在同調論 與代數餘鏈 中，餘調 表示由與拓樸空間 相關的阿貝爾群 組成的序列，經常由餘鏈復形 定義。餘調可以被視為給予空間（比同調）更豐富的代數不變量的方式。某些餘調是將同調的建構對偶化產生的。換言之，餘鏈是同調論中鏈群上的函數。
這個概念一開始是在拓撲學 中，到20世紀後半變成數學的一個主要方法。從原先將同調作為建構拓樸空間的代數不變量的方法，現今同調與餘調理論的應用已遍布幾何與代數。餘調是個反變 的理論，而在很多應用中比同調更自然，但術語使上述事實變得不明顯。基礎地看，這與幾何的情況中的函數與拉回 有關：給定空間 X、Y 、 Y 上的某種函數 F ，對任何映射 f : X → Y ，與 f 的複合會產生在 X 上的函數 F ∘ f 。最重要的一些餘調論有一種積，稱為杯積 ，使其具有環 的結構。所以，餘調常是比同調更強的不變量。
廣義上的同調理論（其他代數或幾何結構的不變式，而不是拓樸空間的不變式）包括：代數K理論，李代數同調，晶體同調等。
奇異餘調 是拓樸學中一個強大的不變量，將分次交換環 同任意拓樸空間聯繫起來。每個連續映射
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f:\ X\to Y}
Y 的餘調環到X 的餘調環的同態 ，這對X 到Y 的可能映射施加了強有力的限制。餘調環不同於同倫群 等更微妙的不變式，對於感興趣的空間來說，實際上往往是可以計算的。
對拓樸空間X ，奇異餘調的定義始於奇異鏈復形：:108
⋯
→
C
i
+
1
→
∂
i
+
1
C
i
→
∂
i
C
i
−
1
→
⋯
{\displaystyle \cdots \to C_{i+1}{\stackrel {\partial _{i+1}}{\to }}C_{i}{\stackrel {\partial _{i}}{\to }}\ C_{i-1}\to \cdots }
X 的奇異同調 是這鏈復形的同調（一個同態的核對前一個的像取模）。更詳細地說，
C
i
{\displaystyle C_{i}}
i 單純形到X （稱作「X 中的奇異i 單形（simplice）」）的連續映射集的自由阿貝爾群 ；
∂
i
{\displaystyle \partial _{i}}
i 個邊界同態。i 為負數時，群
C
i
{\displaystyle C_{i}}
現固定一個阿貝爾群A ，把每個群Ci 換成其對偶群
C
i
∗
:=
H
o
m
(
C
i
,
A
)
,
{\displaystyle C_{i}^{*}:=\mathrm {Hom} (C_{i},A),}
∂
i
{\displaystyle \partial _{i}}
d
i
−
1
:
C
i
−
1
∗
→
C
i
∗
.
{\displaystyle d_{i-1}:C_{i-1}^{*}\to C_{i}^{*}.}
這會把原復形的「所有箭頭都逆轉」，留下餘鏈復形
⋯
←
C
i
+
1
∗
←
d
i
C
i
∗
←
d
i
−
1
C
i
−
1
∗
←
⋯
{\displaystyle \cdots \leftarrow C_{i+1}^{*}{\stackrel {d_{i}}{\leftarrow }}\ C_{i}^{*}{\stackrel {d_{i-1}}{\leftarrow }}C_{i-1}^{*}\leftarrow \cdots }
對任意整數i ，X 的第i 個係數在A 中的餘調群 定義為
k
e
r
(
d
i
)
/
i
m
(
d
i
−
1
)
,
{\displaystyle {\rm {ker}}(d_{i})/{\rm {im}}(d_{i-1}),}
H
i
(
X
,
A
)
.
{\displaystyle H^{i}(X,\ A).}
i 為負數時，群為零。
C
i
∗
{\displaystyle C_{i}^{*}}
奇異i 餘鏈 ，係數在A 中。（等價地，X 上的i 餘鏈可從X 中到A 的奇異i 單形集函數中辨別出來）ker(d )、im(d )中的元素分別稱作上循環 和上邊界 （coboundary），
k
e
r
(
d
)
/
i
m
(
d
)
=
H
i
(
X
,
A
)
{\displaystyle {\rm {ker}}(d)/{\rm {im}}(d)=H^{i}(X,\ A)}
餘調類 （因為是上循環的等價類 ）。
下文時而省略係數群A 不寫。通常取A 為交換環 R ，則餘調群為R 模 。標準的選擇是整數環Z 。
餘調的一些形式性質與同調基本一致：
連續映射
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f:X\to Y}
前推 同態
f
∗
:
H
i
(
X
)
→
H
i
(
Y
)
{\displaystyle f_{*}:H_{i}(X)\to H_{i}(Y)}
拉回 同態
f
∗
:
H
i
(
Y
)
→
H
i
(
X
)
{\displaystyle f^{*}:H^{i}(Y)\to H^{i}(X)}
R 模）的反變函子 。
X 到Y 的兩個同倫 映射會在餘調引起相同的同態（如在同調上）。邁爾–維托里斯正合列 是同調與餘調中重要的計算工具。注意邊界同態增加（而非減少）了餘調的度；即，若空間X 是開子集 U 與V 的交，則有長正合序列 ：
⋯
→
H
i
(
X
)
→
H
i
(
U
)
⊕
H
i
(
V
)
→
H
i
(
U
∩
V
)
→
H
i
+
1
(
X
)
→
⋯
{\displaystyle \cdots \to H^{i}(X)\to H^{i}(U)\oplus H^{i}(V)\to H^{i}(U\cap V)\to H^{i+1}(X)\to \cdots }
對空間X 的任意子空間 Y ，有相關餘調 群
H
i
(
X
,
Y
;
A
)
.
