量子上同調

辛拓撲和代數幾何中，量子上同調環是閉辛流形的普通上同調環的推廣。有「小環」和「大環」兩種定義，一般來說後者更複雜，包含的信息也更多。係數環（一般是諾維科夫環）的選擇也會對其結構產生重大影響。

普通上同調的上積描述了子流形如何相交，而量子上同調的量子上積則描述了子空間如何以「模糊」「量子」的方式相交。更確切地說，若它們通過偽全純曲線相連接，就是相交的。計算曲線的格羅莫夫-威滕不變量在量子上積的展開式中作為係數出現。

量子上同調表達了格羅莫夫-威滕不變量的結構或模式，因此對枚舉幾何有重要意義，還與數學物理和鏡像對稱中的許多觀點相關。特別是，它與辛弗洛爾同調是環同構的。

本文中X是閉辛流形，具有辛形式ω。

諾維科夫環

參見：諾維科夫環

X的量子上同調的係數環有多種選擇，通常我們會選擇能編碼X的第二同調信息的環，這樣下面定義的量子上積就能記錄X中仿全純曲線的信息。例如，令

${\displaystyle H_{2}(X)=H_{2}(X,\mathbf {Z} )/\mathrm {torsion} }$

為第二同調模其撓（torsion）。令R為任意有單位元的交換環，Λ是形式為

${\displaystyle \lambda =\sum _{A\in H_{2}(X)}\lambda _{A}e^{A},}$

的形式冪級數的環，其中

• 係數${\displaystyle \lambda _{A}}$來自R；
• ${\displaystyle e^{A}}$為形式變量，服從關係${\displaystyle e^{A}e^{B}=e^{A+B}}$；
• 對每個實數C，只有有限多個ω(A)小於等於C的A具有非零係數${\displaystyle \lambda _{A}}$。

變量${\displaystyle e^{A}}$的度數為${\displaystyle 2c_{1}(A)}$，其中${\displaystyle c_{1}}$是切叢TX的第一陳類，通過選擇任意與ω相配的殆復結構，可將其視為復向量叢。因此，Λ是分次環，稱作ω的諾維科夫環（其他定義亦常見）。

小量子上同調

令

${\displaystyle H^{*}(X)=H^{*}(X,\mathbf {Z} )/\mathrm {torsion} }$

為X模撓（torsion）的上同調。係數為Λ的小量子上同調定義為

${\displaystyle QH^{*}(X,\Lambda )=H^{*}(X)\otimes _{\mathbf {Z} }\Lambda .}$

其元素是形式為

${\displaystyle \sum _{i}a_{i}\otimes \lambda _{i}}$

的有限和。小量子上同調是分次R模：

${\displaystyle \deg(a_{i}\otimes \lambda _{i})=\deg(a_{i})+\deg(\lambda _{i}).}$

普通上同調${\displaystyle H^{*}(X)}$通過${\displaystyle a\mapsto a\otimes 1}$嵌入${\displaystyle QH^{*}(X,\ \Lambda )}$，後者由${\displaystyle H^{*}(X)}$作為Λ模生成。

對${\displaystyle H^{*}(X)}$中任意兩個純度（pure degree）的上同調類a、b，以及${\displaystyle H_{2}(X)}$中任意的A，定義${\displaystyle (a*b)_{A}}$為${\displaystyle H^{*}(X)}$的唯一元素，使得

${\displaystyle \int _{X}(a*b)_{A}\smile c=GW_{0,3}^{X,A}(a,b,c).}$

（右式是0虧格3點格羅莫夫-威滕不變量。）接著，定義

${\displaystyle a*b:=\sum _{A\in H_{2}(X)}(a*b)_{A}\otimes e^{A}.}$

根據線性關係，可以推廣為定義良好的Λ雙射

${\displaystyle QH^{*}(X,\Lambda )\otimes QH^{*}(X,\Lambda )\to QH^{*}(X,\Lambda )}$

即小量子上積（small quantum cup product）。

幾何解釋

類${\displaystyle A=0}$中唯一的仿全純曲線是常值映射，其像是點。因此

${\displaystyle GW_{0,3}^{X,0}(a,b,c)=\int _{X}a\smile b\smile c;}$

即

${\displaystyle (a*b)_{0}=a\smile b.}$

於是量子上積包含普通上積；也就是說，這定義將普通上積推廣到了非零類A。

一般來說，${\displaystyle (a*b)_{A}}$的龐加萊對偶對應著通過a、b的龐加萊對偶的類A的仿全純曲線空間。所以，普通上同調認為只有當a、b在一定的點上相遇才算做相交，而量子上同調則記錄了a和b的非零相交，只要有仿全純曲線相連接即可。諾維科夫環僅僅提供了足夠大的記錄系統，可以記錄所有類A的相交信息。

例子

令X為具有標準辛形式（對應富比尼–施圖迪度量）和復結構的復射影平面。令${\displaystyle \ell \in H^{2}(X)}$為線L的龐加萊對偶，則

