質量

質量（英語：mass）是物體的內稟屬性（英語：Intrinsic and extrinsic properties）^[1]。在原子和粒子物理學發現之前，傳統上認為它與物體中物質的數量有關。研究發現，不同原子和不同基本粒子，在理論上可具有相同數量的物質，但卻具有不同的質量。現代物理學中的質量有多種定義，這些定義在概念上雖不同，但在物理上是等價的。

此條目介紹的是物理上的質量。關於物品的品質，請見「品質」。

質量
2公斤（4.4磅）的天平砝碼
常見符號	m
國際單位	kg
外延?	是
守恆?	是
因次	${\displaystyle {\mathsf {M}}}$

質量可用實驗方法定義為「物體慣性的測度」；意思是「物體受淨力時，對加速度（速度變化）的抗性」^[2]。物體的質量也決定了它對其他物體的引力強度。

在日常生活中，常用「重量」表示「質量」，但是在科學上，這兩個詞表示物質不同的屬性（參見質量對重量）。

在物理上，質量通常指物質在以下的三個實驗上證明等價的屬性之一：

• 慣性質量

一個物體的慣性質量決定它受力時的加速度（即後者會因前者的改變而改變）。根據牛頓運動第二定律，假設一個質量為${\displaystyle m}$的物體受到一個力${\displaystyle F}$，那其加速度${\displaystyle a}$為：${\displaystyle a={\frac {F}{m}}}$。

• 主動重力質量和被動重力質量。

一個物體的質量也決定了它被重力場影響的程度。假設一個質量為${\displaystyle M_{1}}$的物體距離別的質量為${\displaystyle M_{2}}$的物體的距離為${\displaystyle r}$，第一個物體受到的重力可以通過所示公式計算：${\displaystyle F=G{\frac {M_{1}M_{2}}{r^{2}}}}$，其中，${\displaystyle G}$表示萬有引力常數，其值為6.67×10⁻¹¹ kg⁻¹m³s⁻²。這個質量常稱為重力質量。^{[註釋 1]}

從17世紀以來不斷有實驗證明，慣性質量和重力質量是等價的，這條原理在廣義相對論中稱為等效原理。

狹義相對論證明了物質能量E和其質量m之間的關係（${\displaystyle E=mc^{2}}$）。根據這個關係，一個由許多粒子構成的集合體，其質量可能大於也可能小於這些粒子單獨的質量之和。

在地球表面，一個物體的重量${\displaystyle F_{g}}$與其質量${\displaystyle m}$的關係為${\displaystyle F_{g}=mg}$，其中${\displaystyle g}$是地球重力加速度，${\displaystyle g}$受緯度、海拔、地殼密度分佈（如地下礦藏）等的影響，其值一般取9.81 m s^-2。一個物體的重量與其所處的環境有關，然而它的質量卻不然。例如，一個質量為50kg的物體在地球表面的重量是491N，同樣的物體在月球表面只有81N。

質量的單位

在國際單位制（International system of units, SI） 中，質量的單位是公斤（kilogram, kg）。1公斤 = 1000克（gram, g）。

在國際單位制中，還有一些其他的單位也可以使用：

• 噸（tonne, t）, 1t = 1000kg。
• 電子伏特（electronvolt, eV），電子伏特本來是一個能量單位，但是由於質量與能量的等價，電子伏特也可以作為質量單位。在用作質量單位時，通常寫作eV/c²，也可以簡寫為eV。電子伏特常用在粒子物理學中。
• 原子質量單位（u）, 1原子質量單位定義為碳12原子質量的1/12,大約為1.66×10⁻²⁷kg。^{[註釋 2]}原子質量單位在表達原子和分子質量的時候很方便。

在國際單位制之外，根據上下文，還有很多不同的質量單位在被使用，比如斯勒格 (slug, sl), 磅（pound, lb），普朗克質量（m_p） 和太陽質量（M_☉）。

通常，一個物體的重量與其質量成正比，因此兩者可以使用同樣的單位。然而，在做精確的測量時（由於地球表面不同地方重力場的細微差別），或者在一些遠離地球表面的地方，譬如外太空或其他星球，質量和重量的差別變得很大。

質量有的時候可以用長度來衡量。微小粒子的重量可以用它康普頓波長（1 cm⁻¹ ≈ 3.52×10⁻⁴¹ kg）的倒數來表示。巨大的恆星和黑洞的質量可以用史瓦西半徑（1 cm ≈ 6.73×10²⁴ kg）來表示。

質量測量上定義為M，既然測量有漂移性，未來要消除測量漂移性，將在從事取質量時以普朗克常數取得。

質量概念和公式的總結

在經典力學中，質量對於物體的運動有着決定性的作用。牛頓第二運動定律給出了物體所受的合力F，其質量m和加速度a之間的關係：

${\displaystyle \mathbf {F} =m{\boldsymbol {a}}}$。

此外，質量將物體的動量p、動能K和速度v聯繫起來：

${\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} }$，

${\displaystyle K={\frac {1}{2}}mv^{2}}$。

在經典力學中，作為物質屬性之一的質量是不變的，然而在狹義相對論中，物體的質量隨着其運動速度的增加而增加。物體的質量m與其靜止質量m₀之間的關係為：

${\displaystyle m={\frac {m_{0}}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}}$，

