超越数

在数论中，超越数（英语：transcendental number）是指任何一个不是代数数的无理数。只要它不是任何一个有理系数代数方程的根，它即是超越数。最著名的例子是自然对数底e以及圆周率π。

提示：此条目页的主题不是超限数。

各种各样的数

基本

${\displaystyle \mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C} }$ 正数 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ 自然数 ${\displaystyle \mathbb {N} }$ 正整数 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}$ 小数 有限小数 无限小数 循环小数 有理数 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 代数数 ${\displaystyle \mathbb {A} }$ 实数 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 复数 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 高斯整数 ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ 负数 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{-}}$ 整数 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 负整数 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{-}}$ 分数 单位分数 二进分数 规矩数 无理数 超越数 虚数 ${\displaystyle \mathbb {I} }$ 二次无理数 艾森斯坦整数 ${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$

延伸

二元数 四元数 ${\displaystyle \mathbb {H} }$ 八元数 ${\displaystyle \mathbb {O} }$ 十六元数 ${\displaystyle \mathbb {S} }$ 超实数 ${\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }$ 大实数 上超实数 双曲复数 双复数 复四元数 共四元数（英语：Dual quaternion） 超复数 超数 超现实数

其他

素数 ${\displaystyle \mathbb {P} }$ 可计算数 基数 阿列夫数 同余 整数数列 公称值 规矩数 可定义数 序数 超限数 p进数 数学常数 圆周率 ${\displaystyle \pi =3.14159265}$… 自然对数的底 ${\displaystyle e=2.718281828}$… 虚数单位 ${\displaystyle i={\sqrt {-{1}}}}$ 无限大 ${\displaystyle \infty }$

查 论 编

几乎所有的实数和复数都是超越数，这是因为代数数的集合是可数集，而实数和复数的集合是不可数集之故。

定义

超越数是代数数的相反，也即是说若${\displaystyle x}$是一个超越数，那么对于任何整数${\displaystyle a_{n},a_{n-1},\ldots ,a_{0}}$都符合：

${\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}\neq 0}$

（其中${\displaystyle a_{n}\neq 0}$）

例子

超越数的例子包括：

• 钱珀瑙恩数
• 刘维尔数：${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }10^{-k!}=0.110001000000000000000001000\ldots }$
  它是第一个确认为超越数的数，是于1844年刘维尔发现的。
• 自然对数底${\displaystyle {\boldsymbol {e}}}$（参见：e）。
• ${\displaystyle {\boldsymbol {e}}^{a}}$ ，其中${\displaystyle a}$是除0以外的代数数。
• ${\displaystyle {\boldsymbol {\pi }}}$（参见：圆周率）
  林德曼-魏尔斯特拉斯定理，1882年，注：因${\displaystyle \pi \,}$是超越数而证明尺规作图中的“化圆为方”的不可实现性。
• ${\displaystyle {\boldsymbol {e^{\pi }}}}$（参见：e的π次方）
• ${\displaystyle 2^{\sqrt {2}}}$（参见：2的√2次方）。
  更一般地，若${\displaystyle a\,}$为零和一以外的任何代数数及${\displaystyle b\,}$为无理代数数则${\displaystyle a^{b}\,}$必为超越数。这就是格尔丰德-施奈德定理。
• ${\displaystyle \sin 1\,}$（参见：正弦）
• ${\displaystyle \ln a\,}$（参见：自然对数），其中${\displaystyle a\,}$为一不等于1的正有理数。
• ${\displaystyle \mathbf {W} (a)\,}$（参见：朗伯W函数），其中${\displaystyle a\,}$为一正有理数。
• ${\displaystyle \Gamma ({\frac {1}{3}})\,}$ ${\displaystyle \left(\approx 2.67894\right)\,}$，${\displaystyle \Gamma ({\frac {1}{4}})\,}$ ${\displaystyle \left(\approx 3.62561\right)\,}$及${\displaystyle \Gamma ({\frac {1}{6}})\,}$ ${\displaystyle \left(\approx 5.56632\right)\,}$（参见伽玛函数）。

所有超越数构成的集是一个不可数集，也就是说，几乎所有的实数和复数都是超越数；尽管如此，现今发现的超越数极少，甚至连${\displaystyle \pi +e\,}$是不是超越数也不知道，因为要证明一个数是超越数或代数数是十分困难的。

超越数的证明，给数学带来了大的变革，解决了几千年来数学上的难题——尺规作图三大问题，即倍立方问题、三等分任意角问题和化圆为方问题。随着超越数的发现，这三大问题被证明为不可能。

