守恆量

在經典力學裏，對於一個動力系統，隨着時間的演進，所有保持不變的物理量都稱為守恆量（conserved quantity），又稱為運動常數。^[1]由於很多物理定律會表達某種守恆行為，對應的守恆量時常會出現於真實系統。例如，假設在某系統內涉及的作用力是保守力，則此系統的能量是守恆量。假設涉及的作用力是連心力，則此系統的角動量是守恆量。

動量

根據動量守恆定律，假若一個粒子所感受到的外力，其總向量和為零，則這粒子的動量保持不變，是一個守恆量。在這狀況下，粒子會呈勻速運動或著靜止不變。^[2]以方程式表達，假設粒子感受到的淨外力為零：

${\displaystyle \mathbf {F} =0}$ 。

根據牛頓第二定律，淨外力與動量 ${\displaystyle \mathbf {p} }$ 的關係式為

${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}}$ 。

所以，動量是一個常數，是一個守恆量。

角動量

根據角動量守恆定律，假若一個粒子所感受到的外力矩，其其總向量和為零，則這粒子的角動量保持不變，是一個守恆量。在這狀況下，粒子會呈勻角運動或直線運動。^[2]以方程式表達，假設粒子感受到的淨外力矩 ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$ 為零：

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=0}$ 。

淨外力矩與角動量 ${\displaystyle {\boldsymbol {\ell }}}$ 的關係式為

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}}{\mathrm {d} t}}}$ 。

所以，角動量是一個常數，是一個守恆量。

能量

在經典力學裏，粒子的能量定義為動能與位能的代數和。根據能量守恆定律，假若一個粒子所感受到的外力都是保守力，則這粒子的能量保持不變，是一個守恆量。^[2]以方程式表達，能量 ${\displaystyle E}$ 為動能 ${\displaystyle T}$ 與位能 ${\displaystyle V}$ 的代數和

${\displaystyle E=T+V}$ 。

粒子的動能與運動速度 ${\displaystyle \mathbf {v} }$ 的關係為

${\displaystyle T=mv^{2}/2}$ ；

其中，${\displaystyle m}$ 是粒子的質量。

而對於保守系統，位能與淨保守力 ${\displaystyle \mathbf {F} }$ 的關係為

${\displaystyle \mathbf {F} =-\nabla V}$ ；

能量對於時間的導數為

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} E}{\mathrm {d} t}}=m\mathbf {v} \cdot {\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla V=\mathbf {v} \cdot (m\mathbf {a} -\mathbf {F} )=0}$ 。

所以，能量是一個常數，是一個守恆量。

能量函數

思考一個物理系統，其拉格朗日量是動能 ${\displaystyle T}$ 與位能 ${\displaystyle V}$ 的差值：

${\displaystyle {\mathcal {L}}=T-V}$ 。

通常，動能的參數為廣義速度 ${\displaystyle {\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},{\dot {q}}_{3},\dots ,{\dot {q}}_{N}}$ （符號上方的點號表示對於時間 ${\displaystyle t}$ 的全導數），而位能的參數為廣義坐標 ${\displaystyle q_{1},q_{2},q_{3},\dots ,q_{N};t}$ ，所以，拉格朗日量的參數為 ${\displaystyle q_{1},q_{2},q_{3},\dots ,q_{N};{\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},{\dot {q}}_{3},\dots ,{\dot {q}}_{N};t}$ 。

這物理系統的運動軌道，以拉格朗日方程式表示為

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q_{i}}}=0}$；

其中，${\displaystyle t}$ 是時間。

拉格朗日量對於時間的全導數為

${\displaystyle {\frac {d{\mathcal {L}}}{dt}}=\sum _{i}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}+\sum _{i}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\ddot {q}}_{i}+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}}$ 。

將拉格朗日方程式代入，可以得到

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d{\mathcal {L}}}{dt}}&=\sum _{i}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right){\dot {q}}_{i}+\sum _{i}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\ddot {q}}_{i}+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\\&=\sum _{i}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\\\end{aligned}}}$。

定義「能量函數」 ${\displaystyle {\mathit {h}}(q_{1},q_{2},q_{3},\dots ;{\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},{\dot {q}}_{3},\dots ;t)}$ 為

${\displaystyle {\mathit {h}}\ {\stackrel {def}{=}}\ \sum _{i}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}-{\mathcal {L}}}$ ，

則能量函數與拉格朗日量的關係為

${\displaystyle {\frac {d{\mathit {h}}}{dt}}=-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}}$ 。

假若拉格朗日量顯性地與時間無關，${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}=0}$ ，${\displaystyle {\mathcal {L}}={\mathcal {L}}(q_{1},q_{2},q_{3},\dots ,q_{N};{\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},{\dot {q}}_{3},\dots ,{\dot {q}}_{N})}$ ，則能量函數是一個常數，是一個守恆量。設定 ${\displaystyle {\mathit {h}}=E}$ ，這常數 ${\displaystyle E}$ 可以稱為這物理系統的能量。因此，這物理系統的能量守恆。

參閱

• 李亞普諾夫函數
• 哈密頓系統
• 守恆定律

參考文獻

1. Morin, David. Introduction to classical mechanics: with problems and solutions. Cambridge University Press. 2008: 138. ISBN 9780521876223.
2. Goldstein, Herbert, Classical Mechanics 3rd, United States of America: Addison Wesley: pp. 2–5, 61, 312–324, 1980, ISBN 0201657023 （英語） 引文格式1維護：冗餘文本 (link)