約束 (經典力學)

此條目頁的主題是力學系統中的約束條件。關於最佳化問題中的約束條件，請見「約束 (數學)」。

在經典力學裏，物體的運動必須遵守牛頓運動定律。除此以外，每一個物理系統時常會有一些約束，物體的運動也必須遵守這些約束。例如，簡單擺系統的約束是擺繩的長度是常數，擺錘與支撐點的距離必須是這長度。除非水瓶破了，一個封閉的水瓶裏的水分子，絕對不能運動到水瓶的外面。這些約束使物理系統的特性呈現出來。要分析一個物理系統，必須了解這系統裏的約束。

因為約束的作用，在分析物體的運動上，會遇到一些新的困難：

• 許多描述物體運動的位置不再互相獨立。如果這約束是完整約束，可以用廣義坐標來除去一些相關的位置。如果整個系統是完整系統，可以用獨立的廣義坐標來表示這個系統的運動。通常，可以找到相關的形式論來分析這個系統的運動。
• 假若一個物體的運動因為約束而改變，則必定有一個關於這約束的力作用於這物體上；不然，這物體的運動不會改變。稱此力為約束力。一般而言，事先並不知道約束力的值量。如果能將一個系統所有的廣義坐標都轉換成互不相關的廣義坐標，那麼，不需要知道約束力，就可以求得物體的運動方程式了^[1]。

類型

• 約束可以分類為完整約束及非完整約束。完整約束可用方程式表示為：

${\displaystyle f(\mathbf {r} _{1},\ \mathbf {r} _{2},\ \mathbf {r} _{3},\ \dots ,\ \mathbf {r} _{N},\ t)=0}$

即任意時刻粒子位置符合對應時刻的確定幾 何關係。

其中${\displaystyle f\,\!}$為每一粒子${\displaystyle P_{i}}$ 之位置${\displaystyle \mathbf {r} _{i}\,\!}$和時間 ${\displaystyle t\,\!}$ 之函數。

若一約束不能夠通過積分或其他變換表示為上述形式，則稱此約束為非完整約束。

• 約束又可分為定常約束（也稱為「穩定約束」）、非定常約束兩種類型：定常約束的方程式顯性不含時間^[2]；若約束方程式顯性含時間，則稱此約束為非定常約束。

• 在分析力學中，還有理想約束和非理想約束的概念。理想約束指物體在這些約束力的作用下虛功為零。這時可以較方便地利用虛功原理對平衡體系進行力學分析。

參閱

• 拉格朗日力學
• 哈密頓力學
• 達朗貝爾原理
• 普法夫約束

註釋與參考文獻

1. Goldstein, Herbert. Classical Mechanics 3rd. United States of America: Addison Wesley. 1980: pp. 46–48. ISBN 0201657023 （英語）. 引文格式1維護：冗餘文本 (link)
2. 即約束方程里不直接出現${\displaystyle t}$時間變量。