數論

數論（英語：Number theory）是純粹數學的分支之一，主要研究整數的性質，被稱為「最純」的數學領域。

此條目的主題是數學領域中的數論。關於同名的古印度哲學流派，請見「數論 (印度哲學)」。

提示：此條目的主題不是數學。

簡介

數學是科學的皇后，數論是數學的皇后。^{[1][註 1]}
——卡爾·弗里德里希·高斯

正整數按乘法性質劃分，可以分成質數，合數，1，質數產生了很多一般人能理解卻又懸而未解的問題，如哥德巴赫猜想，孿生質數猜想等。即，很多問題雖然形式上十分初等，事實上卻要用到許多艱深的數學知識。這一領域的研究從某種意義上推動了數學的發展，催生了大量的新思想和新方法。數論除了研究整數及質數外，也研究一些由整數衍生的數（如有理數）或是一些廣義的整數（如代數整數）。

整數可以是方程式的解（丟番圖方程）。有些解析函數（像黎曼ζ函數）中包括了一些整數、質數的性質，透過這些函數也可以了解一些數論的問題。透過數論也可以建立實數和有理數之間的關係，並且用有理數來逼近實數（丟番圖逼近）。

歷史

古代

數論早期也稱為算術^{[註 2]}，而算術一詞則表示「基本運算」^{[註 3][3]}，在現代數論誕生前，早期鋪墊有三大內容：

1. 歐幾里得證明質數無窮多。
2. 尋找質數的愛拉托散尼篩法；歐幾里得求最大公因數的輾轉相除法。
3. 公元420至589年（中國南北朝時期）的孫子定理。

中世紀

在中世紀早期，除了1175年至1200年住在北非和君士坦丁堡的數學家斐波那契有關等差數列的研究外，西歐在數論上沒有什麼進展。

中世紀數論主要是指15-16世紀由費馬、梅森、歐拉、高斯、勒壤得、黎曼、希爾伯特等人發展的數論。最早是在文藝復興的末期，對於古希臘著作的重新研究。主要的成因是因為丟番圖的《算術》（Arithmetica）一書的校正及翻譯為拉丁文，早在1575年Xylander曾試圖翻譯，但不成功，後來才由Bachet在1621年翻譯完成。

近代

費馬

費馬

皮埃爾·德·費馬（1601–1665）沒有著作出版，他在數論上的貢獻幾乎都在他寫給其他數學家的信上，以及書旁的空白處^[4]。費馬的貢獻幾乎沒有數論上的證明^[5]，不過費馬重覆的使用數學歸納法，並引入無窮遞降法。

費馬最早的興趣是在完全數及相親數，因此開始研究整數因數，這也開始1636年之後的數學研究，也接觸到當時的數學社群^[6]。他已在1643年研讀過巴歇（英語：Claude Gaspard Bachet de Méziriac）版本的丟番圖著作，他的興趣開始轉向丟番圖方程和平方數的和^[7]。

費馬在數論上的貢獻有：

• 費馬小定理 (1640)^[8]，若${\displaystyle a}$不是質數${\displaystyle p}$的倍數，則${\displaystyle a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}.}$
• 若${\displaystyle a}$和${\displaystyle b}$互質，則${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$無法被任何除4後同餘-1的質數整除^[9]，而且每個除4後同餘1的質數都可以表示為${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$.^[10]，這二個是在1640年證明的，在1649年他在寫給惠更斯的信上提到他用無窮遞降法證明的第二個問題^[11]，費馬和福蘭尼可（英語：Frenicle）在其他平方形式上也有一些貢獻，不過其中有些錯誤及不嚴謹之處^[12]。
• 向英國的數學家提出了求解${\displaystyle x^{2}-Ny^{2}=1}$的挑戰（1657年），但在幾個月後就由Wallis及Brouncker證明^[13]。費馬認為他們的證明有效，但用了一個在其中未經證明的演算法，費馬自己是由無窮遞降法找到證明。
• 發展許多找虧格0或1曲線上點的方法，作法類似丟番圖，有許多特殊的步驟，使用了切線法構建曲線，而不是用割線法^[14]。
• 證明${\displaystyle x^{4}+y^{4}=z^{4}}$不存在非尋常的正整數解。

