面 (幾何)

在立體幾何中，立體幾何體的邊界被稱作面或表面^[1][2]，更嚴謹地說，面是立體幾何體的一個平坦表面^[3]，而不平坦的面通常稱為曲面，而所有表面的總和稱為表面積^[4]。在高維度幾何以及高維的多胞形中，面也被用來指代構成多胞形的一個組成元素，通常會跟隨其維度一同稱呼，例如三維的元素稱為3-面。^[5]

多邊形面

在基礎幾何學中，面是指位於多面體邊界的多邊形^[5]，換句話說即多面體是一個由多邊形構成的三維幾何體，構成多面體的這些多邊形就被稱為面^[6]。 

例如：正方體有六個面，三稜錐有四個面。廣義來說，面也可用來指代四多胞形的一個二維邊界，就如我們說四維超正方體有24個正方形面。

面的例子

凸正多面體	星形正多面體	正鑲嵌圖	雙曲鑲嵌	四維z多胞體
{4,3}	{5/2,5}	{4,4}	{4,5}	{4,3,3}
立方體的每個頂點都是3個正方形面的公共頂點[7]	小星形十二面體的每個頂點都是5個五角星面的公共頂點[8]	正方形鑲嵌的每個頂點都是4個正方形面的公共頂點[9]	五階正方形鑲嵌的每個頂點都是5個正方形面的公共頂點[10]	超立方體的每條邊都是3個正方形面的公共稜[11]

多面體的面的數量

在三維空間中，任何凸多面體的歐拉示性數為2。歐拉示性數 ${\displaystyle \chi }$ 可以通過以下公式計算：

${\displaystyle \chi :=V-E+F,}$^{[註 1]}

以上式子中，V 是頂點的數量，E 是邊的數量，F 是面的數量。例如，正方體有12條邊，8個頂點和6個面。那麼我們可以計算得正方體的歐拉示性數為2。

維面

主條目：維面

在幾何學中，維面（Facet）又稱為超面（hyperface^[12]）是指幾何形狀的組成元素中，比該幾何形狀所在維度少一個維度的元素^[13]

多維面

在幾何學中，維面一詞前面若加一個整數，則代表一幾何結構中維度為該整數的元素，此概念不應與維面混淆。例如k維面代表幾何結構中維度為k的元素，又稱k面、k-面或k維元素而在更高維度中，有時會稱為k維胞，這一用法並未限定元素的所屬維度。^[5][14][15]例如立方體的多維面包括了空多胞形（負一維面）、頂點（零維面）、邊（一維面）、正方形（二維面，一般稱面）和其本身（三維面，一般稱體）。正式地，對於一個多胞形P，多維面的定義是與一個「不與P內部相交的封閉半空間」的相交幾何結構（如交點、交線或交面等）^[5][15]。多胞形中的多維面集合中同時也包含了多胞形本身和空多胞形。^[14][15]

參見

• 胞 (幾何)
• 面 (晶體學)^{[註 2]}

註釋

1. 這行式子應理解為： ${\displaystyle \chi }$ 的定義式是${\displaystyle V-E+F}$
2. 在晶體學中有多個面的概念，如反映面是通過反映這一對稱操作得到的，用符號P表示，如單斜晶系晶體反映面之數目為1。此外，還有滑移面的概念。
   晶體學中的另一個面的概念是晶體的晶面，可用h, k, l表示，其表示方法如{100}、{010}等。^[16]

參考來源

1. 【表面】. 教育部重編國語辭典修訂本. [2019-09-16]. （原始內容存檔於2020-04-09）.
2. 【面】. 教育部重編國語辭典修訂本. [2019-09-16]. （原始內容存檔於2020-04-09）.
3. Merriam-Webster's Collegiate Dictionary Eleventh. Springfield, MA: Merriam-Webster. 2004.
4. Weisstein, Eric W. (編). Surface Area. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英語）.
5. Matoušek, Jiří, Lectures in Discrete Geometry, Graduate Texts in Mathematics 212, Springer, 5.3 Faces of a Convex Polytope, p. 86, 2002 [2017-11-11], （原始內容存檔於2019-06-10）.
6. Cromwell, Peter R., Polyhedra, Cambridge University Press: 13, 1999 [2017-11-11], （原始內容存檔於2019-06-13）
7. Van Cleve, J. Problems from Kant. Oxford University Press. 2003. ISBN 9780195347012. LCCN 98026825.
8. Weber, Matthias. Kepler's small stellated dodecahedron as a Riemann surface 220. 2005: 167–182. |journal=被忽略 (幫助) pdf （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
9. Tilings and Patterns, from list of 107 isohedral tilings, p.473-481
10. Chapter 10: Regular honeycombs in hyperbolic space. The Beauty of Geometry: Twelve Essays. Dover Publications. 1999. ISBN 0-486-40919-8. LCCN 99035678.
11. Weisstein, Eric W. (編). Hypercube. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英語）.
12. N.W. Johnson: Geometries and Transformations, (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Chapter 11: Finite symmetry groups, 11.1 Polytopes and Honeycombs, p.225
13. Matoušek (2002), p. 87; Grünbaum (2003), p. 27; Ziegler (1995), p. 17
14. Grünbaum, Branko, Convex Polytopes, Graduate Texts in Mathematics 221 2nd, Springer: 17, 2003 [2019-09-16], （原始內容存檔於2013-10-31）.
15. Ziegler, Günter M., Lectures on Polytopes, Graduate Texts in Mathematics 152, Springer, Definition 2.1, p. 51, 1995 [2019-09-16], （原始內容存檔於2019-06-12）.
16. 錢逸泰. 結晶化學導論（第3版）. 合肥: 中國科學技術大學出版社, 2005. ISBN 7-312-01804-1/O·31