无穷

无穷（英语：infinity，又称无限大），来自于拉丁文的“infinitas”，即“没有边界”的意思。其数学符号为∞。它在科学、神学、哲学、数学和日常生活中有着不同的概念。通常使用这个词的时候并不涉及它的更加技术层面的定义。

“无限”重定向至此。关于其他用法，请见“无限 (消歧义)”。

各种各样的数

基本

${\displaystyle \mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C} }$ 正数 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ 自然数 ${\displaystyle \mathbb {N} }$ 正整数 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}$ 小数 有限小数 无限小数 循环小数 有理数 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 代数数 ${\displaystyle \mathbb {A} }$ 实数 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 复数 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 高斯整数 ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ 负数 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{-}}$ 整数 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 负整数 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{-}}$ 分数 单位分数 二进分数 规矩数 无理数 超越数 虚数 ${\displaystyle \mathbb {I} }$ 二次无理数 艾森斯坦整数 ${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$

延伸

二元数 四元数 ${\displaystyle \mathbb {H} }$ 八元数 ${\displaystyle \mathbb {O} }$ 十六元数 ${\displaystyle \mathbb {S} }$ 超实数 ${\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }$ 大实数 上超实数 双曲复数 双复数 复四元数 共四元数（英语：Dual quaternion） 超复数 超数 超现实数

其他

素数 ${\displaystyle \mathbb {P} }$ 可计算数 基数 阿列夫数 同余 整数数列 公称值 规矩数 可定义数 序数 超限数 p进数 数学常数 圆周率 ${\displaystyle \pi =3.14159265}$… 自然对数的底 ${\displaystyle e=2.718281828}$… 虚数单位 ${\displaystyle i={\sqrt {-{1}}}}$ 无限大 ${\displaystyle \infty }$

查 论 编

不同字体下的∞符号

在神学方面，根据书面记载无穷这个符号最早被用于某些秘密宗教，通常代表人类中的神性，而书写此符号时两圆的不对等代表人神间的差距，例如神学家邓斯·司各脱（Duns Scotus）的著作中，上帝的无限能量是运用在无约束上，而不是运用在无限量上。在哲学方面，无穷可以归因于空间和时间。在神学和哲学两方面，无穷又作为无限，很多文章都探讨过无限、绝对、上帝和芝诺悖论等的问题。

在数学方面，无穷与下述的主题或概念相关：数学的极限、阿列夫数、集合论中的类、戴德金无限集合（英语：Dedekind-infinite set）、罗素悖论、超实数、射影几何、扩展的实轴以及绝对无限。在一些主题或概念中，无穷被认为是一个超越边界而增加的概念，而不是一个数。

历史

早期无限的观点

最早关于无限的记载出现在印度的夜柔吠陀（公元前1200－900）。书中说：“如果你从无限中移走或添加一部分，剩下的还是无限。”

印度耆那教的经书《Surya Prajnapti》（c. 400 BC）把数分作三类：“可计的”、“不可计的”及“无限”。每一类再细分成三种阶：

• 可计的：小的、中的与大的。
• 不可计的：接近不可计的、真正不可计的、没有方法去计的，以及无限也包括在内。
• 无限：接近无限、真正无限与无穷无尽。

现代科学家解析古代羊皮卷中的阿基米德手稿（Archimedes Palimpsest（英语：Archimedes Palimpsest）），在残卷《方法》命题14中，发现阿基米德开始计算无穷大的数目。他采取近似于19世纪微积分与集合论的手法，计算了两组无穷大的集合，以求和的方法，证明它们之间的数目是相等的。

这是在人类记载上第一次出现无限也可以分类这一个念头。

文艺复兴时代至近代

伽利略最先发现一个集合跟它自己的真子集可以有相同的大小。

他用上一一对应的概念说明自然数集{1, 2, 3, 4, ...}跟子集平方数集{1, 4, 9, 16, ...}一样多。就是1→1、2→4、3→9、4→16、.....

一一对应正是用于研究无限必要的手法。

数学中的无穷

无限大的符号

无限大的符号是${\displaystyle \infty }$，其Unicode为U+221E ∞ INFINITY，在LaTeX中表示为\infty。

无限大的符号是1655年由约翰·沃利斯开始使用^[1][2]，在开始使用后，也用在数学以外的领域，例如现代神秘主义^[3]及符号学^[4]。

微积分及实分析中的无穷

莱布尼茨是提出许多有关其在数学中应用的猜测。对莱布尼茨而言，无穷大和无穷小量都是理想的实体，和一般数值的本质不同，不过有类似的性质^[5][6]。

在实分析中，符号${\displaystyle \infty }$称为“无穷大”，代表无界极限。${\displaystyle x\to +\infty }$表示${\displaystyle x\quad }$超出任意给定值，${\displaystyle x\to -\infty }$表示${\displaystyle x\quad }$最终小于任意给定值。

