李群是一個滿足下列條件的群：它也是一個有限維實光滑流形，其中群的乘法和求逆操作是光滑映射。 群乘法的光滑性

${\displaystyle \mu :G\times G\to G\quad \mu (x,y)=xy}$

意味著${\displaystyle \mu }$是一個從積流形${\displaystyle G\times G}$到${\displaystyle G}$的光滑映射。這兩個條件可以合併成一條，即映射

${\displaystyle (x,y)\mapsto x^{-1}y}$

是一個從積流形${\displaystyle G\times G}$到${\displaystyle G}$的光滑映射。

初步的樣例

• ${\displaystyle 2\times 2}$實可逆矩陣構成了一個乘法群，記作${\displaystyle GL(2,\mathbb {R} )}$或${\displaystyle GL_{2}(\mathbb {R} )}$:

${\displaystyle \operatorname {GL} (2,\mathbb {R} )=\left\{A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}:\det A=ad-bc\neq 0\right\}.}$

這是一個非緊緻的四維實李群；它是${\displaystyle \mathbb {\mathbb {R} } ^{4}}$的一個開子集。這個群是非連通的；它有兩個連通分量，對應於行列式的正負兩種情況。

• 旋轉矩陣構成了${\displaystyle GL(2,\mathbf {R} )}$的一個子群，記為${\displaystyle SO(2,\mathbf {R} )}$。它自己本身也是一個李群：具體地說，它是一個與圓微分同胚的一維緊緻連通李群。使用旋轉角${\displaystyle \varphi }$ 作為參數，這個群可以被參數化為如下形式：

${\displaystyle \operatorname {SO} (2,\mathbf {R} )=\left\{{\begin{pmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \varphi &\cos \varphi \end{pmatrix}}:\varphi \in \mathbf {R} /2\pi \mathbf {Z} \right\}.}$

其中，角度的加法對應於${\displaystyle SO(2,\mathbf {R} )}$中元素的乘法，角度的相反數對應於反元素。因此，乘法和求逆操作也都是可微映射。

• 一維仿射群是一類二維上三角陣組成的李群，其中第一個對角線上的元素為正，第二個對角線上的元素為1。因此，該群包含了如下形式的矩陣：

${\displaystyle A=\left({\begin{array}{cc}a&b\\0&1\end{array}}\right),\quad a>0,\,b\in \mathbb {R} .}$

反例

現在我們給出一個群的例子，它擁有不可數的元素，並且在某種拓撲下不是李群。我們給定如下群：

${\displaystyle H=\left\{\left.\left({\begin{matrix}e^{2\pi i\theta }&0\\0&e^{2\pi ia\theta }\end{matrix}}\right)\right|\theta \in \mathbb {R} \right\}\subset \mathbb {T} ^{2}=\left\{\left.\left({\begin{matrix}e^{2\pi i\theta }&0\\0&e^{2\pi i\phi }\end{matrix}}\right)\right|\theta ,\phi \in \mathbb {R} \right\},}$

其中${\displaystyle a\in \mathbb {P} =\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }$是一個固定的無理數。這是一個環面 ${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}}$ 的子群，它在子空間拓撲下不是李群。^[2] 比如說，如果我們取${\displaystyle H}$中的一個點${\displaystyle h}$的任意小鄰體${\displaystyle U}$，那麼${\displaystyle H}$在 ${\displaystyle U}$中的部分是不連通的。群${\displaystyle H}$在環面上反覆纏繞，形成了一個${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}}$的稠密子群。

另一方面，我們可以給群${\displaystyle H}$指定另一個拓撲，使得兩點${\displaystyle h_{1},h_{2}\in H}$之間的距離被定義為群H中連結 ${\displaystyle h_{1}}$和${\displaystyle h_{2}}$的最短路徑長度。在這個拓撲下，${\displaystyle H}$通過其元素中對應的${\displaystyle \theta }$與實直線同胚。在這種拓撲下，${\displaystyle H}$僅僅是加法意義下的實數群，因此也是李群。