費馬在1637年聲稱（費馬最後定理）證明了對於大於2的任意整數${\displaystyle n}$，不存在 ${\displaystyle x^{n}+y^{n}=z^{n}}$的非尋常的正整數解（目前已知唯一的證明是由數學家安德魯·懷爾斯及其學生理查·泰勒於1994年完成的證明），但只在一本丟番圖著作的旁邊寫到，而且他沒有向別人宣稱他已有了證明^[15]。

歐拉

歐拉

歐拉(1707–1783)對數論的興趣最早是由他的朋友哥德巴赫所引發，讓他開始專注在費馬的一些研究上^[16][17]，在費馬沒有使當代的數學家注意此一主題後，歐拉的出現稱為「現代數論的重生」^[18]。歐拉數論的貢獻包括以下幾項^[19]：

• 費馬研究的證明，包括費馬小定理（歐拉延伸到非質數的模數），以及${\displaystyle p=x^{2}+y^{2}}$當且僅當${\displaystyle p\equiv 1\;mod\;4}$，這項研究可推導到所有整數都可以表示為四個平方數的證明（第一個完整證明是由約瑟夫·拉格朗日提出，費馬很快的也提出證明），和${\displaystyle x^{4}+y^{4}=z^{2}}$沒有非零整數解的證明，表示為費馬最後定理${\displaystyle n=4}$時成立，歐拉用類似方式證明了${\displaystyle n=3}$的情形。
• 佩爾方程，最早誤以為是歐拉證明^[20]，歐拉也寫了連分數和佩爾方程的關係^[21]。
• 二次式，繼費馬之後，歐拉繼續研究哪些質數可以表示為${\displaystyle x^{2}+Ny^{2}}$，其中有些顯示二次互反律的性質^{[22] [23][24]}。
• 丟番圖方程：歐拉研究一些虧格為0或1的丟番圖方程^[25][26]，特別的是他研讀丟番圖的著作，試圖要找到系統化的方法，但時機尚不成熟，幾何數論才剛形成而已^[27]。歐拉有注意到丟番圖方程和橢圓積分之間的關係^[27]。

分支

初等數論

意指使用不超過高中程度的初等代數處理的數論問題，最主要的工具包括整數的整除性與同餘。重要的結論包括中國餘數定理、費馬小定理、二次互反律等等。

解析數論

藉助微積分及複分析的技術來研究關於整數的問題^[28]，主要又可以分為積性數論（英語：Multiplicative number theory）與加性數論兩類。積性數論藉由研究積性生成函數的性質來探討質數分佈的問題，其中質數定理與狄利克雷定理為這個領域中最著名的古典成果。加性數論則是研究整數的加法分解之可能性與表示的問題，華林問題是該領域最著名的課題。此外例如篩法、圓法等等都是屬於這個範疇的重要議題。

代數數論

引申代數數的話題，關於代數整數的研究，主要的研究目標是為了更一般地解決不定方程的問題，而為了達到此目的，這個領域與代數幾何之間有相當關聯，比如類體論（class field theory）就是此間的顛峰之作。

算術代數幾何

研究有理系數多變數方程組的有理點，其結構（主要是個數）和該方程組對應的代數簇的幾何性質之間的關係，有名的費馬最後定理、莫德爾猜想（法爾廷斯定理）、Weil猜想（英語：Weil conjectures），和千禧年大獎難題中的貝赫和斯維訥通-戴爾猜想都屬此類。

