魔群

魔群（英语：Monster group）或怪兽群，或友善巨人（the Friendly Giant）或费希尔─格里斯怪兽（Fischer-Griess Monster），是一个有限单群，是26个散在群的其中之一，一般常将之记作M或F₁。

群论
群
基本概念 子群 · 正规子群 · 商群 · 群同态 · 像 · (半)直积 · 直和 单群 · 有限群 · 无限群 · 拓扑群 · 群概形 · 循环群 · 幂零群 · 可解群 · 圈积 离散群 有限单群分类 循环群 Zn 交错群 An 李型群 散在群 马蒂厄群 M11..12,M22..24 康威群 Co1..3 扬科群 J1..4 费歇尔群（英语：Fischer group）F22..24 子魔群（英语：sub monster group） B 魔群 M 其他有限群 对称群, Sn 二面体群, Dn 无限群 整数, Z 模群, PSL(2,Z) 和 SL(2,Z) 连续群 李群 一般线性群 GL(n) 特殊线性群 SL(n) 正交群 O(n) 特殊正交群 SO(n) 酉群 U(n) 特殊酉群 SU(n) 辛群 Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 劳仑兹群 庞加莱群 无限维群 共形群 微分同胚群 环路群 量子群 O(∞) SU(∞) Sp(∞) 代数群 椭圆曲线 线性代数群（英语：Linear algebraic group） 阿贝尔簇（英语：Abelian variety）
查 论 编

怪兽群的阶是26个散在群中最大的，其阶为

	246 · 320 · 59 · 76 · 112 · 133 · 17 · 19 · 23 · 29 · 31 · 41 · 47 · 59 · 71
=	808017424794512875886459904961710757005754368000000000
≈	8 · 1053

有限单群的分类已完成(见有限单群分类一文)。每个有限单群都属于当中有的18类可数无限族中，或不包含于那些可系统化模式的18类可数无限族中，那26个的“散单群”中。而怪兽群是那26个散单群中阶数最大的群。而二十六个散单群除了六个，其余的散单群均是怪兽群的子集合。罗伯特‧格里斯(Robert Griess)将那六个不为魔群子集的群称为“低群”(pariahs)，并以“快乐大家族”(the happy family)一词称呼其他的散单群。

或许对怪兽群最好的定义方式，就是将之定义为同时包含康威群(Conway group)和费歇尔群（英语：Fischer group）的有限单群中阶最小者（怪兽群虽为散在群中阶最大的，但这不表示它是所有有限单群中阶最大的，其他类的有限单群中有阶比其更大者存在）。

存在性与唯一性

怪兽群的存在性最早在1973年为贝恩德‧费希尔(Bernd Fischer，他未出版相关想法)与罗伯特‧格里斯所预测，他们当时认为存在一个单群，该单群包含子怪兽群中做为某个对合的中心化子的某个双覆盖。数月后，M的阶被格里斯以汤普森阶公式(Thompson order formula)计算出，而费希尔(Fischer)、康威(Conway)、诺顿(Norton)与汤普森(Thompson)等人则发现此群包含了其他的群做为其子商，被包含的群包括了许多已知的散单群，此外他们还发现了两个新的单群：汤普森群和原田-诺顿群。格里斯将怪兽群建构为格里斯代数(一个196884维的交换非结合代数)的自同构群。约翰‧康威(John Horton Conway)和雅魁‧提次(Jacques Tits)随后简化了其建构。

格里斯的建构证明了怪兽群的存在。约翰‧汤普森(John G. Thompson)则说明了其做为阶为此数的单群的唯一性可由一个196883维忠实表示法的存在得出。该表示法的存在性在1982年为西蒙‧诺顿(Simon P. Norton)提出，然而他从未发表此证明的细节。第一个关于怪兽群唯一性的证明则由格里斯、麦尔法兰肯菲尔德(Meierfrankenfeld)和塞格夫(Segev)给出。

月光猜想

怪兽群是康威(Conway)和诺顿(Norton)所提出的怪兽月光理论的两个主要成分之一。此猜想与离散和非离散数学相关，并在1992年为理查‧伯切德斯(Richard Borcherds)所证明。

在此设定下，怪兽群可由怪兽群模组的自同构群示现：亦即由一作用在怪兽李代数上，属广义Kac–Moody代数，且包含Griess代数的无穷维代数的顶点算子代数示现而出。

表示与维度

　　一个忠实的复数表示的最小度数是196,883，它是怪兽群阶数可分得3个因子乘积的分割。当中怪兽群的最小忠实排列表示是 2⁴ · 3⁷ · 5³ · 7⁴ · 11 · 13² · 29 · 41 · 59 · 71 (约 10²⁰)点。他可被视为有理数上的一个伽罗瓦群(Thompson 1984，p. 443)而实现，并视为一个胡尔维兹群(Hurwitz group)(Wilson 2004) harv模板错误: 无指向目标: CITEREFWilson2004 (帮助)。

　　怪兽群在单群中并不平常，因并没有已知的简单规则或方法可表示他的元素，而这并非起因于他大小的表示因素。例如，单群"A"₁₀₀和SL₂₀（2）相对是大，但容易计算，因为它们是具已知的置换或线性表示；交错群具有与之的大小相较下的置换表示，且所有有限单李型式群有线性表示。除了怪物群之外的所有散单群体也具有足够小的线性表示，以至于它们易于在计算机上工作（而难度仅次于怪物群的，为可分割成维度4370的小怪兽群(baby Monster)表示）。