可能的超越数

以下数仍待证明为超越数或代数数：

• 数 e 和${\displaystyle \pi }$的大多数和、积、幂等等，例如${\displaystyle \pi +e}$, ${\displaystyle \pi -e}$, ${\displaystyle \pi e}$, ${\displaystyle {\frac {\pi }{e}}}$, ${\displaystyle \pi ^{\pi }}$, ${\displaystyle e^{e}}$, ${\displaystyle \pi ^{e}}$, ${\displaystyle \pi ^{\sqrt {2}}}$, ${\displaystyle \pi ^{\pi ^{2}}}$尚未得知是有理数、代数无理数或超越数。值得注意的例外是${\displaystyle \pi +e^{\pi }}$, ${\displaystyle \pi e^{\pi }}$和 ${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {n}}}}$（对于所有正整数 ${\displaystyle n}$）已被证明是超越数^[1][2]
• 欧拉-马歇罗尼常数${\displaystyle \gamma }$，尚未被证明是无理数
• 卡塔兰常数，未被证明是无理数
• 阿培里常数${\displaystyle \zeta (3)}$ ，是无理数
• 黎曼ζ函数在其他奇整数的取值，${\displaystyle \zeta (5),\zeta (7),\ldots }$（尚未被证明是无理数）
• 费根鲍姆常数，${\displaystyle \delta }$与${\displaystyle \alpha }$，皆未证明是否为无理数
• 米尔斯常数，未证明是否为无理数
• 辛钦常数，未证明是否为无理数
• 科普兰-埃尔德什常数，是无理数

猜想：

• Schanuel猜想（英语：Schanuel's conjecture）
• 四指数猜想（英语：Four exponentials conjecture）

简要地证明 e {\displaystyle e} 是超越数

第一个对自然对数底 e是超越数的证明可以追溯到1873年。我们现在跟随的是大卫·希尔伯特的策略。他给出了夏尔·埃尔米特的原始证明的简化。思路如下所示：

为寻找矛盾，假设${\displaystyle e}$是代数数。那就存在一个有限的整系数集${\displaystyle c_{0},c_{1},\ldots ,c_{n}}$满足下列等式：

${\displaystyle c_{0}+c_{1}e+c_{2}e^{2}+\cdots +c_{n}e^{n}=0,\qquad c_{0},c_{n}\neq 0.}$

现在对于一个正整数${\displaystyle k}$，我们定义如下的多项式：

${\displaystyle f_{k}(x)=x^{k}\left[(x-1)\cdots (x-n)\right]^{k+1},}$

并在上述等式的两端乘上

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx,}$

于是我们得到等式：

${\displaystyle c_{0}\left(\int _{0}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx\right)+c_{1}e\left(\int _{0}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx\right)+\cdots +c_{n}e^{n}\left(\int _{0}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx\right)=0.}$

该等式可以写成这种形式

${\displaystyle P+Q=0}$

其中

${\displaystyle P=c_{0}\left(\int _{0}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx\right)+c_{1}e\left(\int _{1}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx\right)+c_{2}e^{2}\left(\int _{2}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx\right)+\cdots +c_{n}e^{n}\left(\int _{n}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx\right)}$

${\displaystyle Q=c_{1}e\left(\int _{0}^{1}f_{k}e^{-x}\,dx\right)+c_{2}e^{2}\left(\int _{0}^{2}f_{k}e^{-x}\,dx\right)+\cdots +c_{n}e^{n}\left(\int _{0}^{n}f_{k}e^{-x}\,dx\right)}$

引理 1. 对于恰当选择的${\displaystyle k}$， ${\displaystyle {\frac {P}{k!}}}$ 是非零整数。

证明： P 的每一项都是整数乘以阶乘的和，这可以从以下的关系式得出

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{j}e^{-x}\,dx=j!}$

对于任何正整数 j 成立（考虑Γ函数）。

它是非零的，因为对于每一个满足 0< a ≤ n 的 a ，

${\displaystyle c_{a}e^{a}\int _{a}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx}$

中的被积函数均为 e^−x 乘以一些项的和，在积分中用 x - a 替换 x 后， x 的最低幂次是 k+1 。然后这就变成了具有以下形式的积分的和

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{j}e^{-x}\,dx}$

其中 k+1 ≤ j ，而且它是一个能被 (k+1)! 整除的整数。在除以 k! 后，我们得到模 (k+1) 得 0 的数。

现在我们只须考虑a=0的项。我们有：

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx=\int _{0}^{\infty }\left([(-1)^{n}(n!)]^{k+1}e^{-x}x^{k}+\cdots \right)dx}$

