正三角形鑲嵌

在幾何學中，正三角形鑲嵌、又稱為正三角方格^[3]是一種正多邊形在平面上的密鋪，又稱正鑲嵌圖。

正三角形鑲嵌

類別	正鑲嵌
對偶多面體	正六邊形鑲嵌
識別
鮑爾斯縮寫 （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	trat
數學表示法
考克斯特符號 （英語：Coxeter-Dynkin diagram）	=
施萊夫利符號	{3,6} {3[3]}
威佐夫符號 （英語：Wythoff symbol）	6 | 3 2 3 | 3 3 | 3 3 3
康威表示法	dH
特殊面或截面
梵奧斯截面 （英語：Van_Oss_polygon）	無限邊形[2]
組成與佈局
頂點圖	3.3.3.3.3.3（或36）
頂點佈局 （英語：Vertex_configuration）	36
對稱性
對稱群	p6m, [6,3], (*632) p3m1, [3[3]], (*333) p3, [3[3]]+, (333)
旋轉對稱群 （英語：Rotation_groups）	p6, [6,3]+, (632) p3, [3[3]]+, (333)
圖像
3.3.3.3.3.3（或36） （頂點圖） 正六邊形鑲嵌 （對偶多面體）
閱 論 編

命名

康威稱正三角形鑲嵌為deltille。deltille一詞來自於外形為三角形的希臘字母 Delta （Δ），有時也稱作六角化正六邊形鑲嵌。

性質

由於正三角形鑲嵌是由正三角形組成，又因正三角形內角為60度，因此每個頂點周圍都有6個三角形，且剛好佔滿360度。

正三角形鑲嵌在施萊夫利符號中，用{3,6}表示。

正三角形鑲嵌是三個的平面正鑲嵌圖之一。另外兩個是正方形鑲嵌和正六邊形鑲嵌。

一般將畫在紙上的正三角方格稱作正三角格紙^[3]，正三角格紙是用來畫三維立體圖或三維透視圖用的。使用正三角格紙作圖會比較容易做出三維立體圖或三維透視圖，而且圖形看起來比較接近三維^[3]。

上色的正三角形鑲嵌

正三角形鑲嵌有九種不同的上色方式，他們依頂點周為顏色數來命名： 111111, 111112, 111212, 111213, 111222, 112122, 121212, 121213, 121314。

上色 索引	111111	121212	121314	121213
圖示	1 1 1 1 1 1	1 2 1 2 1 2	1 3 1 4 1 2	1 2 1 3 1 2
上色
對稱群	*632 (p6m) [6,3]	*333 (p3m1) [3[3]] = [1+,6,3]	333 (p3) [3[3]]+	3*3 (p31m) [6,3+]
Wythoff符號（英語：Wythoff symbol）	6 | 3 2	3 | 3 3	| 3 3 3
考克斯特符號（英語：Coxeter-Dynkin Diagram）		=

A2晶格和圓堆砌

正三角形鑲嵌的頂點排布被稱作A₂晶格^[4]。正三角形鑲嵌是單體堆砌（英語：Simplectic honeycomb）家族的二維成員。

A₂^*晶格（又稱A₂³），可由所有3種A₂晶格組合得來，就等價於A₂晶格。

+ + = 的對偶 =

以正三角形鑲嵌的頂點為圓心，我們可以得到二維的最密圓堆砌（英語：Circle Packing），每個圓都與6個相鄰圓接觸（接觸數（英語：kissing number）），堆砌密度為${\displaystyle {\frac {\pi }{\sqrt {12}}}}$或90.69%。由於3個A₂晶格組合還是A₂晶格，這種圓堆砌種的圓可被塗成三種顏色。

A₂晶格的沃羅諾伊圖是正六邊形鑲嵌，它也是正三角形鑲嵌的對偶。因此，正六邊形鑲嵌也與最密圓堆砌有直接的對應關係。

A2晶格圓堆砌	A* 2晶格圓堆砌
正六邊形鑲嵌

相關半正鑲嵌

正三角形鑲嵌家族的半正鑲嵌

對稱性: [6,3], (*632)							[6,3]+, (632)	[1+,6,3], (*333)	[6,3+], (3*3)
{6,3}	t0,1{6,3}	t1{6,3}	t1,2{6,3}	t2{6,3}	t0,2{6,3}	t0,1,2{6,3}	s{6,3}	h{6,3}	h1,2{6,3}
半正對偶
V6.6.6	V3.12.12	V3.6.3.6	V6.6.6	V3.3.3.3.3.3	V3.4.12.4	V.4.6.12	V3.3.3.3.6	V3.3.3.3.3.3

從六邊形鑲嵌可利用「交錯」操作將六邊形鑲嵌變成三角形鑲嵌。

交錯2n邊形鑲嵌系列：

	球面鑲嵌	多面體	歐式鑲嵌	緊湊雙曲鑲嵌				仿緊空間	非緊空間
n	1	2	3	4	5	6		∞
2n邊形鑲嵌	{2,3}	{4,3}	{6,3}	{8,3}	{10,3}	{12,3}		{∞,3}	{iπ/λ,3}
交錯2n邊形鑲嵌	h{2,3}	h{4,3}	h{6,3}	h{8,3}	h{10,3}	h{12,3}	...	h{∞,3}	h{iπ/λ,3}

相關

• 格子

參考文獻

1. Coxeter, H.S.M., Regular Complex Polytopes, Cambridge University Press, 1991, ISBN 0-521-39490-2
2. Coxeter, Complex Regular polytopes,^[1] p.141
3. 《圖解數學辭典》天下遠見出版 P.50 ISBN 986-417-614-5
4. 存档副本. [2014-01-26]. （原始內容存檔於2021-02-25）.

閱讀

• Coxeter, H.S.M. Regular Polytopes, (3rd edition, 1973), Dover edition, ISBN 0-486-61480-8 p. 296, Table II: Regular honeycombs
• Grünbaum, Branko ; and Shephard, G. C. Tilings and Patterns. New York: W. H. Freeman. 1987. ISBN 0-7167-1193-1. (Chapter 2.1: Regular and uniform tilings, p. 58-65)
• 埃里克·韋斯坦因. Triangular Grid. MathWorld.
  • 埃里克·韋斯坦因. Regular tessellation. MathWorld.
  • 埃里克·韋斯坦因. Uniform tessellation. MathWorld.
• Klitzing, Richard. 2D Euclidean tilings x3o6o - trat - O2. bendwavy.org.
• Williams, Robert. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. 1979. ISBN 0-486-23729-X. p35
• John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, The Symmetries of Things 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 [1]
• Tilings and Patterns, from list of 107 isohedral tilings, p.473-481