{\displaystyle H^{i}(X,Y;A).}
⋯
→
H
i
(
X
,
Y
)
→
H
i
(
X
)
→
H
i
(
Y
)
→
H
i
+
1
(
X
,
Y
)
→
⋯
{\displaystyle \cdots \to H^{i}(X,Y)\to H^{i}(X)\to H^{i}(Y)\to H^{i+1}(X,Y)\to \cdots }
泛係數定理 用Ext群 描述了餘調，即有短正合序列
0
→
Ext
Z
1
(
H
i
−
1
(
X
,
Z
)
,
A
)
→
H
i
(
X
,
A
)
→
Hom
Z
(
H
i
(
X
,
Z
)
,
A
)
→
0.
{\displaystyle 0\to \operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(\operatorname {H} _{i-1}(X,\mathbb {Z} ),A)\to H^{i}(X,A)\to \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }(H_{i}(X,\mathbb {Z} ),A)\to 0.}
域 F ，
H
i
(
X
,
F
)
{\displaystyle H^{i}(X,F)}
向量空間
H
i
(
X
,
F
)
{\displaystyle H_{i}(X,F)}
對偶空間 。若X 是拓樸流形 或CW復形 ，則對大於X 的維度的i ，餘調群
H
i
(
X
,
A
)
{\displaystyle H^{i}(X,A)}
[ 2] X 是緊 流形（可能有界），或是在每個維度都有有限多單元的CW復形，且R 是交換諾特環 ，則R 模
H
i
(
X
,
R
)
{\displaystyle H^{i}(X,\ R)}
i 都是有限生成模 。[ 3] 另一方面，餘調有同調沒有的重要結構：對任意拓樸空間X 與交換環R ，有稱作杯積 雙線性映射 ：
H
i
(
X
,
R
)
×
H
j
(
X
,
R
)
→
H
i
+
j
(
X
,
R
)
,
{\displaystyle H^{i}(X,R)\times H^{j}(X,R)\to H^{i+j}(X,R),}
u 與v 的積寫作u ∪ v 或只是uv ，這個積使得直和
H
∗
(
X
,
R
)
=
⨁
i
H
i
(
X
,
R
)
{\displaystyle H^{*}(X,R)=\bigoplus _{i}H^{i}(X,R)}
分次環 ，稱作X 的餘調環 分次交換環 ：
u
v
=
(
−
1
)
i
j
v
u
,
u
∈
H
i
(
X
,
R
)
,
v
∈
H
j
(
X
,
R
)
.
{\displaystyle uv=(-1)^{ij}vu,\qquad u\in H^{i}(X,R),v\in H^{j}(X,R).}
對任意連續映射
f
:
X
→
Y
,
{\displaystyle f\colon X\to Y,}
拉回
f
∗
:
H
∗
(
Y
,
R
)
→
H
∗
(
X
,
R
)
{\displaystyle f^{*}:H^{*}(Y,R)\to H^{*}(X,R)}
R 代數 的同態。可見，若兩空間同倫等價 ，則它們的餘調環就同構。
下面是杯積的一些幾何解釋。除非另有說明，否則默認流形無界。閉流形 是（不含邊界）緊流形，而流形M 的閉子流形 N 是M 的閉子集 的子流形，不必是緊流形（不過，若M 緊，則N 必緊）。
非常不正式地說，對任意拓樸空間X ，
H
i
(
X
)
{\displaystyle H^{i}(X)}
X 上自由移動的余維度為i 的子空間。舉例來說，定義元素的一種方法是給出從X 到流形M 的連續映射f ，以及M 的余維度為i 的閉子流形N ，且在法叢上有向。形式上說，可將結果類
f
∗
(
[
N
]
)
∈
H
i
(
X
)
{\displaystyle f^{*}([N])\in H^{i}(X)}
X 的子空間
f
−
1
(
N
)
{\displaystyle f^{-1}(N)}
f
∗
(
[
N
]
)
{\displaystyle f^{*}([N])}
X
−
f
−
1
(
N
)
{\displaystyle X-f^{-1}(N)}
f
∗
(
[
N
]
)
{\displaystyle f^{*}([N])}
X 上自由移動，即N 可被M 內N 的任意連續變形所代替。
下面默認餘調係數為整數。
點的餘調環是度為0的環Z 。根據同倫不變性，這也是任何可緊空間 的餘調環，如歐氏空間R n
2維環面的第一餘調群的基由所示兩個圓的類給出。 n ，N維球面
S
n
{\displaystyle S^{n}}
Z
[
x
]
/
(
x
2
)
{\displaystyle \mathbb {Z} [x]/(x^{2})}
多項式環 對給定理想 的商環 ），x 的度為n 。根據上述龐加萊對偶性，x 是球面上一點的類。環面
(
S
1
)
n
{\displaystyle (S^{1})^{n}}
n 個生成器上的Z 的外代數 。例如，令P 表示圓
S
1
{\displaystyle S^{1}}
Q 為2維環面
(
S
1
)
2
{\displaystyle (S^{1})^{2}}
P ,P )。則，
(
S
1
)
2
{\displaystyle (S^{1})^{2}}
自由Z 模 基：度為0的元素1、度為1的
x
:
=
[
P
×
S
1
]
{\displaystyle x\mathrel {\mathop {:} } =[P\times S^{1}]}
y
:
=
[
S
1
×
P
]
{\displaystyle y\mathrel {\mathop {:} } =[S^{1}\times P]}
x
y
=
[
Q
]
.