其中v是物體的速度，c是真空中的光速。

物體的能量E與其質量m之間的關係為：

${\displaystyle E=mc^{2}\ }$

由於能量與觀察者所處參考系有關，因此定義一個對於所有觀察者都一樣的質量是很方便的。對於單獨的粒子，這個值就是它的靜止質量；對於一個有界或無界的粒子系統，這是值就是系統的不變質量。一個物體的不變質量m₀和它的能量E以及動量的模長ρ之間關係為：

${\displaystyle m_{0}c^{2}={\sqrt {E^{2}-(\rho c)^{2}}}}$，

其中c是真空中的光速。

與質量有關的現象

上圖展示五個互相關聯的質量的特性以及將這些特性聯繫起來的正比例常數。每一個質量的例子，都被認為包含全部的五個特性，然而，由於巨大的比例係數，通常很難確認兩個或者三個以上的屬性。

• 史瓦西半徑（r_s）表示物質彎曲時空的能力。
• 標準重力參數（μ）表示一個物體對其他物體施加牛頓重力的能力。
• 慣性質量（m）表示質量對力的牛頓響應。
• 靜止質量（E₀）表示質量轉換成其他形式能量的能力。
• 康普頓波長（λ）表示質量對局部時空幾何的量子響應。

在物理學中，人們從至少七個屬性上區分質量的概念，或者說七個可以用質量解釋的物理現象：^[3]

• 對於一些特定種類的樣本，物質的量 可以由電泳或其他精確過程來測定。樣本的精確質量一方面由它所含的原子或分子的數量和種類決定，另一方面由它內部包含的，將這些原子或分子結合在一起的能量決定（這些能量構成負的「丟失質量」，或者叫做質量赤字）。
• 慣性質量 衡量當物體受力時，它對於改變其運動狀態的抵抗程度。慣性質量可以通過給物體施加一個力，測量由此導致的加速度而測定。施以同樣大小的力，慣性質量較小的物體會比慣性質量較大的物體獲得更大的加速度。一個質量較大的物體，則說它有較大的慣性。
• 主動重力質量 是由一個物體的重力通量（重力通量等於重力場在一個封閉表面的面積分）來決定的。測量重力場，可以通過引入一個充分小的「測試物體」（這個物體應當足夠小，不影響被測量物體的重力場），令其做自由落體運動，並測量其加速度。比如，一個在月球附近做自由落體運動的物體，與在地球表面相比，會感受到較小的重力場，因此加速度也較小。月球表面的重力場較弱是因為月球的主動重力質量較小。
• 被動重力質量 通過測量一個物體與重力場的相互作用而測得。被動重力質量由物體在重力場中的重量除以它的加速度而得到。處於相同重力場中的兩個物體，加速度是相同的，然而被動重力質量較小的物體比被動重力質量較大的物體受到的力更小（即它的重量較輕）。
• 根據質能等價的原理，能量也有質量。這個等價關係被大量的物理過程所證實，包括正物質、反物質粒子對的產生，核聚變以及光的重力紅移。在正物質、反物質粒子對的產生和核聚變中，能量和質量互相轉換^{[註釋 3]}。在光的重力紅移中，純能量的光子表現出具有被動重力質量的行為。
• 時空的曲率 物質的存在導致的相對論性效應。時空曲率非常微弱，很難測量。因此，直到愛因斯坦在廣義相對論中預言以後，才被人們發現。精確的原子鐘顯示，地球表面的時間流逝的要比太空中的慢。這種不同是一種被稱為時間膨脹的曲率。其他形式的曲率也由重力探測B衛星（Gravity Probe B）測量過。
• 量子質量 顯示物體的量子頻率和波數（波長的倒數）的不同。電子的量子質量，即康普頓波長，可以通過各種形式的光譜學分析測定，它與芮得柏常數、玻爾半徑以及經典電子半徑密切相關。大物體的量子質量可以直接由瓦特平衡測得。

慣性質量、重力質量以及其他各種各樣的質量相關現象在概念上完全不同。然而，迄今為止所有的實驗表明，這些量之間存在正比關係，這種正比性導致一個抽象的質量概念。如果在將來的某些實驗當中發現，某個質量相關現象與其他之間的關係不是正比，那麼這個現象將不會被認為是抽象質量概念的一部分。

重量和數量

阿努比斯正在稱量胡夫心臟的重量，公元前1285年。

重量，按照定義，度量了為了支持一個重力場中的物體（即使其保持靜止）所需要的力的大小。地球的重力場使得地球表面附近的物體有重量。通常，短距離之內的重力場的變化微乎其微，地球表面各處的重力場也幾乎是一致的；因此，當一個物體從一個地方移動到另一個地方的時候，它的重量的變化非常小，這些微小的變化在歷史的絕大部分時期都沒有為人所覺察。我們可以用弓被拉延伸的長度來測量重量，這些微小的變化在古埃及是可以測量出來的，所以重量是會改變的；在水中由於浮力的影響，物體的重量更是明確的會變小。這給早期的人類一種感覺：物質世界裏，有什麼是物體的一種不變的、基本的屬性我們可以稱之為質量。