幾何數論

主要在於透過幾何觀點研究整數（在此即格子點）的分佈情形。最著名的定理為閔可夫斯基定理。

計算數論

藉助電腦的算法幫助數論的問題，例如質數測試和因數分解等和密碼學息息相關的話題。

超越數論

研究數的超越性，其中對於歐拉常數與特定的黎曼ζ函數值之研究尤其令人感到興趣。

組合數論

利用組合和概率的技巧，非構造性地證明某些無法用初等方式處理的複雜結論。這是由保羅·艾狄胥開創的思路。

模形式

數學上一個滿足一些泛函方程與增長條件、在上半平面上的（複）解析函數。

應用

• 密碼學
• 孫子定理
• 質數
• 哥德巴赫猜想
• 質數公式
• 愛拉托散尼篩法
• 雙生質數
• 有限體
• p進數

註釋

1. 德語原文「Die Mathematik ist die Königin der Wissenschaften, und die Arithmetik ist die Königin der Mathematik.」
2. 1952年時數學家哈羅德·達文波特（英語：Harold Davenport）仍用「高等算術」一詞來表示數論，戈弗雷·哈羅德·哈代和愛德華·梅特蘭·賴特在1938年寫《數論介紹》簡介時曾提到「我們曾考慮過將書名改為《算術介紹》，某方面而言是更合適的書名，但也容易讓讀者誤會其中的內容」^[2]
3. 不過在20世紀的後半，有部份數學家仍會用「算術」一詞來表示數論。到20世紀初，才開始使用數論的名稱

參考資料

1. The Queen of Mathematics. [2014-09-30]. （原始內容存檔於2014-10-06）.
2. Apostol, Tom M. An introduction to the theory of numbers. (Review of Hardy & Wright.) Mathematical Reviews (MathSciNet) MR0568909. American Mathematical Society. n.d. [2013-05-06]. （原始內容存檔於2012-07-31）.
3. Heath, Thomas L. A History of Greek Mathematics, Volume 1: From Thales to Euclid. Oxford: Clarendon Press. 1921 [2016-02-28].
4. Weil 1984，第45–46頁.
5. Weil 1984，第118頁，數論比其他數學領域容易出現這様的情形（說明在Mahoney 1994，第284頁）
6. Mahoney 1994，第48, 53–54頁
7. Weil 1984，第53頁.
8. Tannery & Henry 1891，Vol. II, p. 209, Letter XLVI from Fermat to Frenicle, 1640, cited in Weil 1984，第56頁
9. Tannery & Henry 1891，Vol. II, p. 204, cited in Weil 1984，第63頁
10. Tannery & Henry 1891，Vol. II, p. 213.
11. Tannery & Henry 1891，Vol. II, p. 423.
12. Weil 1984，第80, 91–92頁.
13. Weil 1984，第92頁.
14. Weil 1984，Ch. II, sect. XV and XVI.
15. Weil 1984，第104頁.
16. Weil 1984，第2, 172頁.
17. Varadarajan 2006，第9頁.
18. Weil 1984，第2頁 and Varadarajan 2006，第37頁
19. Varadarajan 2006，第39頁 and Weil 1984，第176–189頁
20. Weil 1984，第174頁
21. Weil 1984，第183頁.
22. Varadarajan 2006，第44–47頁.
23. Weil 1984，第177–179頁.
24. Edwards 1983，第285–291頁.
25. Varadarajan 2006，第55–56頁.
26. Weil 1984，第179–181頁.
27. Weil 1984，第181頁.
28. Apostol, Tom M., Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, 1976, ISBN 978-0-387-90163-3, MR 0434929, Zbl 0335.10001

參考書目

• Weil, André. Number theory: an approach through history – from Hammurapi to Legendre,. Boston: Birkhäuser. 1984 [2014-10-06]. ISBN 978-0-8176-3141-3. （原始內容存檔於2014-10-12）.
• Mahoney, M. S. The mathematical career of Pierre de Fermat, 1601–1665 Reprint, 2nd. Princeton University Press. 1994 [2014-10-06]. ISBN 978-0-691-03666-3. （原始內容存檔於2014-10-12）.
• Tannery, Paul; Henry, Charles (eds.); Fermat, Pierre de. Oeuvres de Fermat. (4 Vols.). Paris: Imprimerie Gauthier-Villars et Fils. 1891 （法語及拉丁語）. Volume 1 Volume 2 Volume 3 Volume 4 (1912)
• Varadarajan, V. S. Euler through time: a new look at old themes. American Mathematical Society. 2006 [2014-10-06]. ISBN 978-0-8218-3580-7. （原始內容存檔於2014-10-12）.
• Edwards, Harold M. Euler and quadratic reciprocity. Mathematics Magazine (Mathematical Association of America). November 1983, 56 (5): 285–291. JSTOR 2690368. doi:10.2307/2690368. 引文格式1維護：日期與年 (link)

外部連結

• （英文） Number Theory Web （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）