{\displaystyle xy=[Q].}
y
x
=
−
x
y
=
−
[
Q
]
.
{\displaystyle yx=-xy=-[Q].}
更一般地，令R 為交換環、令X 與Y 為使
H
∗
(
X
,
R
)
{\displaystyle H^{*}(X,\ R)}
R 模的任意拓樸空間（Y 不需要假設）。則據克奈定理 ，積空間
X
×
Y
{\displaystyle X\times Y}
R 代數的張量積：:定理3.15
H
∗
(
X
×
Y
,
R
)
≅
H
∗
(
X
,
R
)
⊗
R
H
∗
(
Y
,
R
)
.
{\displaystyle H^{*}(X\times Y,R)\cong H^{*}(X,R)\otimes _{R}H^{*}(Y,R).}
實射影空間
R
P
n
{\displaystyle \mathbb {RP} ^{n}}
Z
/
2
{\displaystyle \mathbb {Z} /2}
Z
/
2
[
x
]
/
(
x
n
+
1
)
{\displaystyle \mathbb {Z} /2[x]/(x^{n+1})}
x 的度為1。:定理3.19 當中x 是
R
P
n
{\displaystyle \mathbb {RP} ^{n}}
超平面
R
P
n
−
1
{\displaystyle \mathbb {RP} ^{n-1}}
R
P
j
{\displaystyle \mathbb {RP} ^{j}}
j 為正偶數）無向也成立，因為
Z
/
2
{\displaystyle \mathbb {Z} /2}
若係數是整數，就比較複雜了。
R
P
2
a
{\displaystyle \mathbb {RP} ^{2a}}
Z 餘調具有度為2的元素y ，使整個餘調是度為0的元素1張成的Z 與
y
i
(
i
=
1
,
…
,
a
)
{\displaystyle y^{i}\ (i=1,\ \ldots ,\ a)}
Z /2的直和。
R
P
2
a
+
1
{\displaystyle \mathbb {RP} ^{2a+1}}
Z 餘調也如此，只是多了一份度為2a+1的Z 。:22 復射影空間
C
P
n
{\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}
Z
[
x
]
/
(
x
m
+
1
)
{\displaystyle \mathbb {Z} [x]/(x^{m+1})}
x 的度為2。:定理3.19 x 是
C
P
n
{\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}
C
P
n
−
1
{\displaystyle \mathbb {CP} ^{n-1}}
x
j
{\displaystyle x^{j}}
C
P
n
{\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}
C
P
n
−
j
{\displaystyle \mathbb {CP} ^{n-j}}
虧格 g ≥ 0的閉有向面X 的餘調環有如下形式的自由Z 模的基：度為0的元素1、度為1的
A
1
,
…
,
A
g
{\displaystyle A_{1},\ \ldots ,\ A_{g}}
B
1
,
…
,
B
g
{\displaystyle B_{1},\ \ldots ,\ B_{g}}
P 。積由下面的定義給出：
A
i
A
j
=
B
i
B
j
=
0
,
∀
i
,
j
;
A
i
B
j
=
0
(
i
≠
j
)
;
A
i
B
j
=
0
(
i
≠
j
)
,
A
i
B
i
=
P
,
∀
i
.
{\displaystyle A_{i}A_{j}=B_{i}B_{j}=0,\ \forall i,\ j;\quad A_{i}B_{j}=0\ (i\neq j);\quad A_{i}B_{j}=0\ (i\neq j),\ A_{i}B_{i}=P,\ \forall i.}
B i A i P 在任意拓樸空間上，餘調環的分次交換性都表明，對任意度為奇的餘調類x 都有
2
x
2
=
0.
