法叢

在數學領域之微分幾何中，法叢（normal bundle）是一個特殊的向量叢，得自一個嵌入或浸入，是切叢的補。

定義

黎曼流形

設${\displaystyle (M,g)}$是一個黎曼流形，${\displaystyle S\subset M}$是一個黎曼子流形。對給定的${\displaystyle p\in S}$，一個向量${\displaystyle n\in \mathrm {T} _{p}M}$定義為${\displaystyle S}$的法向量，如果${\displaystyle g(n,v)=0}$對所有${\displaystyle v\in \mathrm {T} _{p}S}$（從而${\displaystyle n}$ 正交於${\displaystyle \mathrm {T} _{p}S}$）。這樣的${\displaystyle n}$的集合${\displaystyle \mathrm {N} _{p}S}$稱之為${\displaystyle S}$在${\displaystyle p}$的法空間。

就像一個流形的切叢是由流形的所有切空間構造的，${\displaystyle S}$的法叢的全空間${\displaystyle \mathrm {N} S}$定義為

${\displaystyle \mathrm {N} S:=\coprod _{p\in S}\mathrm {N} _{p}S.\,}$

余法叢定義為法叢的對偶叢。它可以自然實現為餘切叢的子叢。

一般定義

更抽象地，給定一個浸入${\displaystyle i\colon N\to M}$（比如嵌入），我們可以定義N在M中的法叢，在每一點取M上的切叢對N的切叢的商空間。對黎曼流形我們可將商與正交補等同，但一般不可行（這樣一種選取等價於投影${\displaystyle V\to V/W}$的一個截面）。

從而法叢一般是周圍空間對限制在子叢上切叢的商。

正式地，N在M中的法叢是M的切叢的一個商叢： 我們有N上向量叢的短正合序列：

${\displaystyle 0\to TN\to TM\vert _{i(N)}\to T_{M/N}:=TM\vert _{i(N)}/TN\to 0}$

這裡${\displaystyle TM\vert _{i(N)}}$是M的切叢限制在N上（準確地說，M的切叢${\displaystyle i^{*}TM}$通過映射${\displaystyle i}$ 拉回到N上）。

穩定法叢

抽象流形由一個典範切叢，但沒有法叢：只有當一個流形嵌入（或浸入）另一個流形時誘導了一個法叢。但是，由惠特尼嵌入定理，每個緊流形可以嵌入在${\displaystyle \mathbf {R} ^{N}}$中，給了這樣一個嵌入，每個流形有一個法叢。

一般沒有自然的嵌入方式，但對給定的M，任何兩個嵌入在${\displaystyle \mathbf {R} ^{N}}$中，對足夠大N是正則同倫的，從而誘導了相同的法叢。所得的法叢類（這是一個叢的類而不是一個特定的叢，因為N可以變）稱為穩定法叢（英語：stable normal bundle）。

對偶於切叢

法叢在K-理論的意義下對偶於切叢： 由上一個短正合序列，在格羅滕迪克群中

${\displaystyle [TN]+[T_{M/N}]=[TM].\,}$

浸入在${\displaystyle \mathbf {R} ^{N}}$中的情形，周圍空間的法叢是平凡的（由於${\displaystyle \mathbf {R} ^{N}}$可縮，從而可平行化），故${\displaystyle [TN]+[T_{M/N}]=0}$，從而${\displaystyle [T_{M/N}]=-[TN]}$。

這在計算示性類時有用，可用於證明一個流形可浸入和可嵌入歐幾里得空間中的下界。