在右圖所示的埃及的宗教圖畫裏，阿努比斯正在用天平稱量胡夫心臟的質量。天平平衡一個物體的重力和另一個物體的重力。天平兩端的物體要足夠接近，使得它們的重力場相差不大。因此，如果它們有着相同的重量，那麼它們也就具有相同的質量。兩者的重量之比，也就是他們的質量之比。天平是已知的最古老的測量質量的裝置之一。

數量的概念非常古老，早於有記載的歷史，因此任何關於這個概念早期發展的描述都是不可靠的。然而，一個合理的推測是，人類很可能在早期就意識到，一些由相似物體構成的集合的質量，正比於這個集合中物體的數量：

${\displaystyle w_{n}\propto n}$，

其中，W是由相似物體構成的集合的質量，n是集合中物體的數量。這種比例關係，按照定義，表明兩者之比是一個常數：

${\displaystyle {\frac {w_{n}}{n}}={\frac {w_{m}}{m}}}$，或者等價地${\displaystyle {\frac {w_{n}}{w_{m}}}={\frac {n}{m}}}$。

因此，歷史上，質量的標準往往是按照數量來定義的。例如，羅馬人使用角豆樹種子（克拉或長角果）作為衡量標準。如果一個物體的質量與1728個角豆樹種子相同，那麼就說這個物體的質量是一羅馬磅。如果一個物體的質量與144個角豆樹種子相同，那麼就說這個物體的質量是一羅馬安士。羅馬磅和安士都是用不同數量的集合來定義的，這些集合包含公共的質量標準，即角豆樹種子。一羅馬安士（144個角豆樹種子）和一羅馬磅（1728個角豆樹種子）的比為：

${\displaystyle {\frac {ounce}{pound}}={\frac {w_{144}}{w_{1728}}}={\frac {144}{1728}}={\frac {1}{12}}}$。

約翰·道爾頓所著《化學哲學的新體系》（1808）一書中描繪的各種各樣的原子和分子。

這個例子說明了一個基本的物理原理，當數量之間具有一個簡單的比例關係時，它們就非常有可能具有相同的來源。 我們可以說質量是指精密測量得到的重量，納稅或交易斤斤計較其數量；重量是舉起此質量所需力氣，日常生活表達用語中不會太精確。

原子（atom）這個名字來源於希臘語ἄτομος/átomos, α-τεμνω，意思是不可分的事物。物質是由離散的不可分的單元組成的哲學觀念已經存在了大約一千年。然而，直到20世紀早期，原子存在的實驗證據才被發現，並得到了廣泛的接受。

隨着化學科學的成熟，表明原子存在的實驗證據來源於倍比定律。當兩種或更多的元素結合成化合物的時候，它們的質量之比總是固定不變的。譬如，一氧化氮中氮和氧的質量之比總是7比8。氨氣中氫和氮的質量比總是3比14。化合物中元素質量之比總是簡單的分數這一事實暗示，所有的元素質量有一個共同的來源。原則上，原子質量的情況跟前面舉得羅馬質量單位的例子很相似。羅馬磅和羅馬安士都是由不同數量的角豆樹種子來定義的，因此，這兩個單位之間的比例關係是一個簡單的分數。類似的，因為所有的原子的質量之比都是簡單的分數，因此很有可能原子僅僅是由一些不同數量的，更加基本的質量單位構成的。

1805年，化學家約翰·道爾頓出版了他的第一本相對原子質量表，列舉了六種元素：氫，氧，氮，碳，硫以及磷，並且定義氫原子的質量為1。1815年，化學家威廉·普勞特總結道，氫原子實際上是其他所有原子的基本質量單位。

石墨中的碳原子，圖像來自於掃描隧道顯微鏡。

如果普勞特的假設是正確的，那麼現在所知的抽象的質量概念，就不會出現，因為質量總是可以被定義為氫原子的數量。然而，普勞特的假設在兩個大的方面被證實是不準確的。首先，科學的進一步發展揭示了更小粒子的存在，例如電子和夸克，它們的質量之比不是簡單的分數。其次，人們發現原子本身的質量也不是精確地等於氫原子質量的倍數，而是約等於氫原子質量的倍數。根據愛因斯坦的相對論，質子和中子結合成為原子核時，部分質量會以結合能的形式釋放出來。原子核結合地越緊密，釋放的能量越多。結合能的釋放使得元素質量之比不再是簡單的分數。

比如，氫，只有一個質子，其原子質量為1.007825u。鐵的最豐富的同位素有26個質子和30個中子，所以人們可能會猜想其原子質量是氫的56倍，實際上，它的原子質量只有55.9383u，很明顯，不是1.007825u的整數倍。普勞特的假設在很多方面都被證實是不準確的，但是原子質量和數量的抽象概念在化學中仍然發揮着重要的作用，衡量小質量時，仍然使用原子質量單位。

當法國人在18世紀末發明度量系統的時候，他們使用數量來定義質量單位。公斤最初被定義為一升純水的質量。然而，這個定義遠遠不能滿足現代科技的精度要求，因此公斤被重新定義為一個人造鉑銥合金塊的質量，即人們所知的國際公斤原器。