{\displaystyle 2x^{2}=0.}
R ，
H
∗
(
X
,
R
)
{\displaystyle H^{*}(X,\ R)}
R 是
Z
/
2
{\displaystyle \mathbb {Z} /2}
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
R
P
2
{\displaystyle \mathbb {RP} ^{2}}
Z
/
2
{\displaystyle \mathbb {Z} /2}
R
P
4
×
R
P
2
{\displaystyle \mathbb {RP} ^{4}\times \mathbb {RP} ^{2}}
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
杯積可視作來自對角映射
Δ
:
X
→
X
×
X
,
x
↦
(
x
,
x
)
.
{\displaystyle \Delta :\ X\to X\times X,\ x\mapsto (x,\ x).}
u
∈
H
i
(
X
,
R
)
,
v
∈
H
j
(
Y
,
R
)
{\displaystyle u\in H^{i}(X,\ R),\ v\in H^{j}(Y,\ R)}
X 、Y ，有外積 （或叉積 ）餘調類
u
×
v
∈
H
i
+
j
(
X
×
Y
,
R
)
.
{\displaystyle u\times v\in H^{i+j}(X\times Y,\ R).}
u
∈
H
i
(
X
,
R
)
,
v
∈
H
j
(
X
,
R
)
{\displaystyle u\in H^{i}(X,\ R),\ v\in H^{j}(X,\ R)}
:186
u
v
=
Δ
∗
(
u
×
v
)
∈
H
i
+
j
(
X
,
R
)
.
{\displaystyle uv=\Delta ^{*}(u\times v)\in H^{i+j}(X,R).}
另外，外積也可用杯積定義。對空間X 、Y ，將兩投影分別寫作
f
:
X
×
Y
→
X
,
g
:
X
×
Y
→
Y
{\displaystyle f:\ X\times Y\to X,\ g:\ X\times Y\to Y}
u
∈
H
i
(
X
,
R
)
,
v
∈
H
j
(
Y
,
R
)
{\displaystyle u\in H^{i}(X,\ R),\ v\in H^{j}(Y,\ R)}
u
×
v
=
(
f
∗
(
u
)
)
(
g
∗
(
v
)
)
∈
H
i
+
j
(
X
×
Y
,
R
)
.
{\displaystyle u\times v=(f^{*}(u))(g^{*}(v))\in H^{i+j}(X\times Y,R).}
龐加萊對偶性的另一種解釋是，閉有向流形的餘調環在強意義上是自對偶的。也就是說，令X 為n 維閉緊 有向流形，F 為域。則
H
n
(
X
,
F
)
{\displaystyle H^{n}(X,\ F)}
F ，積
H
i
(
X
,
F
)
×
H
n
−
i
(
X
,
F
)
→
H
n
(
X
,
F
)
≅
F
{\displaystyle H^{i}(X,F)\times H^{n-i}(X,F)\to H^{n}(X,F)\cong F}
對每個整數i 是完美配對 。特別地，向量空間
H
i
(
X
,
F
)
,
H
n
−
i
(
X
,
F
)
{\displaystyle H^{i}(X,\ F),\ H^{n-i}(X,\ F)}
撓 、在
H
n
(
X
,
Z
)
≅
Z
{\displaystyle H^{n}(X,\ \mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} }
Z 上的完美配對。
拓樸空間X 上秩為r 的有向實向量叢 E 決定了X 上的餘調類，即歐拉類
ξ
(
E
)
∈
H
r
(
X
,
Z
)
{\displaystyle \xi (E)\in H^{r}(X,\ \mathbb {Z} )}
E 的一般截面 的零集類。E 若是光滑流形X 上的光滑向量叢E ，這種解釋會更明確，因為此時X 的一般光滑截面會在X 的r 余維子流形上歸於零。
在餘調取值的向量叢還有其他幾種示性類 ，如陳類 、施蒂費爾–惠特尼類 、龐特里亞金類 等。
主條目：艾倫伯格–麥克蘭恩空間
對任意阿貝爾群A 與自然數j ，有空間
K
(
A
,
j
)
{\displaystyle K(A,j)}
A ，其他同倫群均為零。這樣的空間叫做艾倫伯格–麥克蘭恩空間 ，對餘調是分類空間 ：有
H
j
(
K
(
A
,
j
)
,
A
)
{\displaystyle H^{j}(K(A,j),A)}
u ，每個空間X 上每個度為j 的餘調類都是u 對某連續映射
X
→
K
(
A
,
j
)
{\displaystyle X\to K(A,j)}
u 的拉回對每個具有CW復形餘調類型的空間X 給出了雙射:177
[
X
,
K
(
A
,
j
)
]
→
≅
H
j
(
X
,
A
)