一函数积分的结果可能会是无限大，若对于所有的t，f(t) ≥ 0，则^[7]

• ${\displaystyle \int _{a}^{b}\,f(t)\ dt\ =\infty }$ 意思是f(t) 在${\displaystyle a}$到${\displaystyle b}$的范围内，其面积是无限大。
• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\,f(t)\ dt\ =\infty }$意思是在f(t)以下的总面积无限大。
• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\,f(t)\ dt\ =a}$意思是在f(t)以下的总面积是有限的，且总面积等于${\displaystyle a}$。

无穷大也可以用来描述无穷级数：

• ${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }\,f(i)=a}$意思是无穷级数的和会收敛到某一定值${\displaystyle a}$。
• ${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }\,f(i)=\infty }$意思是无穷级数的和会发散。

若将标记为${\displaystyle +\infty }$和${\displaystyle -\infty }$的点加入到实数组成的拓扑空间，就产生实数集的“两点紧致化”。再加入代数属性，就得到了扩展的实数轴。也可将${\displaystyle +\infty }$和${\displaystyle -\infty }$作为一个点，记作${\displaystyle \infty }$，并得到实数的“一点紧致化”，也就是实射影线（英语：Real projective line）。射影几何在平面几何上引入无穷远线，在高维上也有类似概念。

复变分析中的无穷

在复变分析中符号${\displaystyle \infty }$是指没有正负号的极限值。${\displaystyle x\rightarrow \infty }$是指x的大小 ${\displaystyle |x|}$会超过任意给定的数值。可以在复平面上加上无穷远点，变成一个拓扑空间，即为复平面的一点紧化。若完成后，所得的平面是一维的复流形或黎曼曲面，称为黎曼球面。也可以定义在其上的代数运算（不过有一个例外，无限大不能和本身相加）。另一方面，有无限大表示可以除以零，而对于任何不为0的复数z，${\displaystyle {\frac {z}{0}}=\infty }$，因此可以将亚纯函数对映到黎曼球面上，只要将极点对应到无穷远点${\displaystyle \infty }$即可。复变函数的定义域也可以加入无穷远点，例如莫比乌斯变换的函数。

无穷大和无穷小

一般讲无穷指的都是无穷大，但是无穷小也是一种无穷。通过${\displaystyle y={\frac {1}{x}}}$的映射即可把无穷大映射为无穷小。在微积分中，常用高阶无穷小的概念。

无穷远点

无穷远点是一个加在实轴上后得到实射影直线${\displaystyle \mathbb {R} P^{1}}$的点。

集合论中的无穷

主条目：序数和势的比较

无穷集合和其真子集的一对一对应

在集合论中对无穷有不同的定义。德国数学家康托尔提出，对应于不同无穷集合的元素的个数（基数），有不同的“无穷”。

这里比较不同的无穷的“大小”的时候，唯一的办法就是通过是否可以建立“一一对应关系”来判断，而抛弃了欧几里得“整体大于部分”的看法。例如整数集和自然数集由于可以建立一一对应的关系，它们就具有相同的基数。

例如，

• 可数集合，如自然数集，整数集乃至有理数集对应的基数被定义为${\displaystyle \aleph _{0}}$（阿列夫零）。
• 比可数集合“大”的称之为不可数集合，如实数集，其基数与自然数的幂集相同，为${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$。
• 由于一个无穷集合的幂集总是具有比它本身更高的基数，所以通过构造一系列的幂集，可以证明超穷基数的个数是无穷的。然而有趣的是，超穷基数的个数比任何基数都多，从而它是一个比任何无穷大都要大的“无穷大”，它不能对应于一个基数，否则会产生某种形式的康托尔悖论。

几何学和拓扑学

主条目：向量空间的维数

无限维的空间常用在几何学及拓扑学中，尤其是在分类空间（英语：classifying space），也就是Eilenberg−MacLane空间（英语：Eilenberg−MacLane space）。常见的例子包括无限维的复射影空间（英语：complex projective space）K(Z,2)，以及无限维的实射影空间K(Z/2Z,1)。

分形

科赫曲线的前四次迭代

分形的结构可以重复的放大，分形可以无限次的放大，但不会变的圆滑，而且仍维持原有的结构，分形的周长是无限的，有些的面积无限，但有些的面积却是有限。像科赫曲线就是有无限周长和有限面积的例子。

没有无穷的数学

利奥波德·克罗内克怀疑无限的概念，也怀疑1870年代及1880年代时数学家使用无限的方式。这种怀疑主义形成一种称为有限主义的数学哲学，是属于数学结构主义及数学直觉主义中的一种极端形式^[8]。