重力質量

主動重力質量是質量的一個屬性，一個物體在它周圍的空間產生重力場，這些重力場支配着宇宙的大尺度結構。重力場將星系聚在一起。它使得星雲和星際塵埃聚集成恆星和行星。它產生足夠的壓力，使得恆星內部可以進行核聚變。它決定了太陽系各種天體的軌道。由於重力的效應無處不在，因此很難指出人類第一次發現重力質量的確切日期。不過，指出一些在邁向現代重力質量概念過程中關鍵的步驟，以及重力質量和其他質量現象之間的關係，還是可以的。

開普勒重力質量

約翰內斯·開普勒，1610。

行星名	開普勒行星
	半長軸	軌道週期	太陽質量
水星	0.387099AU(天文單位)	0.240 842恆星年（year）	${\displaystyle 4\pi ^{2}{\frac {AU^{3}}{year^{2}}}}$
金星	0.723332AU	0.615 187恆星年
地球	1AU	1恆星年
火星	1.523662AU	1.880 816恆星年
木星	5.203363AU	11.861 776恆星年
土星	9.53707AU	29.456 626恆星年

約翰內斯·開普勒第一個給出了行星軌道的精確描述，並且據此第1次描述了重力質量。1600年，開普勒為第谷·布拉赫工作，並因此得以接觸到1批比以前任何資料都精確的天文觀測資料。通過研究第谷的火星觀測資料，開普勒意識到傳統的天文學方法的預測並不精確，接下來他花了5年時間發展自己的方法，來刻畫行星的運動。

在開普勒最終的行星模型中，他成功地描述了行星的軌道：行星的軌道是一個以太陽為焦點的橢圓。主動重力質量的概念是開普勒第3行星運動定律的直接推論。開普勒發現每個行星的軌道週期的平方與其軌道半長軸的立方成正比，等價地，兩者之比對於太陽系所有的行星來說，都是常數。這個常數的比值直接衡量了太陽的主動重力質量，其單位為距離（R）³/時間（t）²，即人們所知的標準重力參數：

${\displaystyle \mu =4\pi ^{2}{\frac {R^{3}}{t^{2}}}\propto \mathrm {Gravitational\ Mass} }$

衛星名	伽利略衛星
	半長軸	軌道週期	木星質量
艾奧·木衛一	0.002 819AU	0.004 843恆星年	${\displaystyle 0.0038\pi ^{2}{\frac {AU^{3}}{year^{2}}}}$
歐羅巴·木衛二	0.004486AU	0.009722恆星年
蓋尼米得·木衛三	0.007155AU	0.019589恆星年
卡里斯托·木衛四	0.012585AU	0.045694恆星年

1609年，開普勒發表了他的「開普勒行星運動三定律」，解釋了行星在太陽的影響下，是如何按照橢圓軌道運行的。同年8月25日，伽利略·伽利萊第1次向一些威尼斯商人展示了他的望遠鏡。在1610年1月初，伽利略在木星周圍發現了4個暗淡的天體，他將它們誤認為恆星。然而，經過幾天的觀察，伽利略意識到這些「恆星」實際上在繞着木星做軌道運動。這4個衛星（後來為了紀念發現者，被命名為伽利略衛星）是第1批被發現的繞着其他天體，而不是太陽或地球做軌道運動的天體。在接下來的18個月裏，伽利略繼續觀測這些衛星，到1611年中期的時候，他對它們的週期已經有了相當精確的估計。不久，每個衛星的半長軸也被估計出來，這使得木星的重力質量可以由其衛星的軌道計算出來。木星的重力質量大約是太陽重力質量的0.1%。

伽利略重力場

伽利略·伽利萊，1636。

自由落體的小球下落的距離與下落時間的平方成正比。

1638年之前的某個時候，伽利略將他的注意力轉向了物體受地球重力場作用而下落的現象，他積極地嘗試着去描述這類運動。伽利略不是第一個研究地球重力場的人，也不是第一個準確描述其基本特性的人。然而，伽利略的依賴科學的實驗構建物理原理的信念對於此後幾代物理學家都有着深遠的影響。伽利略使用很多科學實驗來描述自由落體運動。現在並不清楚這些實驗僅僅是用來說明概念的理想實驗，還是真的由伽利略做過，^[4]不過這些實驗的結果是真實可信的。在伽利略的學生溫琴佐·維維亞尼所寫的傳記中記載，伽利略曾經在比薩斜塔讓兩個材料相同但質量不同的小球落下，來演示它們的下落時間與其質量無關。^{[註釋 4]}為了支持這個結論，伽利略提出了如下的理論論據：如果將兩個質量不同，下落速度也不同的物體用繩子拴起來，那麼這個聯合的系統是因為它有更加重的質量而下落地更加快了呢，還是因為輕物體拖住了重物體而下落地更加慢？這個問題的唯一可信的答案就是，兩個物體下落地一樣快。^[5]

在1638年出版的《論兩種新科學》裏描述了另一個實驗。伽利略虛構的一個人物，薩爾維亞蒂，描述了一個用銅球和木質斜面所做的實驗。這個木斜面長12腕尺（cubit），寬半腕尺，三指厚，上面有一個光滑無摩擦的直凹槽。凹槽內襯有羊皮紙，絕對光滑無摩擦。凹槽內有一個硬的，光滑的，非常圓的銅球。斜面可以以不同的角度傾斜，來減慢銅球的加速度，使得時間可以測量。令銅球從一個已知的距離處滾下，測量銅球滾落的時間。銅球滾落的時間用下面描述的水鍾測量：