{\displaystyle [X,K(A,j)]{\stackrel {\cong }{\to }}H^{j}(X,A)}
當中
[
X
,
Y
]
{\displaystyle [X,Y]}
X 到Y 的連續映射的同倫類集合。
例如，空間
K
(
Z
,
1
)
{\displaystyle K(\mathbb {Z} ,1)}
S
1
{\displaystyle S^{1}}
H
1
(
X
,
Z
)
{\displaystyle H^{1}(X,\mathbb {Z} )}
X
→
S
1
{\displaystyle X\to S^{1}}
S
1
{\displaystyle S^{1}}
u 拉回的。
對係數在任意阿貝爾群A （如CW復形X ）中的第一餘調，都有相關的描述：
H
1
(
X
,
A
)
{\displaystyle H^{1}(X,A)}
A 的X 的伽羅瓦覆疊空間 的同構類集（也稱為X 上的主A 叢 ）一一對應。對連通的X ，
H
1
(
X
,
A
)
{\displaystyle H^{1}(X,A)}
Hom
(
π
1
(
X
)
,
A
)
{\displaystyle \operatorname {Hom} (\pi _{1}(X),A)}
π
1
(
X
)
{\displaystyle \pi _{1}(X)}
X 的基本群 。例如，
H
1
(
X
,
Z
/
2
)
{\displaystyle H^{1}(X,\mathbb {Z} /2)}
X 的雙覆疊空間，元素
0
∈
H
1
(
X
,
Z
/
2
)
{\displaystyle 0\in H^{1}(X,\mathbb {Z} /2)}
X 的不交並。
主條目：下積
對任意拓樸空間X 、任意整數i 、j 、任意交換環R ，下積 是雙線性映射
∩
:
H
i
(
X
,
R
)
×
H
j
(
X
,
R
)
→
H
j
−
i
(
X
,
R
)
{\displaystyle \cap :H^{i}(X,R)\times H_{j}(X,R)\to H_{j-i}(X,R)}
得到映射
H
∗
(
X
,
R
)
×
H
∗
(
X
,
R
)
→
H
∗
(
X
,
R
)
{\displaystyle H^{*}(X,R)\times H_{*}(X,R)\to H_{*}(X,R)}
使X 的奇異餘調成為X 的奇異餘調環上的模。
i
=
j
{\displaystyle i=j}
H
i
(
X
,
R
)
→
Hom
R
(
H
i
(
X
,
R
)
,
R
)
,
{\displaystyle H^{i}(X,R)\to \operatorname {Hom} _{R}(H_{i}(X,R),R),}
其是R 域的同構。
例如，令X 是有向流形，不必是緊的。則其餘維為i 的閉有向子流形Y （不必緊）確定了
H
i
(
X
,
R
)
{\displaystyle H^{i}(X,\ R)}
X 的緊有向j 維子流形Z 確定了
H
j
(
X
,
R
)
{\displaystyle H_{j}(X,\ R)}
[
Y
]
∩
[
Z
]
∈
H
j
−
i
(
X
,
R
)
{\displaystyle [Y]\cap [Z]\in H_{j-i}(X,\ R)}
Y 、Z 使其橫截相交，再取交集的類（即j-i維緊有向子流形）進行計算。
n 維閉有向子流形X 在
H
n
(
X
,
R
)
{\displaystyle H_{n}(X,\ R)}
基本類
[
X
]
{\displaystyle [X]}
H
i
(
X
,
R
)
→
≅
H
n
−
i
(
X
,
R
)
{\displaystyle H^{i}(X,R){\overset {\cong }{\to }}H_{n-i}(X,R)}
X 的基本類的下積定義。
餘調是現代代數拓樸的基礎，但在同調論發展了40餘年後，人們才意識到其重要性。亨利·龐加萊 證明龐加萊對偶定理用的「對偶單元結構」概念即是餘調思想的雛形，但後來才被發現。
H
i
(
M
)
×
H
j
(
M
)
→
H
i
+
j
−
n
(
M
)
,
{\displaystyle H_{i}(M)\times H_{j}(M)\to H_{i+j-n}(M),}
這與M 的餘調的杯積 很相似。
1930年，亞歷山大首次定義了餘鏈，將空間X 上的i 餘鏈看作是
X
i
+
1
{\displaystyle X^{i+1}}
1931年，喬治·德拉姆 將同調與微分形式聯繫起來，證明了德拉姆定理 。這一結果可以更簡單地用餘調表述。
1934年，列夫·龐特里亞金 證明了龐特里亞金對偶性 定理，這是關於拓樸群 的一個結果。這（在相當特殊的情形下）提供了用群特徵 解釋龐加萊對偶和亞歷山大對偶 的方法。
1935年的莫斯科 一次學術會議上，安德雷·柯爾莫哥洛夫 和亞歷山大引入了餘調，並試圖建立餘調積結構。
1936年，諾曼·斯廷羅德 通過對偶化切赫同調，構造了切赫餘調 。
1936至1938年，哈斯勒·惠特尼 與愛德華·切赫 發展了杯積 （使餘調變為分次環）和下積 ，意識到龐加萊對偶性可用下積表示。他們的理論仍局限於有限多胞腔的復形。
