無限面體

無限面體（英語：Apeirohedron），是多面體的一種，意指有無限個面、無限條邊和無限個頂點的多面體。一般是指所有的平面密鋪的集合。

正無限面體

正方形鑲嵌，是無限面體的一個例子
類別	多面體 平面鑲嵌
對偶多面體	仍為無限面體 但可能有不同幾何結構
數學表示法
考克斯特符號 （英語：Coxeter-Dynkin diagram）	三種正無限面體 （三角形鑲嵌） （正方形鑲嵌） （六邊形鑲嵌）
施萊夫利符號	{p,q} 其中(p-2)(q-2) = 4
性質
面	∞
邊	∞
頂點	∞
歐拉特徵數	F=∞, E=∞, V=∞ (χ=2)
二面角	180°
對稱性
對稱群	依其幾何結構而定
特性
非嚴格凸、 球內接多面體、 等邊多面體、 等角多面體、 平面
閱 論 編

在歐幾里得幾何中，無限面體是一個退化多面體，其面數是可數集的數量，其邊數與頂點數將符合V-E+F= 2，但只能利用求極限得出。無限面體跟多面體一樣，有面、邊、頂點、和角，角也包含有二面角，只是他們全部共面。無限面體並不是球，因為在多面體的定義中，面不能為曲面、邊不能為曲線。

無限面體為無限邊形在三維空間的類比，與平面鑲嵌是等價的。無限面體可以密鋪空間，如同無限邊形密鋪平面，兩個無限面體面體即可堆砌填滿整個空間，這種幾何結構稱為二階無限面體堆砌。

一般對兩種主要無限面體類型有研究：

• 平面密鋪或鑲嵌
• 扭歪無限面體。

正無限面體

主條目：正鑲嵌圖

正無限面體是正多面體的一種，是指每個面都全等、每條邊都等長、每個角都等角的無限面體，就如同一般的正多面體。其二面角為180度，為一平角。

滿足這些條件的幾何圖形只有平面鑲嵌，在施萊夫利符號中用{p,q}表示，其中p、q滿足等式(p-2)(q-2) = 4。

圖像	三角形鑲嵌	正方形鑲嵌	六邊形鑲嵌
施萊夫利符號	{3,6}	{4,4}	{6,3}

正無限面體可以有外接球和內切球，但他們的半徑必須是無限大。

無限胞體

主條目：無限胞體

無限胞體（英語：Apeirotope）意指有無限個面、無限個胞、無限條邊和無限個頂點的多胞體。

其性質皆與無限面體相似，由空間密鋪即空間堆砌組成。四維空間的正無限胞體只有一種，即立方體堆砌^[1]。

維度	三維 退化四維	四維 退化五維
圖像	立方體堆砌	超立方體堆砌	十六胞體堆砌
施萊夫利符號	{4,3,4}	{4,3,3,4}	{3,3,4,3}

扭歪無限面體

一個扭歪無限面體的例子

主條目：扭歪無限面體

扭歪無限面體也是一種無限面體，其與一般無限面體差異在於扭歪無限面體並非所有頂點都共面，可以視為無限邊形與扭歪無限邊形之差異在三維空間的類比。

所有面都全等、角也相等的扭歪無限面體為正扭歪無限面體。三維空間的正扭歪無限面體有三種：

圖像	四角六片四角孔扭歪無限面體	六角四片四角孔扭歪無限面體	六角六片三角孔扭歪無限面體
施萊夫利符號	{4,6|4}	{6,4|4}	{6,6|3}

雙曲空間

此外，由於雙曲鑲嵌也是由無限多個雙曲平面構成的圖形，因此雙曲鑲嵌也可以做為一種無限面體^[2]。

圖像	七階三角形鑲嵌	五階正方形鑲嵌	四階五邊形鑲嵌	四階六邊形鑲嵌	七邊形鑲嵌
施萊夫利符號	{3,7}	{4,5}	{5,4}	{6,4}	{7,3}

參見

• 無限邊形
• 無限胞體

參考文獻

1. Coxeter, H. S. M. Regular Polytopes 3rd ed. New York: Dover Publications. 1973: 121–122. ISBN 0-486-61480-8. 引文格式1維護：冗餘文本 (link) p.296, Table II: Regular honeycombs
2. Peter McMullen, Egon Schulte, Abstract Regular Polytopes, Cambridge University Press, 2002. ISBN 0-521-81496-0 (Page 25)
3. Williams, Robert. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. 1979: 164–199. ISBN 0-486-23729-X. Chapter 5: Polyhedra packing and space filling
4. Critchlow, K.: Order in space.
5. Pearce, P.: Structure in nature is a strategy for design.

1. John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, (2008) The Symmetries of Things, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 21, Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, Architectonic and Catoptric tessellations, p 292-298, includes all the nonprismatic forms)
2. Garner, C. W. L. Regular Skew Polyhedra in Hyperbolic Three-Space. Canad. J. Math. 19, 1179–1186, 1967. [1] （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） Note: His paper says there are 32, but one is self-dual, leaving 31.