「在高處放置一大容器的水，容器下接一個細管，水從細管流出，每次實驗都在下方用一個小玻璃杯子將水收集起來。實驗結束後，在精確的天平上，稱量收集的水的重量。不同重量的比就代表了不同時間長度的比。這個方法非常精確，即使實驗被一次又一次地重複，結果仍然沒有可覺察的誤差。」^[6]

伽利略發現對於一個自由落體的物體，下落的距離總是跟時間的平方成正比：

${\displaystyle g={\frac {Distance}{Time^{2}}}\propto Gravitational\,Field}$

伽利略於1642年1月8日在意大利佛羅倫薩附近的阿塞蒂里（Arcetri）去世。伽利略證明了在地球重力場的作用下，做自由落體運動的物體的加速度是常數。與伽利略同時代的約翰內斯·開普勒證明了，在太陽重力質量的作用下，天體沿着橢圓軌道運行。然而，在伽利略一生中，伽利略重力場和開普勒重力質量的關係並沒有被理解。

牛頓重力質量

艾薩克·牛頓，1689。

羅拔·虎克在1674年發表了他的重力概念，裏面寫道：「所有的天體，無論它是什麼，都有一種指向其自己中心的吸引力或者重力」，「它們也吸引它們作用範圍內的其他天體」。他進一步說明，重力隨着物體中心之間的距離的減小而增加。^[7]在羅拔·虎克和艾薩克·牛頓1679~1680的信件當中，虎克猜想重力的大小按照兩物體之間距離的平方而衰減。^[8]

地球的衛星		地球的質量
半長軸	軌道週期
0.002 569 天文單位（AU）	0.074 802 恆星年（year）	${\displaystyle 0.000012\pi ^{2}{\frac {AU^{3}}{year^{2}}}}$ = ${\displaystyle 398600{\frac {km^{3}}{sec^{2}}}}$
地球重力	地球半徑
0.00980665 km / sec2	6 375 km

虎克力勸微積分發展的先驅牛頓，完成開普勒軌道的數學細節，來證明虎克的猜想是正確的。牛頓本人的研究證實虎克是對的，但是由於兩人個性的不同，牛頓選擇不把這個結果透露給虎克。艾薩克·牛頓一直沒有聲張他的發現，直到1684年，才告訴他的一個朋友，愛德蒙·哈雷，說他已經解決了重力軌道的問題，但是卻錯誤地讓他的發現沉睡在辦公室里。^[9]在哈雷的鼓勵下，牛頓決定繼續發展他關於重力的想法，並發表了他所有的發現。1684年11月，艾薩克·牛頓給愛德蒙·哈雷發了一份文件，這份文件現已丟失，但是它的標題推測為「De motu corporum in gyrum」（論物體的軌道運動）。^[10]哈雷將牛頓的發現呈送給倫敦皇家學會，並承諾隨後即有全面的說明。牛頓後來將他的想法寫到了一本三卷的書集當中，標題為Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica（自然哲學的數學原理）。第一卷於1686年4月28日被皇家學會接受，第二卷是1687年3月2日，第三卷是1687年4月6日。皇家學會在1687年5月由牛頓自費出版了這本書的全集。^[11]

艾薩克·牛頓架起了開普勒重力質量和伽利略重力加速度之間的橋樑，並且證明了如下的關係式：

${\displaystyle g={\frac {\mu }{r^{2}}},}$

其中，g是一個物體穿越一處存在重力場的空間時表現出的加速度，μ是引起重力場的物體的重力質量（標準重力參數），r是極坐標（兩個物體中心之間的距離）。

通過尋找物體重力質量和重力場之間的精確關係，牛頓證明測量重力質量的第二種方法。地球的質量可以用開普勒的方法測定（通過月球的軌道），或者也可以通過測量地球表面的重力加速度，然後將這個數值乘以地球半徑的平方來測定。地球的質量大約為太陽質量的百萬分之三。直到現在，還沒有發現其他測量重力質量的精確手段。^[12]

牛頓的炮彈

牛頓的炮彈是一個理想實驗，在伽利略重力加速度和開普勒橢圓軌道之間架起了一座橋樑。這個實驗出自牛頓1728年的書《世界體系的論述》之中。根據伽利略的重力概念，下落的石塊以不變的加速度落向地面。然而，牛頓解釋道，當一個石塊被水平拋出時（垂直於地球重力），它的運動軌跡是曲線。「一個擲出的石塊，由於自身的重量而偏離了當只考慮投擲時，石塊本應遵循的直線運動，在空中描繪出了一條曲線；沿着這兩條彎曲的路線，石塊最終落回了地面。它被擲出時的速度越大，當它落回地面時它運動的距離就越遠。」^[13]

牛頓進一步推理道，如果一個物體以足夠的速度「在一座高山的山頂水平擲出」，「它最終將離地球非常之遠，然後回到它被擲出的山峰。」牛頓的理想實驗如右圖所示。位於非常高山頂上的一台大炮，水平方向發射出一枚炮彈。如果它的速度很低，那麼它僅僅落回地面（路徑A和路徑B）。然而，如果它的速度大於或等於某個閾值（環繞速度），但是又沒有大到足以完全離開地球（逃逸速度），那麼它將圍繞着地球不停地做橢圓軌道運動（路徑C和路徑D）。

