亞歷山大對偶

在數學中，亞歷山大對偶是指由 J.W. Alexander於1915年的研究中所發現一種對偶理論。它在隨後由帕維爾·亞歷山德羅夫和列夫·龐特里亞金等人做了進一步發展。

對於歐氏空間、球面或其他的某些流形的一個子空間 ${\displaystyle X}$，亞歷山大對偶可以用於求 ${\displaystyle X^{c}}$ 的同調群。亞歷山大對偶是Spanier-Whitehead對偶的一種推廣。

定理（亞歷山大對偶）[1]

考慮 n 維球面 ${\displaystyle S^{n}}$ 的一個緊子空間${\displaystyle X}$，若其局部可縮，則有：

$${\displaystyle {\tilde {H}}_{q}(S^{n}\setminus X)\cong {\tilde {H}}^{n-q-1}(X)}$$

其中 ${\displaystyle {\tilde {H}}_{i}(X)}$ 代表空間 ${\displaystyle X}$ 的 ${\displaystyle i}$ 維約化同調群，同樣，${\displaystyle {\tilde {H}}^{i}(X)}$ 代表空間 ${\displaystyle X}$ 的 ${\displaystyle i}$ 維約化上同調群。

參考文獻

1. Munkres, James R. Elements of Algebraic Topology. CRC Press. 1993. ISBN 978-0201627282.