群${\displaystyle H}$是李群的一個非閉"李子群"的樣例。可參見下面基本概念部分關於李子群的討論。

矩陣李群

用GL(n; C)表示複數體上的n × n可逆矩陣。GL(n, C)的任何閉子群也是一個李群^[3]；這類李群被稱為矩陣李群。 由於李群中大多數有趣的例子都可以用矩陣李群實現，一些教科書把注意力限制在這類李群上，包括Hall^[4]以及 Rossmann^[5]等，這樣可以簡化李代數和指數映射的定義。下面是一些矩陣李群的標準樣例：

• 定義在R和C上的特殊線性群SL(n, R)和SL(n, C)，分別包括了元素屬於R或C的、行列式為1的n × n矩陣。
• 么正群U(n)（以及特殊么正群SU(n)）, 包含了滿足${\displaystyle U^{*}=U^{-1}}$（對於特殊么正群而言，還需滿足${\displaystyle \mathrm {det} (U)=1}$）的n × n複矩陣。
• 正交群O(n)（以及特殊正交群SO(n)），包含了滿足${\displaystyle R^{\mathrm {T} }=R^{-1}}$ （對於特殊正交群而言，還需滿足${\displaystyle \mathrm {det} (R)=1}$）的n × n實矩陣。

以上列舉的群均為經典群。

相關概念

與實李群相對應，復李群是在複流形上定義的（例如SL(2, C)）。類似地，使用一種Q的度量完備化我們可以在 p-進數上定義p-進數李群，一種滿足每個點都有一個p-進數鄰體的拓撲群。

更多李群的樣例

參見：李群列表和簡單純李氏群列表

李群經常出現在數學和物理學中。矩陣群或代數群（大部分情況下）是由矩陣構成的群（例如正交群和辛群），而這些也是李群最常見的例子。

一維李群

一維情況下唯二的連通李群是實直線${\displaystyle \mathbb {R} }$ （其群操作為加法）和由絕對值為1的複數組成的圓群 ${\displaystyle S^{1}}$ （其群操作為乘法）。 ${\displaystyle S^{1}}$也常被記作${\displaystyle U(1)}$，即${\displaystyle 1\times 1}$么正群。

二維李群

在二維情況下，如果我們只考慮簡單連通群，那麼可以通過它們的李代數來分類。若把同構的情況歸為一類，那麼此時只存在兩種李代數。與這兩種李代數關聯的簡單連通李群分別是${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$（其群操作為向量加法）以及一維仿射群（在前面的小節"初步的樣例"中有介紹）。

解析李群與光滑李群

部份書籍在定義李群時假設了解析性，本條目採相同定義。另一種進路則是定義李群為實光滑（簡記為${\displaystyle C^{\infty }}$）流形，並具有光滑的群二元運算與反元素運算。解析條件看似較強，實則兩者等價：

定理.任意${\displaystyle C^{\infty }}$李群上具有唯一的實解析流形結構，使得群二元運算及反元素運算皆為解析映射。此時指數映射亦為解析映射。

同態和同構

${\displaystyle G,H}$均為李群，二者之間的一個同態：${\displaystyle f\,:G\rightarrow H}$為群同態並且是解析映射（事實上，可以證明這裡解析的條件只需滿足連續即可）。顯然，兩個同態的複合是同態。所有李群的類加上同態構成一個範疇。 兩個李群之間存在一個對射，這個對射及其逆射均為同態，就稱之為同構。

李代數

李代數刻劃了李群在單位元素附近的局部性狀；藉助指數映射或源自李代數的葉狀結構，可以將李代數的性質提昇到李群的層次。

設${\displaystyle G}$為李群，其李代數${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$定義為${\displaystyle G}$在單位元素的切空間。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$自然具備了矢量空間結構，${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$上的李括積${\displaystyle [,]:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$定義如下：

1. 定義${\displaystyle G}$對自身的伴隨作用為 ${\displaystyle \mathrm {Ad} (x)(y):=xyx^{-1}}$，${\displaystyle x,y\in G}$。
2. 取Ad對變元${\displaystyle y\in G}$在單位元素上的微分，得到李代數上的伴隨作用，通常記為${\displaystyle \mathrm {Ad} (x)(Y)=xYx^{-1}}$，${\displaystyle x\in G,Y\in {\mathfrak {g}}}$。
3. 再對變元${\displaystyle x\in G}$微分，得到映射${\displaystyle \mathrm {ad} :{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$。定義李括積為${\displaystyle [X,Y]:=\mathrm {ad} (X)(Y)}$。