萬有引力質量和數量

牛頓的炮彈說明了地球重力質量和重力場的關係；然而還是有很多模稜兩可之處。羅拔·虎克在1674年斷言：「所有的天體，無論它是什麼，都有一種指向其自己中心的吸引力或者重力」，但是虎克既沒有解釋為什麼只有天體才有重力的吸引，也沒有解釋為什麼重力指向天體的中心。

為了回答這個問題，牛頓引入了一個全新的概念即重力質量是「一般的（萬有的）」：任何物體都有重力質量，因此，任何物體都產生重力場。牛頓進一步假設每個物體重力場的強度都隨着離該物體距離的平方而衰減。按照這個假設，牛頓計算了非常多小物體構成一個大的球體時整體的重力場。牛頓發現一個巨大的球體（像地球或太陽，給定半徑處具有大致相同的密度），其重力場正比於物體的總質量，^[14]反比於離物體中心距離的平方。^[15]

一個蘋果感受到指向地球各處的重力場；然而，這些場加起來產生了一個單獨的強大的指向地球中心的重力場。

牛頓的萬有引力質量概念如左圖所示。地球的每個部分都有重力質量，都產生一個指向它的重力場。然而，這些重力場的總效應等價於一個單獨的強大的指向地球中心的重力場。蘋果表現出的行為就好像一個單獨的強大的重力場把它向地球中心加速。

牛頓的萬有引力質量概念使得重力質量和傳統的重量、質量概念有着相同的立足點。例如，古羅馬人使用角豆樹種子作為重量標準。羅馬人將一個未知重量的物體放到天平的一側，然後在天平另一側放角豆樹種子，增加種子的數量，直到天平平衡。如果一個物體的重量與1728個角豆樹種子相等，這個物體的重量就是1羅馬磅。

根據牛頓的萬有引力理論，每個角豆樹種子都產生重力場，因此，如果一個人有極多的角豆樹種子，讓它們形成一個巨大的球體，那麼這個球體的重力場就正比於角豆樹種子的數量。因此，理論上有可能精確地計算出要產生同地球或太陽相同的重力場所需的角豆樹種子的數量。因為羅馬重量單位都是用角豆樹種子定義的，因此知道了地球或太陽的「角豆樹種子質量」，就可以用羅馬磅，羅馬安士或其他羅馬單位來計算質量。

卡文迪許扭秤裝置的垂直剖面圖，包括它所在的建築。大球懸掛在一個架子上，它們可以通過外面的滑輪旋轉到小球旁邊的位置。卡文迪許論文的第一頁。

這種可能性還可以擴展到羅馬單位和角豆樹種子之外。英國磅，譬如，最初定義為7000顆大麥粒的重量。因此，如果一個人能確定地球的「大麥粒質量」（產生與地球相同重力場所需的大麥粒的數量），那麼他就可以用英國磅計算出地球的質量。同樣的，公斤的原始定義為等價於一升純水的質量，因此，地球按照傳統公斤計算的質量，在理論上就可以通過計算產生與地球相同的重力場需要多少升純水（或者國際公斤原器）來確定。事實上，這不過是一個簡單的抽象，任何傳統的質量單位理論上都可以用來衡量重力質量。

用傳統的質量單位度量重力質量原理上很簡單，但事實上卻非常困難。根據牛頓的理論，所有的物體都產生重力場，理論上可以把極其多的小物體聚集起來形成一個巨大的重力球。然而，從現實的觀點來看，小物體的重力場極其微弱很難測量。如果一個人能夠收集極其多的物體，那麼最終的球體可能會太大以至於不能在地球表面建造，而在太空中建造又太昂貴。牛頓的萬有引力的書籍發表於17世紀80年代，但是第一個用傳統質量單位成功地測量了地球質量的實驗，卡文迪許實驗，一百多年以後，直到1797年才出現。卡文迪許發現地球的密度為水的5.448 ± 0.033倍。截止到2009年，用公斤衡量的地球質量只精確到五位小數點，然而它的重力質量的精度超過九位小數。

慣性質量和重力質量

雖然慣性質量，被動重力質量和主動重力質量在概念上並不一樣，然而沒有任何實驗明確地顯示他們之間有任何的不同。在經典力學當中，牛頓第三運動定律意味着同一物體的主動重力質量和被動重力質量必須總是相同（或至少成正比），但經典理論當中沒有任何令人信服的原因表明重力質量必須與慣性質量相等。他們的相等僅僅是個經驗性的事實。

阿爾伯特·愛因斯坦基於這樣一個假設發展了他的廣義相對論：慣性質量和（被動）重力質量之間的關係並非巧合，沒有任何實驗可以區分出這兩者（弱等效原理）。然而，在這樣的理論當中，重力不再是一個力，因此也不遵守牛頓第三運動定律，所以「慣性質量和主動重力質量相等，仍然是個謎」。^[16]