1944年，塞繆爾·艾倫伯格 克服了技術限制，給出了奇異同調和奇異餘調的現代定義。
1945年，艾倫伯格和斯廷羅德提出了艾倫伯格-斯廷羅德公理 ，下詳。在1952年他們合著的《代數拓樸基礎》（Foundations of Algebraic Topology）一書中，他們證明了現有的同調和餘調確實滿足他們的公理。、
1946年，讓·勒雷 定義了層餘調。
1948年，埃德溫·斯潘尼爾 在亞歷山大和柯爾莫哥洛夫的基礎上，提出了亞歷山大–斯潘尼爾餘調 。
層餘調 是奇異餘調的豐富推廣，允許更一般的係數，而不限於阿貝爾群。對拓樸空間X 上任意的阿貝爾群層 ，有餘調群
H
i
(
X
,
E
)
{\displaystyle H^{i}(X,\ E)}
i 為整數）。特別地，X 上的常層 與阿貝爾群A 相關聯的情形下，所得的群
H
i
(
X
,
A
)
{\displaystyle H^{i}(X,\ A)}
X 的奇異餘調（流形或CW復形）重合（並非對任意X 都成立）。20世紀50年代開始，層餘調成為了代數幾何 與複分析 的核心部分，部分原因是正則函數層或全純函數 層的重要性。
亞歷山大·格羅滕迪克 用同調代數 優雅地定義、描述了層餘調。其要點在於固定空間X ，並將層餘調視作從X 上的阿貝爾範疇 層到阿貝爾群的函子。首先，取從X 上的層E 到其在X 上的非局部截面的阿貝爾群的函子，即E (X )，它是左正合函子 ，而不必右正合。格羅滕迪克定義層餘調群為左正合函子
E
↦
E
(
X
)
{\displaystyle E\mapsto E(X)}
導出函子 。
這定義可以有很多推廣。例如，可定義拓樸空間X 的餘調，其係數可以在層的任意復形中，早先稱作超餘調 （現在則只叫做「餘調」）。從這角度來看，層餘調成了從X 上的層導出範疇 到阿貝爾群的函子序列。
更廣義地講，「餘調」常用作阿貝爾範疇上的左正合函子的右導出函子，而「同調」則是右正合函子的左導出函子。例如，對於環R ，Tor群
T
o
r
i
R
(
M
,
N
)
{\displaystyle {\rm {Tor}}_{i}^{R}(M,\ N)}
R 模的張量積
M
⊗
R
N
{\displaystyle M\otimes _{R}N}
Ext群
E
x
t
R
i
(
M
,
N
)
{\displaystyle {\rm {Ext}}_{R}^{i}(M,\ N)}
H
o
m
R
(
M
,
N
)
{\displaystyle {\rm {Hom}}_{R}(M,\ N)}
層餘調與一種Ext群相關：對拓樸空間X 上的層E ，
H
i
(
X
,
E
)
{\displaystyle H^{i}(X,\ E)}
E
x
t
i
(
Z
X
,
E
)
{\displaystyle {\rm {Ext}}^{i}(\mathbb {Z} _{X},\ E)}
Z
X
{\displaystyle \mathbb {Z} _{X}}
Z 相關聯的常層，Ext取X 上的層的阿貝爾範疇。
拓樸空間的餘調有多種定義（如奇異餘調、切赫餘調 、亞歷山大–斯潘尼爾餘調 或層餘調 ）（此處層餘調只考慮係數在常層中）。這些理論對某些空間給出了不同結果，但對一大類空間都是一致的，這從公理上最容易理解：有一系列屬性稱作艾倫伯格-斯廷羅德公理 ，任意兩個滿足其的構造至少在所有CW復形上都一致。:95 同調論和餘調論都有公理版本。有些理論可作為計算特殊拓樸空間的奇異餘調的工具，如單純復形 的單純餘調、CW復形的胞腔餘調 、光滑流形的德拉姆餘調 。
餘調論的艾倫伯格-斯廷羅德公理之一是維度公理 ：若P 是單點，則
H
i
(
P
)
=
0
,
∀
i
≠
0.
{\displaystyle H^{i}(P)=0,\ \forall i\neq 0.}
由定義，廣義同調論 是從CW-拓樸對 範疇
(
X
,
A
)
{\displaystyle (X,\ A)}
X 是CW復形，A 是子復形）到阿貝爾群範疇的函子 序列
h
i
{\displaystyle h_{i}}
i 是整數），以及自然變換
∂
i
:
h
i
(
X
,
A
)
→
h
i
−
1
(
A
)
{\displaystyle \partial _{i}:\ h_{i}(X,\ A)\to h_{i-1}(A)}
邊界同態 （其中
h
i
−
1
(
A
)
{\displaystyle h_{i-1}(A)}
h
i
−
1
(
A
,
∅
)
{\displaystyle h_{i-1}(A,\ \emptyset )}
同倫 ：若
f
:
(
X
,
A
)
→
(
Y
,
B
)
{\displaystyle f:(X,A)\to (Y,B)}
g
:
(
X
,
A
)
→
(
Y
,
B
)
{\displaystyle g:(X,A)\to (Y,B)}
正合性 ：由結論f : A → X g : (X ,∅) → (X ,A )X ,A )都在同調上誘導了長正合序列：
⋯
→
h
i
(
A
)
→
f
∗
h
i
(
X
)
→
g
∗
h
i
(
X
,
A
)
→
∂
h
i
−
1
(
A
)
→
⋯
.