于是

${\displaystyle {\frac {1}{k!}}c_{0}\int _{0}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx=c_{0}[(-1)^{n}(n!)]^{k+1}\qquad \mod (k+1).}$

通过选择 k ，使得 k+1 是大于 n 与 |c₀| 的素数，我们可以得出 ${\displaystyle {\tfrac {P}{k!}}}$ 模 (k+1) 为非零，从而该数为非零整数。

引理 2. 对于充分大的 k ， ${\displaystyle \left|{\tfrac {Q}{k!}}\right|<1}$ 。

证明： 注意到

${\displaystyle f_{k}e^{-x}=x^{k}[(x-1)(x-2)\cdots (x-n)]^{k+1}e^{-x}=\left([x(x-1)\cdots (x-n)]^{k}\right)\left((x-1)\cdots (x-n)e^{-x}\right)}$

使用 ${\displaystyle |x(x-1)\cdots (x-n)|}$ 和 ${\displaystyle |(x-1)\cdots (x-n)e^{-x}|}$ 在区间 [0,n] 的上限 G 和 H ，我们可以推出

${\displaystyle |Q|<G^{k}H(|c_{1}|e+2|c_{2}|e^{2}+\cdots +n|c_{n}|e^{n})}$

由于

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }{\frac {G^{k}}{k!}}=0}$

我们有

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }{\frac {Q}{k!}}=0}$

这点足以完成对引理的证明。

注意可以选择满足两个引理的${\displaystyle k}$，从而我们能得出矛盾。进而得以证明${\displaystyle e}$的超越性。

马勒的分类

库尔特·马勒（英语：Kurt Mahler）在1932年把超越数分为3类，分别叫做S数、T数和U数^[3]。这些类别的定义利用了刘维尔数思想的扩充。

实数的无理性度量

一种定义刘维尔数的方式是考虑对于给定的实数${\displaystyle x}$，可以使得一次多项式${\displaystyle \vert qx-p\vert }$尽可能小但不精确地等于 0 。这里的${\displaystyle p}$ , ${\displaystyle q}$是满足${\displaystyle \vert p\vert }$, ${\displaystyle \vert q\vert }$以正整数${\displaystyle H}$为界的整数。

令${\displaystyle m(x,1,H)}$为这些多项式所取的最小非零绝对值，并且令：

${\displaystyle \omega (x,1,H)=-{\frac {\log m(x,1,H)}{\log H}}}$

${\displaystyle \omega (x,1)=\limsup _{H\to \infty }\omega (x,1,H).}$

${\displaystyle \omega (x,1)}$常称为实数${\displaystyle x}$的无理性度量（measure of irrationality）。对于有理数${\displaystyle \omega (x,1)=0}$，而且对无理数其值至少为1 。刘维尔数可以定义为具有无穷大的无理性度量的数。Thue–Siegel–Roth定理（英语：Thue–Siegel–Roth theorem）表明了实代数无理数的无理性度量均为 1 。

复数的超越性度量

接下来考虑多项式对于复数${\displaystyle x}$的取值，这些多项式系数为整数，次数至多为${\displaystyle n}$，而且高（英语：Height of a polynomial）至多为${\displaystyle H}$，此处的${\displaystyle n}$, ${\displaystyle H}$是正整数。

令${\displaystyle m(x,n,H)}$为以${\displaystyle x}$为变量的上述多项式所取的最小非零值，并且令：

${\displaystyle \omega (x,n,H)=-{\frac {\log m(x,n,H)}{n\log H}}}$

${\displaystyle \omega (x,n)=\limsup _{H\to \infty }\omega (x,n,H).}$

假如对于尽可能小的正整数${\displaystyle n}$，${\displaystyle \omega (x,n)}$为无穷大，则这种情况下复数${\displaystyle x}$称为${\displaystyle n}$次的U数。

现在我们可以定义

${\displaystyle \omega (x)=\limsup _{n\to \infty }\omega (x,n).}$

${\displaystyle \omega (x)}$常称为${\displaystyle x}$的超越性度量（measure of transcendence）。假如${\displaystyle \omega (x,n)}$有界，则${\displaystyle \omega (x)}$有限，${\displaystyle x}$称为S数。如果${\displaystyle \omega (x,n)}$有限而无界，则${\displaystyle x}$称为T数。${\displaystyle x}$为代数数当且仅当${\displaystyle \omega (x)=0}$。

显然刘维尔数是U数的子集。威廉·勒维克（英语：William J. LeVeque）在1953年构造了任意次数的U数^[4][5]。刘维尔数是不可数集，从而U数也是。它们的测度为 0 ^[6]。