慣性質量

慣性質量用物體對加速度的抵抗程度衡量的質量。

為了理解什麼是物體的慣性質量，可以先從經典力學和牛頓運動定律開始。然後再來看，當把狹義相對論考慮進來時，經典的質量定義應當如何修改，使其比經典力學更加精確。然而，狹義相對論並沒有從本質上改變「質量」的含義。

根據牛頓第二運動定律，假設一個物體的質量是m，如果在任何瞬間，其遵循如下的運動方程式：

${\displaystyle F=ma,}$

其中F是施加在物體上的力，a是物體的加速度。^{[註釋 5]}現在，先把什麼是「施加在物體上的力」這個問題的確切答案放到一邊。

這個方程式說明了質量是如何和慣性聯繫在一起的。考慮兩個質量不同的物體。如果對其施加相同的力，質量較大的物體的加速度較小，而質量較小的物體的加速度較大，就可以說質量較大的物體在響應力的作用時，對於改變其運動狀態表現出較強的「抵抗性」。

然而，施加「相同的」力的說法迫使定義回到事實中來：目前還沒有真正定義過什麼是力，但是可以用牛頓第三運動定律來迴避這個困難。牛頓第三定理說，如果一個物體給另一個物體施加一個力，那麼第一個物體就會受到一個大小相同方向相反的力。更精確一點，如果有兩個物體A和B，它們有着不變的慣性質量m_A和m_B。並且把這兩個物體從其他所有的物理影響當中隔離出來，因此僅有的力就是B施加給A的力，記為F_AB，和A施加給B的力，記為F_BA。牛頓第二運動定律說：

${\displaystyle F_{AB}=m_{A}a_{A},}$

${\displaystyle F_{BA}=m_{B}a_{B},}$

其中a_A和a_B分別是A和B的加速度。假設這兩個加速度不為零，那麼兩者之間的力就不為零。這種情況發生在，譬如說，兩個物體相互碰撞的過程中。根據牛頓第三運動定律：

${\displaystyle F_{AB}=-F_{BA},}$

因此，

${\displaystyle m_{A}=-{\frac {a_{B}}{a_{A}}}m_{B}.}$

注意這裏要求a_A不為零保證了這個分數是定義良好的。

這就是原則上如何測量物體的慣性質量的方法。選擇一個「參考」物體，定義它的質量為（譬如說）1公斤，就可以通過測量與參考物體碰撞的加速度來測量宇宙中的一切物體的質量。

牛頓重力質量

牛頓重力質量的概念定義在牛頓重力定律之上。假設有兩個物體A和B，距離為r_AB。重力定律說如果A和B分別具有重力質量M_A和M_B，那麼每個物體都感受到對方所施加的重力，其大小為：

${\displaystyle F=G{\frac {M_{A}M_{B}}{(r_{AB})^{2}}},}$

其中G是萬有引力常數。上面的方程式可以重新表達如下：如果g是參考物體在重力場中給定位置處的加速度，那麼一個重力質量為M的物體受到的重力為：

${\displaystyle F=Mg.}$

這是質量可以用重量表達的基礎。在彈簧秤上，譬如說，力F正比於稱重盤下面彈簧的形變，根據虎克定律，校正稱，將重力加速度g考慮進來，使得物體的質量M可以直接讀出。天平測量物體的重力質量，只有彈簧秤測量物體的重量。

慣性質量和重力質量的等價

慣性質量和重力質量的等價有時又被稱為伽利略等價原理或弱等價原理。這個原理最重要的推論應用到自由下落的物體上面。假設有一個物體，其慣性質量和重力質量分別為m和M。如果這個物體唯一受到的力僅僅來自於一個重力場g，將牛頓第二運動定律和重力定律一起使用，可得到加速度為：

${\displaystyle a={\frac {M}{m}}g.}$

這個式子表明重力質量與慣性質量之比是個常數K，若且唯若所有的物體在給定的重力場中下落得一樣快。這個現象被稱為「自由落體的普遍性」。（此外，通過定義合適的單位，可以令這個常數為1。）

第一個說明了自由落體的普遍性的實驗由伽利略所做。最常見的說法是伽利略通過在比薩斜塔上丟下物體來得到他的結果，但是這種說法很可能是假的。實際上，他的實驗是通過讓小球在斜面上滾動而完成的。一個又一個精度越來越高的實驗被完成，譬如羅蘭德·馮·埃特在1889年利用扭秤擺所做的。^[17]截止到2008年，還沒有發現自由落體的普遍性的——因此也就是伽利略等價原理的任何偏離，實驗的精度至少是10^-12。更加精確的實驗仍然在進行之中。

自由落體的普遍性只能應用在重力是唯一的作用力的系統裏。其他所有力，尤其是摩擦力和空氣阻力，必須被排除或者至少是可以忽略的。譬如，在空氣中從同樣高度放下一個錘子和一片羽毛，羽毛將花更多的時間才能落到地上；羽毛實際上並不是做自由落體運動，因為向上的空氣阻力與向下的重力是可以相抵的。另一方面，如果實驗在真空中進行，那裏沒有空氣阻力，錘子和羽毛就應該精確地同時落地（假設兩物體之間的加速度以及地面朝向物體的加速度可以忽略）。這個實驗在高中的實驗室里就可以很容易地做出來，通過在一個用真空泵抽出了空氣的透明管里下落物體。在天然就是真空的環境裏做這個實驗就更加具有戲劇性了，比如大衛·斯科特在阿波羅15號執行任務期間在月球表面做的實驗。