{\displaystyle \cdots \to h_{i}(A){\overset {f_{*}}{\to }}h_{i}(X){\overset {g_{*}}{\to }}h_{i}(X,A){\overset {\partial }{\to }}h_{i-1}(A)\to \cdots .}
切除 X 是子復形A 、B 的並，則對每個i ，包含
f
:
(
A
,
A
∩
B
)
→
(
X
,
B
)
{\displaystyle f:\ (A,\ A\cap B)\to (X,\ B)}
h
i
(
A
,
A
∩
B
)
→
f
∗
h
i
(
X
,
B
)
{\displaystyle h_{i}(A,A\cap B){\overset {f_{*}}{\to }}h_{i}(X,B)}
可加性 ：若(X ,A )是一組對
(
X
α
,
A
α
)
{\displaystyle (X_{\alpha },\ A_{\alpha })}
i ，包含
(
X
α
,
A
α
)
→
(
X
,
A
)
{\displaystyle (X_{\alpha },\ A_{\alpha })\to (X,\ A)}
⨁
α
h
i
(
X
α
,
A
α
)
→
h
i
(
X
,
A
)
{\displaystyle \bigoplus _{\alpha }h_{i}(X_{\alpha },A_{\alpha })\to h_{i}(X,A)}
廣義餘調論的公理大致是通過翻轉箭頭得到的。更詳細地說，廣義餘調論 是一系列從CW-拓樸對範疇到阿貝爾群範疇的反變函子序列
h
i
{\displaystyle h^{i}}
i 是整數），及自然變換d : h i A ) → h i +1X ,A )邊界同態 （其中
h
i
(
A
)
{\displaystyle h^{i}(A)}
h
i
(
A
,
∅
)
{\displaystyle h^{i}(A,\ \emptyset )}
同倫 ：同倫映射在餘調誘導相同的同態。正合性 ：由結論f : A → X g : (X ,∅) → (X ,A )X ,A )都在餘調上誘導了長正合序列：
⋯
→
h
i
(
X
,
A
)
→
g
∗
h
i
(
X
)
→
f
∗
h
i
(
A
)
→
d
h
i
+
1
(
X
,
A
)
→
⋯
.
{\displaystyle \cdots \to h^{i}(X,A){\overset {g_{*}}{\to }}h^{i}(X){\overset {f_{*}}{\to }}h^{i}(A){\overset {d}{\to }}h^{i+1}(X,A)\to \cdots .}
切除 ：若X 是子復形A 、B 的並，則對每個i ，包含
f
:
(
A
,
A
∩
B
)
→
(
X
,
B
)
{\displaystyle f:\ (A,\ A\cap B)\to (X,\ B)}
h
i
(
X
,
B
)
→
f
∗
h
i
(
A
,
A
∩
B
)
{\displaystyle h^{i}(X,B){\overset {f_{*}}{\to }}h^{i}(A,A\cap B)}
可加性 ：若(X ,A )是一組對
(
X
α
,
A
α
)
{\displaystyle (X_{\alpha },\ A_{\alpha })}
i ，包含
(
X
α
,
A
α
)
→
(
X
,
A
)
{\displaystyle (X_{\alpha },\ A_{\alpha })\to (X,\ A)}
h
i
(
X
,
A
)
→
∏
α
h
i
(
X
α
,
A
α
)
{\displaystyle h^{i}(X,A)\to \prod _{\alpha }h^{i}(X_{\alpha },A_{\alpha })}
譜 決定了廣義（上）同調論。Brown、Whitehead、Adams得到的一個基本結果是：所有廣義同調論都來自一個譜，所有廣義餘調論也來自一個譜。這推廣了艾倫伯格–麥克蘭恩空間對普通餘調的可表性。
一個微妙問題是，從穩定同調範疇（譜的同倫範疇）到CW-拓樸對上的廣義同調論的函子，雖然給出了同構類上的雙射，但是不等價；在穩定同倫範疇中，有非零映射（即幻影映射 [ 13] 三角化 之類良好性質。
要將（上）同調論的定義域從CW復形推廣到任意拓樸空間，一種標準方法是加入公理：所有弱同倫等價 都會在（上）同調誘導一個同構（對奇異（上）同調是正確的，但層餘調等則不然）。由於每個空間都可從CW復形得到弱同倫等價，這公理將所有空間的（上）同調論還原為CW復形的相應理論。
廣義餘調論的一些例子：
穩定上同倫群
π
S
∗
(
X
)
.
{\displaystyle \pi _{S}^{*}(X).}
穩定同倫群
π
∗
S
(
X
)
.