麦凯的E8观察

怪兽群和扩张登金图(Dynkin diagram)${\displaystyle {\tilde {E}}_{8},}$亦存在着关系，其关联在图结点与怪兽群同余类之间表现得更明显，此关联又被称作“麦凯的E₈观察”(McKay's E₈ observation)^[1][2]

子群结构

Sporadic Finite Groups Showing (Sporadic) Subgroups

怪兽群包含了至少44个共轭类的极大子群。六十数种同构类型的非交换单群，亦包含在怪兽群中，做为怪兽群的子群或子群的商群。

怪兽群的子群包括了26个散在群中的多数，但非全部的散在群都是它的子群。一旁所示之图是基于马克‧罗南(Mark Ronan)所撰的书《Symmetry and the Monster》的，表明这些散在单群是如何与彼此产生关系的。线段表示下方的群被其上的群所包含，并为其上的群的子商。圈起来的符号，表示该符号所代表的群不被包含于其他更大的散在单群中。为了清楚表明，多余的包含关系在此图中未表示。

• 2.B   对合(involution)的中心化子(Centralizer);包含一Sylow 47-子群的正规化子(normalizer) (47:23) × 2 。
• 2¹⁺²⁴.Co₁   对合的中心化子。
• 3.Fi₂₄  阶数3子群的正规化子;包含一Sylow 29-子群的正规化子((29:14) × 3).2。
• 2².²E₆(2²):S₃   一Klein 4-群的正规化子。
• 2¹⁰⁺¹⁶.O₁₀⁺(2)
• 2^2+11+22.(M₂₄ × S₃)   一Klein 4-群的正规化子; 含一Sylow 23-子群的正规化子(23:11) × S₄。
• 3¹⁺¹².2Suz.2   阶数3子群的正规化子。
• 2^5+10+20.(S₃ × L₅(2))
• S₃ × Th   阶数3子群的正规化子;含一Sylow 31-子群的正规化子(31:15) × S₃ 。
• 2^3+6+12+18.(L₃(2) × 3S₆)
• 3⁸.O₈⁻(3).2₃
• (D₁₀ × HN).2   阶数5子群的正规化子。
• (3²:2 × O₈⁺(3)).S₄
• 3²⁺⁵⁺¹⁰.(M₁₁ × 2S₄)
• 3^3+2+6+6:(L₃(3) × SD₁₆)
• 5¹⁺⁶:2J₂:4   阶数5子群的正规化子。
• (7:3 × He):2   阶数7子群的正规化子。
• (A₅ × A₁₂):2
• 5³⁺³.(2 × L₃(5))
• (A₆ × A₆ × A₆).(2 × S₄)
• (A₅ × U₃(8):3₁):2   含一Sylow 19-子群的正规化子((19:9) × A₅):2 。
• 5²⁺²⁺⁴:(S₃ × GL₂(5))
• (L₃(2) × S₄(4):2).2   含一Sylow 17-子群的正规化子 ((17:8) × L₃(2)).2 。
• 7¹⁺⁴:(3 × 2S₇)   阶数7子群的正规化子。
• (5²:4.2² × U₃(5)).S₃
• (L₂(11) × M₁₂):2   包含阶数11子群的正规化子(11:5 × M₁₂):2 。
• (A₇ × (A₅ × A₅):2²):2
• 5⁴:(3 × 2L₂(25)):2₂
• 7²⁺¹⁺²:GL₂(7)
• M₁₁ × A₆.2²
• (S₅ × S₅ × S₅):S₃
• (L₂(11) × L₂(11)):4
• 13²:2L₂(13).4
• (7²:(3 × 2A₄) × L₂(7)):2
• (13:6 × L₃(3)).2   阶数13子群的正规化子。
• 13¹⁺²:(3 × 4S₄)   阶数13子群的正规化子; 一Sylow 13-子群的正规化子。
• L₂(71)   Holmes & Wilson (2008) harvtxt模板错误: 无指向目标: CITEREFHolmesWilson2008 (帮助) 含一Sylow 71-子群的正规化子71:35。
• L₂(59)   Holmes & Wilson (2004) harvtxt模板错误: 无指向目标: CITEREFHolmesWilson2004 (帮助) 含一Sylow 59-子群的正规化子59:29。
• 11²:(5 × 2A₅)   Sylow 11-子群的正规化子。
• L₂(41)   Norton & Wilson (2013) harvtxt模板错误: 无指向目标: CITEREFNortonWilson2013 (帮助) 找到此形式的极大子群; 此是由于Zavarnitsine指出一些先前的没有这样的极大子群存在。
• L₂(29):2   Holmes & Wilson (2002) harvtxt模板错误: 无指向目标: CITEREFHolmesWilson2002 (帮助)
• 7²:SL₂(7)  一些过去7-局部子群的表中此被意外地忽略了。
• L₂(19):2   Holmes & Wilson (2008) harvtxt模板错误: 无指向目标: CITEREFHolmesWilson2008 (帮助)
• 41:40   一Sylow 41-子群的正规化子。

相关条目

• 超级单独素数：魔群阶数的素因数