不難驗證${\displaystyle [,]}$滿足李代數的抽象定義。李括積蘊含了群乘法的無窮小性質，例如：連通李群${\displaystyle G}$是交換群若且唯若${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$是交換李代數。

李括積也可以用左不變矢量場及卜瓦松括號定義，或者取定局部坐標，用群乘法映射在原點的泰勒級數定義。

李群對應李代數

若${\displaystyle G}$是李群，${\displaystyle H\subset G}$是其子群，並帶有李群結構，使得包含映射${\displaystyle H\to G}$為浸入（不一定是閉的），則可得到子李代數${\displaystyle {\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}}$。反之，任意子李代數${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$透過左平移定義了${\displaystyle G}$上的葉狀結構，取含單位元素的極大積分流形，便得到滿足前述條件的子群${\displaystyle H\subset G}$。此子群未必是閉子群，它可能是${\displaystyle G}$的稠密子集（考慮環面的例子）。

李代數的映射${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1}\to {\mathfrak {g}}_{2}}$未必能提昇至李群的映射${\displaystyle G_{1}\to G_{2}}$，但可提昇至映射${\displaystyle {\tilde {G}}_{1}\to G_{2}}$，其中${\displaystyle {\tilde {G}}_{1}}$是${\displaystyle G_{1}}$的萬有覆疊空間。

指數映射

對於任意矢量${\displaystyle X\to {\mathfrak {g}}}$，根據常微分方程式的基本理論，存在${\displaystyle G}$中的單參數子群${\displaystyle c_{X}(t),c_{X}(0)=e}$使得${\displaystyle c_{X}'(t)=c_{X}(t)\cdot X}$。由此得到的映射

${\displaystyle \mathrm {exp} :{\mathfrak {g}}\to G}$

${\displaystyle X\mapsto c_{X}(1)}$

稱為指數映射。它總是解析映射。

若${\displaystyle G}$為${\displaystyle \mathrm {GL} (n)}$的子群，則${\displaystyle \mathrm {exp} (X)=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {X^{i}}{i!}}}$，這是指數映射一詞的緣由。

當${\displaystyle G}$連通且非交換時，指數映射${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to G}$並非同態；局部上，${\displaystyle \mathrm {exp} (X)\mathrm {exp} (Y)}$可以由Campbell-Baker-Hausdorff公式表成涉及括積的無窮級數。

一般體上的李群

在任意體、環乃至於概形上，都可以定義群概形；這是概形範疇中的群對象。群概形具有深刻的幾何與數論意義，然而李群未必是代數簇。

另一方面，若體${\displaystyle F}$對某個絕對值是完備體，其特徵為零，則可照搬解析李群的定義以定義體${\displaystyle F}$上的李群、李代數與指數映射。較常見的例子是${\displaystyle F=\mathbb {C} }$；至於數論方面，特別涉及自守表示的研究上，則須用到${\displaystyle F}$為p進數體的情形。

參考條目

• 李型群

參考文獻

引用

1. Arthur Tresse. Sur les invariants différentiels des groupes continus de transformations. Acta Mathematica. 1893, 18: 1–88. doi:10.1007/bf02418270.
2. Rossmann 2001，Chapter 2. harvnb模板錯誤: 無指向目標: CITEREFRossmann2001 (幫助)
3. Hall 2015 harvnb模板錯誤: 無指向目標: CITEREFHall2015 (幫助) Corollary 3.45
4. Hall 2015 harvnb模板錯誤: 無指向目標: CITEREFHall2015 (幫助)
5. Rossmann 2001 harvnb模板錯誤: 無指向目標: CITEREFRossmann2001 (幫助)

來源

• D. Montgomery and L. Zippin, Topological Transformation Groups (1955), Interscience.
• Anthony W. Knapp, Lie Groups Beyond an Introduction (2004), Birkhäuser. ISBN 0817642595 .
• Jean-Pierre Serre, Lie algebras and Lie groups (2005), Lecture Notes in Mathematics 1500, Springer-Verlag. ISBN 3540550089 .