${\displaystyle H^{*}(X)\cong \mathbf {Z} [\ell ]/\ell ^{3}.}$

唯一非零的格羅莫夫-威滕不變量是類${\displaystyle A=0}$或${\displaystyle A=L}$的不變量。可得

${\displaystyle \int _{X}(\ell ^{i}*\ell ^{j})_{0}\smile \ell ^{k}=GW_{0,3}^{X,0}(\ell ^{i},\ell ^{j},\ell ^{k})=\delta (i+j+k,2)}$

及

${\displaystyle \int _{X}(\ell ^{i}*\ell ^{j})_{L}\smile \ell ^{k}=GW_{0,3}^{X,L}(\ell ^{i},\ell ^{j},\ell ^{k})=\delta (i+j+k,5),}$

其中δ是克羅內克δ函數。於是，

${\displaystyle \ell *\ell =\ell ^{2}e^{0}+0e^{L}=\ell ^{2},}$

${\displaystyle \ell *\ell ^{2}=0e^{0}+1e^{L}=e^{L}.}$

這時，可以方便地將${\displaystyle e^{L}}$重命名為q，並使用更簡單的係數環${\displaystyle \mathbf {Z} [q]}$，其中的q之度為${\displaystyle 6=2c_{1}(L)}$。則

${\displaystyle QH^{*}(X,\mathbf {Z} [q])\cong \mathbf {Z} [\ell ,q]/(\ell ^{3}=q).}$

小量子上積的性質

對純度（pure degree）的a、b，

${\displaystyle \deg(a*b)=\deg(a)+\deg(b)}$

且

${\displaystyle b*a=(-1)^{\deg(a)\deg(b)}a*b.}$

小量子上積滿足分配律，是Λ雙線性的。單位元${\displaystyle 1\in H^{0}(X)}$也是小量子同調的么元。

小量子上積還滿足結合律，這是格羅莫夫-威滕不變量的膠合定律（gluing law）的結果。這相當於，格羅莫夫-威滕勢（0虧格格羅莫夫-威滕不變量的母函數）滿足特定的三階微分方程，即WDVV方程。

相交對

${\displaystyle QH^{*}(X,\Lambda )\otimes QH^{*}(X,\Lambda )\to R}$

的定義為

${\displaystyle \left\langle \sum _{i}a_{i}\otimes \lambda _{i},\sum _{j}b_{j}\otimes \mu _{j}\right\rangle =\sum _{i,j}(\lambda _{i})_{0}(\mu _{j})_{0}\int _{X}a_{i}\smile b_{j}.}$

（下標0表示${\displaystyle A=0}$係數。）其滿足結合律

${\displaystyle \langle a*b,c\rangle =\langle a,b*c\rangle .}$

杜布羅溫聯絡

基環R是C時，可將向量空間${\displaystyle QH^{*}(X,\ \Lambda )}$的均勻分次部分H看做複流形。小量子上積限制為H上良定義的交換積。在較溫和的假設下，具有相交對${\displaystyle \langle ,\ \rangle }$的H是弗羅貝尼烏斯代數。

量子上積可視作是切叢TH上的聯絡，稱作杜布羅溫聯絡。則，量子上積的交換性和結合性對應這個聯絡上的零撓率和零曲率條件。

大量子上同調

存在${\displaystyle 0\in H}$的鄰域U，使${\displaystyle \langle ,\rangle }$和杜布羅溫聯絡賦予U以弗羅貝尼烏斯流形的結構。${\displaystyle \forall a\in U}$有量子上積

${\displaystyle *_{a}:H\otimes H\to H,}$

定義為

${\displaystyle \langle x*_{a}y,z\rangle :=\sum _{n}\sum _{A}{\frac {1}{n!}}GW_{0,n+3}^{X,A}(x,y,z,a,\ldots ,a).}$

H上的積統稱為大量子上同調（big quantum cohomology）。所有0虧格格羅莫夫-威滕不變量都可從中恢復；但一般來說，更簡單的小量子上同調並非如此。

小量子上同調只有3點格羅莫夫-威滕不變量的信息，大量子上同調則有所有n點（n ≧ 4）格羅莫夫-威滕不變量的信息。為獲得某些流形的枚舉幾何信息，需要用到大量子上同調。小量子上同調對應物理學中的3點相關函數，大量子上同調則對應所有n點相關函數。

參考文獻

• McDuff, Dusa & Salamon, Dietmar (2004). J-Holomorphic Curves and Symplectic Topology, American Mathematical Society colloquium publications. ISBN 0-8218-3485-1.
• Fulton, W; Pandharipande, R. Notes on stable maps and quantum cohomology. 1996. arXiv:alg-geom/9608011 .
• Piunikhin, Sergey; Salamon, Dietmar & Schwarz, Matthias (1996). Symplectic Floer–Donaldson theory and quantum cohomology. In C. B. Thomas (Ed.), Contact and Symplectic Geometry, pp. 171–200. Cambridge University Press. ISBN 0-521-57086-7