運動常數

在經典力學裏，對於一個動力系統，隨着時間的演進，所有保持不變的物理量都稱為運動常數（constant of motion），又稱為守恆量。^[1]它的作用有點類似運動的約束。可是，運動常數是數學的約束，自然地從運動方程式中顯現出來，而不是物理的約束；物理的約束會有相應的約束力來維持這約束。常見的運動常數例子有能量、動量、角動量、拉普拉斯-龍格-楞次向量。

應用

運動常數的辨認對於研究物理問題是非常重要的。通過解析運動常數，可以明瞭許多物體運動的性質，而不需將運動方程式的解答完全計算出來。假若一個物體的角動量向量是恆定的，則此物體的軌跡（Trajectory）必包含於一個平面。在有些幸運的狀況下，甚至連運動軌跡都可以簡單地導引出來；因為它們是運動常數的等值曲面之相交線。舉例而言，從潘索橢圓球（Poinsot's ellipsoid）可以觀察出，一個淨力矩等於零的剛體的旋轉，其角速度軌跡是一個圓球（角動量守恆）與一個橢圓球（能量守恆）的相交。用別種方法，這答案或許很不容易導引出。因此，運動常數的辨認是很重要的研究目標。

辨認運動常數的方法

辨認運動常數的方法有好幾種：

• 最簡單，但最無系統的方法是靠直覺。假設一個物理量是運動常數（或許是從分析實驗數據而得到的結論）。經過數學證明，可以論定，在物體的運動過程中，此量的值是保守的。

• 哈密頓-亞可比方程式給予一個常用與直接的方法來認明運動常數，特別是當採用正交坐標的哈密頓量，呈現出可辨認的函數形式。

• 另外一種方法應用下述事實：每一個守恆量的量值都相應於一個拉格朗日量的對稱性。諾特定理給予一個有系統的方法，從對稱性導引出守恆量。例如，拉格朗日量對於時間演化（英語：time evolution）的不變性，造成了能量守恆；拉格朗日量對於空間平移的不變性（平移對稱性），造成了動量守恆；拉格朗日量對於空間轉動的不變性，造成了角動量守恆。反過來說也是正確的；每一個拉格朗日量的對稱性相應於一個運動常數

• 假若一個物理量${\displaystyle A}$，既不是顯性地含時間，又與哈密頓量的帕松括號等於零，則此物理量是保守的：

${\displaystyle {\frac {dA}{dt}}={\frac {\partial A}{\partial t}}+[A,\ H]}$。

另外一個很有用的理論，帕松定理闡明：假若${\displaystyle A}$與${\displaystyle B}$都是運動常數，則它們的帕松括號${\displaystyle [A,\ B]}$也是運動常數。

一個物理系統，假若擁有${\displaystyle n}$個自由度，${\displaystyle n}$個運動常數，其任何一對運動常數的帕松括號等於零，則稱此系統為完全可積分系統（completely integrable system）。稱這一集合的運動常數互相對合。

量子力學

假若，一個可觀測量${\displaystyle Q}$與哈密頓量${\displaystyle H}$是可交換的，而且不顯性地含時間，則此可觀測量是個運動常數。

導引

假設，一個可觀測量${\displaystyle Q=Q(x,p,t)}$跟位置${\displaystyle x}$、動量${\displaystyle p}$、時間${\displaystyle t}$有關。再假設一個波函數${\displaystyle \psi }$遵守薛定諤方程式${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=H\psi }$。求${\displaystyle Q}$期望值對於時間${\displaystyle t}$的導數，

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle Q\rangle }$	${\displaystyle ={\frac {d}{dt}}\langle \psi |Q|\psi \rangle }$
	${\displaystyle =\left\langle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}|Q|\psi \right\rangle +\left\langle \psi |{\frac {\partial Q}{\partial t}}|\psi \right\rangle +\left\langle \psi |Q|{\frac {\partial \psi }{\partial t}}\right\rangle }$
	${\displaystyle ={\frac {-1}{i\hbar }}\langle H\psi |Q|\psi \rangle +\left\langle \psi |{\frac {\partial Q}{\partial t}}|\psi \right\rangle +{\frac {1}{i\hbar }}\langle \psi |Q|H\psi \rangle }$
	${\displaystyle ={\frac {-1}{i\hbar }}\langle \psi |HQ|\psi \rangle +\left\langle \psi |{\frac {\partial Q}{\partial t}}|\psi \right\rangle +{\frac {1}{i\hbar }}\langle \psi |QH|\psi \rangle }$
	${\displaystyle ={\frac {-1}{i\hbar }}\langle \psi |\left[H,Q\right]|\psi \rangle +\left\langle \psi |{\frac {\partial Q}{\partial t}}|\psi \right\rangle }$；

其中，${\displaystyle [H,Q]=HQ-QH}$是交換子。

假若，${\displaystyle Q}$與哈密頓量${\displaystyle H}$是可交換的，而且不顯性地含時間，則

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle Q\rangle =0}$。

所以，${\displaystyle Q}$是運動常數。

參閱

• 守恆定律
• 正則變換
• 哈密頓力學
• 拉格朗日力學

參考文獻

1. Morin, David. Introduction to classical mechanics: with problems and solutions. Cambridge University Press. 2008: 138. ISBN 9780521876223.

• Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004. ISBN 0-13-805326-X.