T数组成的集合测度亦为 0 ^[7]。人们花了 35 年时间证明它们存在。沃尔夫冈·M·施密特（英语：Wolfgang M. Schmidt）在 1968 年证明了T数的样例存在。由是可知几乎所有复数都是S数^[8]。马勒证明了当${\displaystyle x}$为任意非零代数数时${\displaystyle e^{x}}$均为S数^[9][10]：这点揭示了${\displaystyle e}$是S数且给出了${\displaystyle \pi }$的超越性证明。对于${\displaystyle \pi }$我们至多知道它不是U数。其他更多的超越数仍未归类。

两个数${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$称为代数相关，当存在 2 个变量的整系数非零多项式${\displaystyle P}$满足${\displaystyle P(x,y)=0}$。一个有力的定理指出，属于相同马勒分类的 2 个复数是代数相关的^[5][11]。这允许我们构造新形式的超越数，例如刘维尔数与${\displaystyle e}$或${\displaystyle \pi }$的和。

通常推测 S 代表马勒的老师卡尔·西格尔（Carl Ludwig Siegel），而 T 和 U 是接下来的两个字母。

Koksma 的等价分类

Jurjen Koksma（英语：Jurjen Koksma） 在 1939 年提出了基于代数数逼近的另一种分类^[3][12]。

考虑用次数${\displaystyle \leq n}$且高${\displaystyle \leq H}$的代数数逼近复数${\displaystyle x}$。令${\displaystyle \alpha }$为该有限集中满足${\displaystyle \vert x-\alpha \vert }$取最小正值得代数数。定义${\displaystyle \omega ^{*}(x,H,n)}$和${\displaystyle \omega ^{*}(x,n)}$如下：

${\displaystyle |x-\alpha |=H^{-n\omega ^{*}(x,H,n)-1}.}$

${\displaystyle \omega ^{*}(x,n)=\limsup _{H\to \infty }\omega ^{*}(x,n,H).}$

若对于最小的正整数${\displaystyle n}$，${\displaystyle \omega ^{*}(x,n)}$为无穷大，则称${\displaystyle x}$为${\displaystyle n}$次的U*数。

若${\displaystyle \omega ^{*}(x,n)}$有界且不收敛到 0 ，则则称${\displaystyle x}$为S*数，

一个数${\displaystyle x}$被称为 A*数 ，当${\displaystyle \omega ^{*}(x,n)}$收敛到 0 。

若所有的${\displaystyle \omega ^{*}(x,n)}$均为有限但无界，则称 x 为T*数，

Koksma和马勒的分类是等价的，因为它们将超越数以同样的方式分类^[12]。A*数就是代数数^[8]。

勒维克的构造

令

${\displaystyle \lambda ={\tfrac {1}{3}}+\sum _{k=1}^{\infty }10^{-k!}}$

可以证明${\displaystyle \lambda }$（刘维尔数）的${\displaystyle n}$次方根是${\displaystyle n}$次的U数^[13]。

此构造可以改进以建立${\displaystyle n}$次U数的不可数个系列。令${\displaystyle Z}$为上述${\displaystyle \lambda }$的级数中 10 的幂次的集合。${\displaystyle Z}$所有子集的集合是不可数的。在表示${\displaystyle \lambda }$的级数中删去任意一个${\displaystyle Z}$的子集，将产生不可数个显然的刘维尔数，它们每一个的${\displaystyle n}$次方根都是次数为${\displaystyle n}$的U数。

类型

数列${\displaystyle \{\omega (x,n)\}}$的上界称为类型（type）。几乎所有实数都是类型为 1 的S数，此类型数在实S数中是最小的。几乎所有复数都是类型为 1/2 的S数，此类型数在复S数中同样是最小的。以上判断对于几乎所有数成立的猜想由马勒提出，于 1965 年由 Vladimir Sprindzhuk 证明^[4]。

参考文献

1. Weisstein, Eric W. (编). Irrational Number. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
2. Modular functions and transcendence questions, Yu. V. Nesterenko, Sbornik: Mathematics(1996), 187(9):1319. [2015-03-08]. （原始内容存档于2015-04-02）.
3. Bugeaud (2012) p.250
4. Baker (1975) p. 86.
5. LeVeque (2002) p.II:172
6. Burger and Tubbs, p. 170.
7. Burger and Tubbs, p. 172.
8. Bugeaud (2012) p.251
9. LeVeque (2002) pp.II:174–186
10. Burger and Tubbs, p. 182.
11. Burger and Tubbs, p. 163.
12. Baker (1975) p.87
13. Baker(1979), p. 90.

参见

• 多项式
• 无理数
• 代数数
• 林德曼-魏尔斯特拉斯定理