等價原理的一個強版本，即愛因斯坦等價原理或強等價原理，在廣義相對論里處於中心地位。愛因斯坦等價原理說在足夠小的時空區域裏，沒有辦法區分均勻的加速度和均勻的重力場。因此，廣義相對論假設重力場作用在質體上的力是物體沿直線運動的趨勢（換句話說就是它的慣性）的結果，因此重力應該是物體慣性質量和重力場強度的函數。

狹義相對論里的質量和能量

術語質量在狹義相對論里常常指物體的靜止質量，即一個與物體相對靜止的觀察者所測量的牛頓質量。對於單個粒子，不變質量是靜止質量的另一個名字。然而，廣義的不變質量（由一個更加複雜的公式所計算）也可以應用在相對運動的粒子系統上，因此不變質量通常只用在包含分離的高能粒子的系統上。一個系統的不變質量對於所有的觀察者和慣性系都相同，只要系統是封閉的，就不能被消滅，因此是守恆的。在這裏，「封閉」的意思是系統有一個理想的邊界，任何質量/能量都不允許穿過這個邊界。

就像在相對論中一個封閉系統的能量是守恆的，它的質量也是守恆的：這意味着質量不隨時間變化，即使不同重量的粒子之間相互轉換。對於任何觀察者，任何系統的質量都分別守恆，不隨時間變化，正如能量也分別守恆，不隨時間變化一樣。一個流行的錯誤觀點是，在相對論里質量可以轉換成為（無質量的）能量，因為某些物質體子有時可以轉化為非物質的能量（譬如光、動能以及電磁場或其他場中的位能）。然而，這混淆了物質（一個不守恆的，定義不清楚的概念）和質量（定義良好的，守恆的概念）。即使不被視為「物質」，在相對論里所有類型的能量仍然顯示出質量。因此，質量和能量並不是互相轉換，實際上，它們是同一個事物的兩個不同的名字，質量和能量都不能脫離對方單獨出現。相對論里，「物質」粒子在反應當中可能不守恆，但是封閉系統的質量總是守恆的。

舉一個例子，一顆核彈在一個理想的超級堅硬的盒子裏，這個盒子放在一個稱上面，理論上，爆炸以後質量不會有任何變化（雖然盒子內部變得更熱）。這樣的一個系統，只有允許能量，譬如光或熱從盒子裏逃逸出來，盒子的質量才會改變。然而，這樣的話，逃走的能量也帶走了它對應的質量。讓熱量離開這個系統實際上就是讓質量離開這個系統。因此，質量，像能量一樣，不能被消滅，只能從一個地方轉移到另一個地方。^[18]

在束縛系統裏，結合能必須（經常）從非束縛系統的質量里減掉，因為這部分能量也具有質量，當能量被釋放時，這部分質量必須被從系統裏扣除，這時系統就是束縛的了。在這個過程中質量是守恆的，因為在結合過程中系統不是封閉的。一個類似的例子是原子核的結合能，當原子核形成時能量以其他形式出現（譬如伽瑪射線），（經過能量的釋放）生成的原子核的質量小於自由粒子質量之和。

術語相對論性質量也在使用，代表物體或系統的總能量（除以c²）。（一個物體或系統的）相對論性質量包括了物體動能的貢獻，物體運動得越快，質量越大。因此不像不變質量，相對論性質量與觀察者的參考系有關。然而，對於一個給定的參考系和封閉的系統，相對論性質量也是守恆量。

因為相對論性質量與能量成正比，它漸漸的被物理學家拋棄不用。^[19]關於這個概念在教學上是否還有用，存在着爭議^[20][21][22]。

關於廣義相對論里質量的討論，請參考廣義相對論。

參見

• 希格斯機制
• 慣質：在機械網絡中類似質量的設備。

註釋

1. 如果需要區別，則用${\displaystyle M}$表示主動重力質量，${\displaystyle m}$表示被動重力質量
2. 因為阿佛加德羅常數N_A被定義為在12克碳12所包含的原子數目，由此得出1 u是1/（10³ N_A） kg.
3. 這只是通俗的說法，事實上質量和能量並不能互相轉換。在相對論範疇內，兩者是同一個物理量的不同形式。
4. 在維維亞尼肯定比薩塔實驗發生的那個時刻，伽利略還沒有得到他的自由落體定律的最終公式。但是他已經得出一個較早版本的公式，預測「物質構成相同」的物體，不論大小，在相同媒質中下落的速度是一樣的。參見：Drake, S. Galileo At Work. University of Chicago Press. 1978: 19–20. ISBN 0-226-16226-5.
5. 在牛頓第二運動定律的原始形式里，該定律僅對具有相同質量的物體適用。

參考文獻

引用

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來源

書籍

• Sir Isaac Newton; N. W. Chittenden. Newton's Principia: The mathematical principles of natural philosophy. D. Adee. 1848 [12 March 2011]. （原始內容存檔於2017-02-07）.

外部連結

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• （英文） Okun, L. B., "Photons, Clocks, Gravity and the Concept of Mass （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）". Slides for a talk.
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