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設為一環,為一雙邊理想。定義下述等價關係
令為其等價類的集合,其中的元素記作,其中是該元素在上任一代表元。我們可以在上定義環結構:
以上運算是明確定義的(在第二式中須用到是雙邊理想)。集合配合上述運算稱作對的商環。根據定義,商映射是滿的環同態,為此同態的核。
如果含單位元素,則是的單位元素。
註:若條件弱化為是左(或右)理想,上述兩式仍可賦予集合左(或右)-模結構。
商環由下述泛性質唯一決定(至多差一個同構):
事實上,若更設,則是單射。準此,的同態像無非是的商環。
理想的性質常與其商環相關,例如當是交換含幺環時,是質理想(或極大理想)若且唯若是整環(或域);中包含的理想一一對應於中的所有理想,此對應由商映射的逆像給出。
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