{\displaystyle \pi _{*}^{S}(X).}
各種配邊 群，從空間到流形的所有映射的角度研究空間：無向配邊
M
O
∗
(
X
)
{\displaystyle MO^{*}(X)}
M
S
O
∗
(
X
)
,
{\displaystyle MSO^{*}(X),}
復配邊
M
U
∗
(
X
)
,
{\displaystyle MU^{*}(X),}
丹尼爾·奎倫 的定理，同形式群 密切相關。
拓樸K理論 的各種形式，從空間上所有向量叢的角度研究空間：
K
O
∗
(
X
)
{\displaystyle KO^{*}(X)}
k
o
∗
(
X
)
{\displaystyle ko^{*}(X)}
K
∗
(
X
)
{\displaystyle K^{*}(X)}
k
u
∗
(
X
)
{\displaystyle ku^{*}(X)}
布朗-彼得森餘調 、莫拉瓦K理論 、莫拉瓦E理論等等由復配邊建立的理論。各種橢圓餘調 。 其中許多理論比普通餘調的信息更豐富，但更難計算。
餘調論E 若滿足
E
∗
(
X
)
{\displaystyle E^{*}(X)}
X 都具有分次環的結構，則稱E 具有乘性 。用譜的語言來說，有幾個更精確的環譜 概念，如E ∞ 環譜，其中的積在很強的意義上是交換、結合的。
Dieudonné, Jean , History of Algebraic and Differential Topology Birkhäuser , 1989, ISBN 0-8176-3388-XMR 0995842 Dold, Albrecht , Lectures on Algebraic Topology, Springer-Verlag , 1972, ISBN 978-3-540-58660-9MR 0415602 Eilenberg, Samuel ; Steenrod, Norman , Foundations of Algebraic Topology, Princeton University Press , 1952, ISBN 9780691627236MR 0050886 Hartshorne, Robin , Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics 52 , New York, Heidelberg: Springer-Verlag , 1977, ISBN 0-387-90244-9MR 0463157 Hatcher, Allen , Algebraic Topology , Cambridge University Press , 2001, ISBN 0-521-79540-0MR 1867354 頁面存檔備份 ，存於網際網路檔案館 ）Hazewinkel, Michiel (編), Cohomology , 数学百科全书 , Springer , 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 .May, J. Peter , A Concise Course in Algebraic Topology (PDF) , University of Chicago Press , 1999, ISBN 0-226-51182-0MR 1702278 網際網路檔案館 的存檔 ，存檔日期，.Switzer, Robert, Algebraic Topology — Homology and Homotopy, Springer-Verlag , 1975, ISBN 3-540-42750-3MR 0385836 Thom, René , Quelques propriétés globales des variétés différentiables , Commentarii Mathematici Helvetici , 1954, 28 : 17–86, MR 0061823 S2CID 120243638 doi:10.1007/BF02566923 [失效連結 
![{\displaystyle [S].}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ce501d93a7280cb9368e3ce9e83eff3d14762c0)
![{\displaystyle [S][T]=[S\cap T]\in H^{i+j}(X),}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/849150531bd0ffe48d17d66037ab9c2523b33b90)
![{\displaystyle [S][T]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c34d030e7f6c19a4b67d32ddecc4c9833723af45)
![{\displaystyle f^{*}([N])\in H^{i}(X)}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95ef3962b37fc881f97f5b7b5530aeb04d1211fc)
![{\displaystyle f^{*}([N])}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a96a8219e7013d42230f9d6275355e8d1e0f6fe)
![{\displaystyle \mathbb {Z} [x]/(x^{2})}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ef9d5e7a576431dae1e545309f64acec58cc9c2)
![{\displaystyle x\mathrel {\mathop {:} } =[P\times S^{1}]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/890e184f8e81edc8edc3b22119f5811c411f6ff6)
![{\displaystyle y\mathrel {\mathop {:} } =[S^{1}\times P]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c75860b97dd68fd76cd5c21324399cfcffc0af5c)
![{\displaystyle xy=[Q].}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3c66d75dda079a0ba354d8d002be9b6814f1b31)
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![{\displaystyle \mathbb {Z} /2[x]/(x^{n+1})}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0014a7e59e15f6ba99af7f667696d724783a2f0e)
![{\displaystyle \mathbb {Z} [x]/(x^{m+1})}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee05c94c79b20e5b69d3374b9da9f26d4673830c)
![{\displaystyle [X,K(A,j)]{\stackrel {\cong }{\to }}H^{j}(X,A)}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d586a582c14ef14031b42c4b2c07064e3d2b4bb)
![{\displaystyle [X,Y]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94470b44d283fde62130212956058ca6b727da37)
![{\displaystyle [Y]\cap [Z]\in H_{j-i}(X,\ R)}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f45bf15f606551008418e12498756ee6cd8e693)
![{\displaystyle [X]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fadb3aef0836cb1d004479f470703a45972bf8fe)
![{\displaystyle X={\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {Z} \left[x_{0},\ldots ,x_{n}\right]}{\left(f_{1},\ldots ,f_{k}\right)}}\right)}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f4a15e435f130ad10a51020ef0251ec4bc3400d)