物理中的无穷

在物理上，实数的近似会用在连续量（英语：Continuum (theory)）的量测上，自然数的近似会用在离散的量测上。因此科学家假设没有可观察量会到无穷的数值^{[来源请求]}，这是因为科学家很自然的，事实上已经是默认的接受了这样的事情：即在真实的物理场景里，是不存无穷大的可观测物理量的。例如在扩展的实轴上取一个无穷的值，或是需要计算某个无穷次事件的次数。因此会预设没有任何物体会有无穷的质量或是能量。有些事物的概念和无限有关，例如无限平面波，但现今尚没有方法可以由实验产生无限平面波^[9]。

电脑计算中的无穷

IEEE 754浮点数标准中定义了正无限大及负无限大，定义为溢位、除以零或其他异常程序的结果。

像Java^[10]及J语言^[11]等编程语言允许在程式中直接用类似常数的方式存取正负无限大。正负无限大可以作为最大元，因为比所有其他的数都大（或是小）。正负无限大也可以做为像排序、搜寻或窗函数等算法中的哨兵值（英语：sentinel value），找到这个值时可以结束计算。

在一些没有最大或最小元素，但允许关系运算子多载的编程语言中，程序员也可以“创建”最大及最小元素。若语言不允许直接存取最大或最小元素，但有浮点数的形态，也可以用特定的运算产生正负无限大，再进行其他处理。

微软的 Visual Studio 用无穷大符号作为图标。

艺术及认知科学中的无穷

透视艺术使用了消失点或是无穷远点的概念．也就是放在观察者无穷远处的一个点。因此画家可以绘制有现实感空间及距离的作品^[12]。艺术家莫里茨·科内利斯·埃舍尔就常将无穷的概念用在他的作品中。

认知科学家乔治·莱考夫将数学及科学中无限的概念视为一个隐喻。这个观点是基于简单的无限隐喻，定义为一直递增的数列<1,2,3,...>。

无限的符号常浪漫的表示永恒的爱，许多现代的珠宝就在其造型中加入无限的符号。

Crypton Future Media 的角色主唱系列中 CV-03 巡音流歌的人物形象即包含无穷大的符号以象征“循环、巡回”之意。

相关条目

• 0.999…
• 非标准分析
• 连续统假设
• 无限猴子定理
• 无穷公理
• 衔尾蛇
• 艾礼富数
• 无限集合
• 超现实数
• 无穷远焦点

参考资料

1. Scott, Joseph Frederick, The mathematical work of John Wallis, D.D., F.R.S., (1616–1703) 2, American Mathematical Society: 24, 1981 [2014-10-17], ISBN 0-8284-0314-7, （原始内容存档于2021-03-04）
2. Martin-Löf, Per, Mathematics of infinity, COLOG-88 (Tallinn, 1988), Lecture Notes in Computer Science 417, Berlin: Springer: 146–197, 1990, MR 1064143, doi:10.1007/3-540-52335-9_54
3. O'Flaherty, Wendy Doniger, Dreams, Illusion, and Other Realities, University of Chicago Press: 243, 1986 [2014-10-17], ISBN 9780226618555, （原始内容存档于2020-08-18）
4. Toker, Leona, Nabokov: The Mystery of Literary Structures, Cornell University Press: 159, 1989 [2014-10-17], ISBN 9780801422119, （原始内容存档于2020-08-03）
5. Continuity and Infinitesimals entry by John Lane Bell in the Stanford Encyclopedia of Philosophy. [2014-10-18]. （原始内容存档于2021-01-25）.
6. Jesseph, Douglas Michael. Leibniz on the Foundations of the Calculus: The Question of the Reality of Infinitesimal Magnitudes. Perspectives on Science. 1998, 6 (1&2): 6–40 [16 February 2010]. ISSN 1063-6145. OCLC 42413222. （原始内容存档于2010-02-15）.
7. 这类在积分及级数中使用无限大的例子在任一本标准的微积分教科书中都可以找到，例如Swokoski 1983，pp. 468-510 harvnb模板错误: 无指向目标: CITEREFSwokoski1983 (帮助)
8. Kline, Morris. Mathematical Thought from Ancient to Modern Times. New York: Oxford University Press. 1972: 1197–1198. ISBN 0-19-506135-7.
9. Doric Lenses （页面存档备份，存于互联网档案馆） - Application Note - Axicons - 2. Intensity Distribution. Retrieved 7 April 2014.
10. Gosling, James; et. al. 4.2.3.. The Java™ Language Specification Java SE 7. California, U.S.A.: Oracle America, Inc. 27 July 2012 [6 September 2012]. （原始内容存档于2012-06-09）.
11. Stokes, Roger. 19.2.1. Learning J. July 2012 [6 September 2012]. （原始内容存档于2012-03-25）.
12. Kline, Morris. Mathematics for the nonmathematician. Courier Dover Publications. 1985: 229 [2014-10-17]. ISBN 0-486-24823-2. （原始内容存档于2020-08-03）., Section 10-7, p. 229 （页面存档备份，存于互联网档案馆）